山东省济南市2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

高一年级学情检测数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 若全集,则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】,故选B.

2. 函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由可解得结果.

【详解】由函数有意义，得解得，

所以函数的定义域为.

故选：B

3. 若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ）

A.  B.  C. 5 D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】求出时的解析式后，代入可求出结果.

【详解】因为为奇函数，且当时，，

所以当时，，

所以.

故选：C

4. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据诱导公式可求出结果.

【详解】.

故选：A

5. 若，，，则下列关系式正确的为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用对数函数和指数函数的单调性可比较出大小.

【详解】，

，

，

所以.

故选：D

6. 已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用幂函数的定义求出，再根据零点存在性定理可得答案.

【详解】因为函数为幂函数，所以，得，

所以，，

因为，，，

，且在上为增函数，

所以在上有唯一零点.

故选：C

7. 已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据为偶函数，可排除B和D，根据在上为增函数，排除C.

【详解】对于B和D，因为为偶函数，所以和都是偶函数，它们的图象都关于轴对称，故B和D都不正确；

对于C，由于在上为增函数，且，所以在上为减函数，由图可知，C不正确；

故只有A可能正确.

故选：A

8. 设函数是定义在R上的奇函数，满足，若，，则实数t的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据为奇函数，推出是周期函数，周期为，利用周期得，根据推出，再利用单位圆可求出结果.

【详解】因为为奇函数，所以，所以，

又因为，所以，，

所以是周期函数，周期为，

所以，

因为，所以，即，，

根据单位圆中三角函数线可得：，，

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知函数，下列说法正确的是（    ）

A. 为偶函数 B.

C. 的最大值为1 D. 的最小正周期为

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据正弦函数的奇偶性、最值和周期性可得答案.

【详解】因为，所以，所以为奇函数，故A不正确；

因为，，所以，故B正确；

因为的最大值为，故C正确；

因为的最小正周期为，故D正确.

故选：BCD

10. 若，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】由不等式性质可以判断A正确，B错误，利用指数函数和对数函数的单调性可以判断CD正确.

【详解】因为，所以，故A正确；

因为，利用不等式同号反序性可得，故B错误；

因为在R上单调递增，，所以，故C正确；

因为在上单调递增，，所以，故D正确；

故选：ACD.

11. 若函数有且仅有3个零点，则实数m的值可能是（    ）

A.  B.  C. 10 D. 11

【答案】AC

【解析】

【分析】令，则，将有且仅有3个零点，结合的图象转化为必有1个值等于2或者等于，另一个值大于2或者小于，可得答案.

【详解】令，得，

令，则，

因为有且仅有3个零点，由的图象可知，

必有1个值等于2或者等于，另一个值大于2或者小于，

当时， 由得，得；

此时由，得或，

由得，由，得，

所以有且仅有3个零点，符合题意；

当时，由得，得，

此时由得或，

由，得，由得，

所以有且仅有3个零点，符合题意；

综上所述：或.

故选：AC

12. 已知函数的定义域为，且函数图象连续不间断，假如存在正实数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.则下列说法正确的是（    ）

A. 若满足性质，且，则

B. 若，则存在唯一的正数，使得函数满足性质

C. 若，则存在唯一的正数，使得函数满足性质

D. 若函数满足性质，则函数必存在零点

【答案】ABD

【解析】

【分析】计算得到，正确；确定，画出函数图像知B正确；取特殊值得到不恒成立，C错误；考虑，，三种情况，根据零点存在定理得到答案.

【详解】对选项A：，，，则，正确；

对选项B：，即，即，根据图像知方程有唯一正数解，正确；

对选项C：，即，取得到，取得到，方程组无解，故等式不恒成立，错误；

对选项D：若，则1即为的零点；若，则，

，可得，，

，故当趋近正无穷时，趋近正无穷，所以存在零点；

若，则由， 可得，

由， 可得，

，，

当趋近正无穷时，趋近负无穷，所以存在零点.

综上所述：存在零点，正确.

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点，则的值为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据三角函数的定义可求出结果.

【详解】依题意得，，所以，

所以.

故答案为：.

14. 已知一个扇形的周长为10，弧长为6，那么该扇形的面积是______.

【答案】6

【解析】

【分析】根据周长和弧长求出半径，再根据面积公式可求出结果.

【详解】设该扇形的弧长为，半径为，周长为，面积为，

则，，所以，

则.

故答案为：.

15. 已知函数，则的值为______.

【答案】5

【解析】

【分析】利用分段函数解析式代入求值即可.

【详解】函数，，.

故答案为：5

16. 已知函数定义域为，，对任意的，当时，有（e是自然对数的底）.若，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】将变形为，由此设函数，说明其在上单调递减，将化为，即，利用函数单调性即可求得答案.

【详解】由题意当时，有，即，

即，

故令，则当时，，

则在上单调递减，

由于，而，

即有，即，

所以 ，

即实数a的取值范围是，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据，变形为，从而构造函数，并说明其为单调减函数，由此可解决问题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合或，.

（1）当时，求；

（2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求a的取值范围.

【答案】（1）或；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）化简，根据并集的概念可求出结果；

（2）转化为是的真子集，再根据真子集关系列式可求出结果.

【小问1详解】

当时，或，

由，得，所以，

所以或.

【小问2详解】

若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，

故，解得.

18. 设函数，且方程有两个实数根为，.

（1）求的解析式；

（2）若，求的最小值及取得最小值时x的值.

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）将化为一元二次方程，根据韦达定理列式求出可得结果；

（2）根据基本不等式可求出结果.

【小问1详解】

由，得.化简得：.

因为，是上述方程的两个根，

由韦达定理可得：，解得：，

所以.

【小问2详解】

当时，，

当且仅当，即时，等号成立.

所以的最小值为，此时.

19. 已知二次函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若在区间上单调递减，求实数a的取值范围.

【答案】（1）或   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据二次函数转化为不含参数的一元二次不等式直接求解即可；

（2）利用二次函数的单调性分类讨论即可求得实数a的取值范围.

【小问1详解】

解：当时，

此时不等式，即，解得：或

所以不等式的解集为或；

【小问2详解】

解：若在区间上单调递减

因为的对称轴为，

当时，开口向下，且

此时在区间上单调递减.

所以；

当时，开口向上，且

故.所以；

综上所述，实数a的取值范围为或.

20. 如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点P.过点P作圆O的切线，分别交x轴、y轴于点与.

（1）若的面积为2，求的值；

（2）求的最小值.

【答案】（1）   

（2）16

【解析】

【分析】（1）由题意求出与，根据的面积为2，结合三角函数同角的三角函数关系，即可求得答案;

（2）结合（1）可表示出，利用基本不等式即可求得答案.

【小问1详解】

由题意得为锐角，故P在第一象限，则在轴正半轴上，

由题意可知，故,故，

,故，则，

由的面积为2，得，即.

所以，

又，故，

即，解得；

【小问2详解】

由题意是锐角，则，

，

当且仅当，即，时取等号，

所以的最小值为16.

21. La'eeb是2022年卡塔尔世界杯足球赛吉祥物，该吉祥物具有非常鲜明的民族特征，阿拉伯语意为“高超的球员”，某中国企业可以生产世界杯吉祥物La'eeb，根据市场调查与预测，投资成本x（千万）与利润y（千万）的关系如下表

当投资成本x不高于12（千万）时，利润y（千万）与投资成本x（千万）的关系有两个函数模型与可供选择.

（1）当投资成本x不高于12（千万）时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

（2）当投资成本x高于12（千万）时，利润y（千万）与投资成本工（千万）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一个亿的利润，投资成本x（千万）应该控制在什么范围.（结果保留到小数点后一位）

（参考数据：）

【答案】（1）最符合实际的函数模型为   

（2）

【解析】

【分析】（1）将点与分别代入两函数模型，求得解析式，计算时的函数值，比较可得结论，从而确定函数模型；

（2）由题意可得利润y与投资成本x满足关系，分段接不等式，即可求得答案.

【小问1详解】

最符合实际的函数模型是.

若选函数模型，

将点与代入得，解得，

所以，

当时，.

若选函数模型，

将点与代入得，解得，

所以，

当时，，

综上可得，最符合实际的函数模型为.

【小问2详解】

由题意可知：

利润y与投资成本x满足关系,

要获得不少于一个亿的利润，即,

当时，，即，即

因，所以.

又因，所以.

当时，，解得，

又因为，所以，

综上可得，

故要想获得不少于一个亿的利润，投资成本x（千万）的范围是.

22. 已知函数是奇函数.（e是自然对数的底）

（1）求实数k的值；

（2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；

（3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据求出，再检验的奇偶性；

（2）若，将关于x的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得；

（3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值.

【小问1详解】

因为是奇函数，且定义域为R，所以，

即，解得.经检验，此时是奇函数

所以.

【小问2详解】

由（1）知，

由时，恒成立，得，

因为，所以，

设，

因，当且仅当时，等号成立，又，所以，

故，

所以.

【小问3详解】

由题意得：

不妨设，

以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即，且，

以，，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，得恒成立，

因为，仅当a=b时前一个等号成立，

所以，即，于是n的最大值为.