山东省菏泽市单县2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

高一年级阶段性测试

数学学科试题

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1. 设集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合后可求.

详解】，故，

故选：B.

2. 命题“”的否定为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.

【详解】“”的否定为“”.

故选：A

3. 已知函数.则（    ）

A. 1 B. 4 C. 9 D. 16

【答案】A

【解析】

【分析】根据分段函数各段区间计算即可.

详解】，因此

故选：A

4. “”是“”的（    ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】列举出特例，化简即可判断出充分性与必要性.

【详解】因为“”在时，左右两边同时乘以，此时不等式不成立，故不满足充分性；

在不等式的两边同时除以，即可得到不等式成立，故满足必要性.

故“”是“”的必要不充分条件.

故选：A

5. 下列区间包含函数零点的为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处的函数值，根据零点存在定理即可判断答案.

【详解】因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，

函数在上单调递增，

因为，

所以，函数零点在区间 内，

故选：C.

6. 三个数 之间的大小关系是（    ）

A. . B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数单调性进行求解，即可比较大小.

【详解】解：，则，

，则，

，则，所以.

故选：B.

7. 设是定义在上的奇函数，当时，，则

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：因为当时，，所以. 又因为是定义在R上的奇函数，所以. 故应选A.

考点：函数奇偶性的性质.

8. 若，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用诱导公式进行变形，即可求解.

【详解】因为，

故选：A.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全得2分，错选得0分．

9. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】由对数式的运算规则，检验各选项的运算结果.

【详解】，故选项A正确；

，故选项B错误；

根据对数恒等式可知，，选项C正确；

根据换底公式可得：，故选项D错误．

故选：AC

10. 下列命题为真命题的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】由不等式的性质逐项判断即可得解.

【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；

对于B，若，则，故B正确；

对于C，若，则，所以，所以，故C错误；

对于D，，则，所以，故D正确.

故选：ABD.

11. 设函数，则下列结论中正确的是（    ）

A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称

C. 在上单调递减 D. 在上的最小值为0

【答案】ABC

【解析】

【分析】AB选项，代入检验是否是对称中心和对称轴，C选项，求出，由数形结合验证单调性，D选项，求出，结合求出最小值.

【详解】当时，，所以的图象关于点对称，A正确；

当时，，所以的图象关于直线对称，B正确；

当时，，在上单调递减，故C正确；

当时，，在上的最小值为，D错误.

故选：ABC

12. 已知函数，下面说法正确的有（    ）

A. 的图象关于轴对称

B. 的图象关于原点对称

C. 的值域为

D. ，且，恒成立

【答案】BC

【解析】

【分析】

判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项.

【详解】的定义域为关于原点对称,

，所以是奇函数，图象关于原点对称，

故选项A不正确，选项B正确；

，因为，所以，所以，

，所以，可得的值域为，故选项C正确；

设任意的，

则，

因为，，，所以，

即，所以，故选项D不正确；

故选：BC

【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法

（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；

（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；

（3）定号：确定差的符号；

（4）下结论：判断，根据定义作出结论.

即取值---作差----变形----定号----下结论.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知幂函数的图象经过点，则________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，将点的坐标代入函数即可求出函数的解析式，然后将代入即可求解.

【详解】因为幂函数的图象经过点，

所以，则，所以，

则，

故答案为：.

14. 函数的定义域是______.

【答案】且

【解析】

【分析】根据函数解析式有意义，列出相应的不等式组，即可求解.

【详解】由题意，函数有意义，

则，解得且，

所以函数的定义域为且.

故答案为：且.

15. 若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】分和两种情况，结合二次函数的图像与性质，求解即可.

【详解】当时，不等式为，满足题意；

当，需满足，解得，

综上可得，的取值范围为，

故答案为：.

16. “一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中学开展暑期社会实践活动，学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示.图中，圆弧是一个以点为圆心､为直径的半圆，米.圆弧的圆心为点，米，圆弧与圆弧所围成的阴影部分为月牙泉的形状，则该月牙泉的面积为___________平方米.

【答案】

【解析】

【分析】连接，利用题目所给条件结合解三角形知识解出，从而得出的大小，则根据题意可知，该月牙泉的面积为半圆的面积减去弓形的面积，然后计算各部分的面积作差即可.

【详解】如图所示，连接，易知，

因为，所以，.

则弓形的面积为：，

又半圆的面积为：，

所以月牙泉的面积为：

(平方米).

故答案为：.

【点睛】本题考查三角函数知识的实际应用，考查扇形面积公式的运用，较简单.

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．

17. 已知集合.

（1）当时，求；

（2）若，且，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）代入，再根据交集的定义求解即可；

（2）根据区间端点满足的条件，结合列式求解即可.

【小问1详解】

当时，，

又.

【小问2详解】

由，得，

又，故有，解得.

的取值范围是.

18. 已知．

（1）化简；

（2）若为第四象限角且，求的值；

（3）若，求．

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）．

【解析】

【分析】（1）由诱导公式和同角三角函数的关系化简即可.

（2）根据象限确定三角函数的符号，由同角三角函数的关系计算.

（3）由函数解析式使用诱导公式化简计算.

【小问1详解】

．

【小问2详解】

因为为第四象限角且，所以，

所以．

【小问3详解】

因为，，

所以．

19. 已知，其中且．

（1）判断的奇偶性并证明；

（2）解不等式：．

【答案】（1）奇函数，证明见解析   

（2）当时，解集为；当时，解集为

【解析】

【分析】（1）利用对数函数的定义求得函数的定义域，根据奇函数的定义判定函数为奇函数；

（2）利用对数函数的单调性，对底数进行分类讨论，转化求解不等式.

【小问1详解】

为奇函数．证明如下：

要使函数有意义，则有，

∴的定义域为，（注：不求定义域扣2分）

∵，∴为奇函数．

小问2详解】

，即，

当时，，即，

当时，，即，

综上：当时，解集为；当时，解集为．

20. 已知函数，是奇函数.

（1）求实数的值；

（2）讨论函数在上的单调性，并求函数在上的最大值和最小值.

【答案】（1）；（2）函数在上单调递减；最大值，最小值.

【解析】

【分析】

（1）根据奇函数性质求解计算即可；

（2）用单调性的定义证明函数的单调性，由单调性即可证明函数在闭区间上的最值.

【详解】（1）∵是奇函数，所以，

检验知，时，，是奇函数，所以；

（2），且，有

，

∵，∴，即，

又，所以，即，

所以函数在上单调递减，

所以当时，取得最大值；当时，取得最小值.

【点睛】本题主要考查奇函数的性质，以及定义法证明函数单调性，最值的求法，属于中档题.

21. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.

（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;

（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.

【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.

【解析】

【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；

（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.

【详解】（1），

当且仅当时，即取“=”，符合题意；

∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.

（2）

又，∴当时，.

答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.

22. 已知函数，.

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.

【答案】（1）最小正周期为，单调减区间是，；（2），此时，，此时.

【解析】

【分析】（1）直接利用周期公式计算周期，再利用整体代入法求余弦型函数的单调减区间即可；

（2）先求出的取值范围，再利用余弦函数的性质求最值及取最值的条件即可.

【详解】解：（1）的最小正周期.

令，解得，，此时时，单调递减，

的单调递减区间是，；

（2），则，

故，，

，此时，即，即；

，此时，即，即.

【点睛】方法点睛：

解决三角函数的图象性质，通常利用余弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.