海南省定安县定安中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

这是一份海南省定安县定安中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年度高三年级第一学期开学考试数学科准考号:___________姓名：___________班级：____________一、单选题1．设集合，，（    ）A． B． C． D．2．若复数z满足，则复数z的虚部为（    ）A．i B．－i C．1 D．－13．已知角的终边经过点，则（    ）A． B． C． D．4．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务活动，则选中的2人都是女同学的方法数为（    ）A．6 B．5 C．4 D．35．函数在处的切线斜率为（    ）A． B． C． D．6．在等比数列中，若，则（    ）A．8 B．6 C．4 D．37．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（    ）  A． B． C． D．8．已知圆：，则直线：被圆截得的弦长为（    ）A． B． C． D． 二、多选题9．下列函数中在单调递增的有（    ）A． B．C．  D．10．下列函数是奇函数的是（    ）A． B．C．， D．11．若，那么下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．12．已知,则（    ）A．是偶函数 B．的最小正周期是C．图象的一个对称中心是 D．上单调递增 三、填空题13．已知，，，则向量与的夹角为        .14．      .15．在的展开式中，的系数为          ．16．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表：性别专业合计非统计专业统计专业男131023女72027合计203050为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝≈4.844，因为χ2>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为          ．附： 四、解答题17．已知等差数列的前项和为，公比q>0的等比数列的前项和为，(1)若，求数列的通项公式；(2)若，求18．如图，已知平面四边形存在外接圆（即对角互补），且，，．  (1)求的面积；(2)若DC=DA，求的周长。19．某中学有高一年级学生600人，高二年级学生400人参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取100名学生，对其成绩进行统计分析．得到如下图所示的频率分布直方图．  (1)求从该校高一年级、高二年级学生中各抽取的人数；(2)根据频率分布直方图，估计该校这1000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数．20．已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.21．如图，在直三棱柱中， ，分别为的中点． (1)求证：CM；(2)求证：平面；(3)设为上一点，且，求点到平面的距离．22.已知函数.(1)若是的极值点，求的值；(2)若a=1，讨论函数的单调性；(3)若恒成立，求a的取值范围；   
参考答案：1．C【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】依题意.故选：C2．C【分析】利用复数四则运算法则计算得到，求出虚部.【详解】因为，所以，故，复数z的虚部为1.故选：C3．B【分析】利用三角函数的定义可求得的值.【详解】由三角函数的定义可得.故选：B.4．D【分析】选中的2人都是女同学即从3名女同学中任选2人，即可得答案.【详解】由题意可得选中的2人都是女同学的方法数为，故选：D5．B【分析】利用导数的几何意义可求得所求切线的斜率.【详解】因为，则，所以，.因此，函数在处的切线斜率为.故选：B.6．B【分析】根据等比数列的性质可得，再根据对数的运算性质即可求得答案.【详解】在等比数列中，由，根据等比中项可得，所以，故选：B．7．C【分析】根据梯形中位线定理，结合圆台体积公式进行求解即可.【详解】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为，所以平地降雪厚度的近似值为.故选：C8．A【分析】利用半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成的直角三角形计算可得答案.【详解】圆的圆心，半径为，圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为.故选：A.9．AB【分析】根据函数表达式直接讨论单调性即可求解.【详解】对于A,因为，所以在单调递增，且在上单调递增，所以在单调递增，所以A正确；对于B，在单调递减，单调递增，所以在单调递增，所以B正确；对于C,因为在单调递增，在单调递增，但，所以在不是单调递增，所以C错误；对于D, ，所以函数在单调递减，单调递增，所以D错误；故选:AB.10．BD【分析】先要满足定义域关于原点对称，再满足，即为奇函数，A选项，函数为偶函数；BD选项，满足两个条件，为奇函数；C选项，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数；【详解】对于A选项，定义域为R，关于原点对称，，为偶函数，不满足题意．对于B选项，定义域为，关于原点对称，当时，，当时，，故为奇函数，满足题意．对于C选项，定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，不满足题意．对于D选项，，定义域为R，关于原点对称，且，故为奇函数，满足题意．故选：BD11．BD【分析】利用不等式的性质即可讨论即可求解.【详解】对于A,若则,故A不一定成立;对于B,因为,所以,所以,所以,所以B一定成立;对于C,当,所以C不一定成立;对于D, 因为,所以,所以D一定成立.故选:BD.12．ABC【分析】因为,根据偶函数的定义判断A;根据最小正周期公式判断B;将代入验证C的正误;求解函数的单调递增区间即可判断D.【详解】因为,定义域为,,所以是偶函数,故A正确;的最小正周期为,故B正确;,所以是图象的一个对称中心,故C正确;令,解得,即的单调递增区间为,故D错误.故选:ABC.13．【分析】根据平面向量的夹角公式可求出结果.【详解】设向量与的夹角为，，因为，所以.故向量与的夹角为.故答案为：14．/【分析】根据诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.【详解】.故答案为：15．10【分析】根据二项式定理写出通项公式，令即可求的系数.【详解】展开式的第项为，令，则.故答案为：1016．5%【分析】根据临界值表结合已知数据分析判断【详解】因为，所以依据小概率值的独立性检验，认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性最大为5%.故答案为：5%.17．(1)，(2)或 【分析】（1）利用已知条件，结合等差数列和等比数列的通项即可得出公差和公比，即可求得结果.（2）利用已知求出，再利用等差数列的前项和公式求解即可.【详解】（1）设的公差为，的公比为，由，得，又，得，与联立，解得（舍去）或，因此数列的通项公式为.（2）由，得，解得或，当时，由得，则，当时，由得，则，综上，或.18．(1)3(2) 【分析】（1）根据四边形存在外接圆的几何性质可得，利用平方关系可得，再根据面积公式可得的面积；（2）根据余弦定理求解的长，再由余弦定理与基本不等式可得的最值，从而得的周长的最大值．【详解】（1）因为平面四边形存在外接圆，所以，，又，所以，所以的面积．（2）在中，由余弦定理得，解得．在中，由余弦定理得，即．由此得，当且仅当时，等号成立，所以，故的周长．19．(1)人、人(2)人 【分析】（1）根据分层抽样计算方法计算可得；（2）由频率分布直方图求出竞赛成绩在分（含分）的频率，即可估计人数.【详解】（1）依题意从高一年级学生中抽取人，从高二年级学生中抽取人，（2）由频率分布直方图可得竞赛成绩在分（含分）的频率为，所以估计该校这名学生中竞赛成绩在分（含分）以上的人数为人.20．(1)(2) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程；（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案.【详解】（1）由已知，，又，则，所以双曲线方程为.（2）由，得，则，设，，则，，所以.21．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据得，并且得出四边形为正方形，进而即可求证；（2）利用等体积法的思想求点到平面的距离．【详解】（1）证明：在直三棱柱中， ，分别为的中点，∵∴，即，又是直三棱柱，所以平面，平面，所以,平面,,∴平面，平面,则，∵分别为的中点，且∴四边形为正方形，则，又，平面，∴平面；（2）由（1）知，即，又是直三棱柱，∴平面，∴，则点M到平面GBC的距离即为，∴，由（1）知，，且，∴，设点点到平面的距离为，则，∴，则，即点点到平面的距离为．22.(1)(2)答案见解析(3)； 【分析】（1）由题意可得，从而可求出的值；（2）求出函数的定义域，对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；（3）将问题转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值，即可求出a的取值范围.【详解】（1）由，得，因为是的极值点，所以，即，所以，经检验符合题意.（2）.当时，，所以在上单调递增；当时，令，解得，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（3）的定义域为，若恒成立，则恒成立，即恒成立，令，只需，又，令得，时，，则单调递增；时，，则单调递减；所以，解得：；【点睛】关键点点睛：第（3）问解题的关键是分离参数后，构造函数，然后利用导数求出函数的最值即得.