襄阳东风中学2023届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

2023襄阳东风中学初中部中考数学二模卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．的相反数是（　　）

A． B．2 C． D．

2．下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．下列四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

4．如图所示的几何体是由几个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是(   )

A． B． C． D．

5．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（    ）

A．26° B．36° C．44° D．54°

6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（    ）

A．6 B．12 C．24 D．48

7．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（    ）

A． B． C． D．

8．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何?”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（    ）

A． B． C． D．

9．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ）

A． B．  C．  D．

10．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（    ）

A．B．C．D．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．请写出一个随增大而增大的一次函数表达式_________．

12．不等式组的解集为______．

13．为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为______．

14．某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头(喷水头高度忽略不计)，各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O________米以内．

15．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，ABCD，AB＝24cm，CD＝10cm．则AB和CD之间的距离_____．

16．如图，矩形中， ，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是___________．

三、解答题（共72分）

17．先化简，再求值：，其中

18．为了掌握九年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的九年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成如下图表(成绩得分均为整数)：

根据图表中提供的信息解答下列问题：

(1)频数分布表中的________，_______；扇形统计图中的________，___________；

(2)已知全区九年级共有个班(平均每班人)，用这份试卷检测，分及以上为优秀，预计优秀的人数约为_______人，分及以上为及格，预计及格的人数约为_________人；

19．某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且；支架BC与水平线AD垂直．，，，另一支架AB与水平线夹角，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：，，）

20．如图，已知四边形是平行四边形，为平行四边形的对角线．

（1）请用直尺和圆规在上取一点，使得；

（2）在（1）的条件下，连接，若，求证：．

21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．

（1）求实数k的取值范围．

（2）是否存在实数k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

22．如图Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，点E在AB上，以AE为直径的⊙O经过点D．

(1)求证：直线BC是⊙O的切线．

(2)若AC=6，∠B=30°，求图中阴影部分的面积．

23．某水果经销商从种植专业户李大爷处购进甲，乙两种水果进行销售．李大爷为了答谢经销商，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按元的价格出售．设经销商购进甲种水果千克，付款元，与之间的函数关系如图所示．

(1)直接写出与之间的函数关系式；

(2)若该经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共千克，且甲种水果购进量不低于千克又不高于千克，设总付款总金额为元．请求出总付款金额(元)的最小值及甲、乙两种水果的购进量；

(3)在(2)中付款金额最小的方案下，该水果经销商决销售时决定甲、乙两种水果的售价都是元千克，同时他又是一个热心人，他决定每销售千克甲种水果捐元，每销售千克乙种水果捐元()，他将所捐的钱给了某中学一名贫困学生，销售时也打出捐款的牌子，所以甲、乙两种水果很快全部销售一空，结果发现总利润不高于元，求的最小值．

24．综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断

操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；

操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．

根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．

(2)迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．

①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；

②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．

(3)拓展应用

在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．

25．如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，且tan.设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）为抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，且.

①当点在线段(含端点)上运动时，求的变化范围；

②当取最大值时，求点到线段的距离；

③当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围.

1．D

解析：解：因为-+＝0，

所以-的相反数是．

故选：D．

2．D

解析：解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；    

B. ，故该选项不正确，不符合题意；    

C. ，故该选项不正确，不符合题意；    

D. ，故该选项正确，符合题意；

故选：D.

3．D

解析：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意．

故选D．

4．C

解析：从上面看，得到的视图是：

故选C．

5．B

解析：解： EO⊥CD，

，

，

．

故选：B ．

6．C

解析：解：∵四边形ABCD为菱形，

∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，

∵OE=3，且点E为CD的中点，

是的中位线，

∴BC=2OE=6．

∴菱形ABCD的周长为:4BC=4×6=24．

故选：C．

7．C

解析：∵1兆＝1万×1万×1亿，

∴1兆＝，

故选：C．

8．D

解析：设马每匹x两，牛每头y两，由题意得

，

故选：D．

9．C

解析：解：∵反比例系数中，，

∴反比例函数图象分别在第二象限和第四象限内，在每个象限内函数值y随x的增大而增大，

，

，

故选：C．

10．B

解析：一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；

B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确；

C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；

D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误；

故选：B．

11．（答案不唯一）

解析：解：如，y随x的增大而增大．

故答案为：（答案不唯一）．

12．

解析：解：

解不等式①得：

解不等式②得：

∴不等式组的解集为：

故答案为：

13．

解析：解：根据题意，画出树状图，如下∶

一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，

所以恰好选中甲和丙的概率为．

故答案为：

14．7

解析：设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x－3）2+5（a≠0），

将（8，0）代入y=a（x－3）2+5，得：

25a+5=0，

解得：a=－，

∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=－（x－3）2+5（0＜x＜8）．

当y=1.8时，有－（x－3）2+5=1.8，

解得：x1=－1（舍去），x2=7，

∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．

故答案为：7

15．7或17

解析：解：作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，

∵AB∥CD，

∴OF⊥CD，

∴AE＝BE＝AB＝12，CF＝DF＝CD＝5，

在Rt△OAE中，∵OA＝13，AE＝12，

∴OE＝＝5，

在Rt△OCF中，∵OC＝13，CF＝5，

∴OF＝＝12，

当圆心O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE＝12+5＝17；

当圆心O不在AB与CD之间时，EF＝OF﹣OE＝12﹣5＝7；

即AB和CD之间的距离为7cm或17cm．

故答案为7cm或17cm．

16．

解析：解：如图，连接，

四边形为矩形，

，，，

为中点，

由翻折知，，

，，，

，

平分，

，

，，

，

，

，

又，

，  

，

，

，

，

故答案为：．

17．，

解析：原式==，

当时，原式=．

18．(1)，，，

(2)、

解析：（1）∵被调查的总人数为人，

∴，

，

组所占百分比为，

∴，

组占百分比为，

∴，

故答案为，，，；

（2）∵全区八年级学生总人数为人，

∴预计优秀的人数约为人，预计及格的人数约为人，

故答案为、；

19．.

解析：设，

∴，

∵ ，

∴，

∴，

∵ ，

∴ ，

解得：，

∴.8≈19 cm

20．（1）见解析；（2）见解析

解析：解：（1）如图．点记为所求作的点．

（2）设（1）中所作直线与交于点，由（1）知，直线为边的垂直平分线

则，

∵，

∴为的中位线，

∴，，

∴

∵四边形是平行四边形，

∴，∴

∴，即．

21．（1）k≤；（2）存在实数k，k＝﹣3．

解析：解：（1）根据题意得△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，

解得k≤；

（2）根据题意得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，

∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．

∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，

即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，

∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，

整理得k2﹣2k﹣15＝0，

解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．

∴k＝﹣3．

22．(1)见解析

(2)阴影部分的面积为π-4．

解析：（1）证明：连接OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，

∴OD⊥BC，

∴直线BC是⊙O的切线；

（2）解：由∠B=30°，∠C=90°，∠ODB=90°，

得：AB=2AC=12，OB=2OD，∠AOD=120°，

∠DAC=30°，

∵OA=OD，

∴OB=2OA，

∴OA=OD=4，

由∠DAC=30°，得DC=2，

∴S阴影=S扇形OAD-S△OAD

=

=π-4．

23．(1)

(2)购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额(元)最少，最少总付款金额为元；

(3)的最小值是

解析：（1）解：当时，设根据题意得，

解得；

；

当时，设

根据题意得，，

解得

．

；

（2）设购进甲种水果为千克，则购进乙种水果千克，

，

当时，，

当时， 元，

当时，．

当时， 元，

，

当时，总费用最少，最少总费用为 元，

此时乙种水果千克，

答：购进甲种水果为千克，购进乙种水果千克，才能使经销商付款总金额元最少，最少总付款金额为元；

（3）根据题意得：，

解得，

的最小值是．

24．(1)或或或

(2)①15，15；②，理由见解析

(3)cm或

解析：（1）解：

，sin∠BME=

（2）∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°

由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°

∴BM=BC

①

∴

②

（3）当点Q在点F的下方时，如图，

，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)

由（2）可知，

设

，

即

解得：

∴；

当点Q在点F的上方时，如图，

cm，DQ =3cm，

由（2）可知，

设

，

即

解得：

∴．

25．（1）；（2）①②2③

解析：解：（1）令y=0得：a（x+2）（x-6）=0

解得：x=-2或6

∴,，

在中

，且,

∴，

,将点坐标代入得：，

故抛物线解析式为：；

（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：x=2，顶点M(2,4)，

设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），

则PC2=22+(m-3)2，PQ2=m2+(n-2)2，CQ2=32+n2，

∵PQ⊥PC，

∴在Rt△PCQ中中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2,

即22+(m-3)2+ m2+(n-2)2=32+n2，整理得：

n==（0≤m≤4），

∴当时，n取得最小值为；当时，n取得最大值为4，

∴≤n≤4；

②由①知：当n取最大值4时，m=4，

∴P（2,4），Q（4,0）

则PC=，PQ=2，CQ=5，

设点P到线段CQ距离为，

由，

得：

故点到线段距离为；

③由②可知：当取最大值4时，，

线段的解析式为：，

设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，

当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点

此时对应的点的纵坐标为：，

将代入得：，

当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，

联解

得：，化简得：

，

由，得，

当线段与抛物线有两个交点时，.