初中人教版13.3.1 等腰三角形第1课时同步测试题

13.3　等腰三角形

　13.3.1　等腰三角形

第1课时

　　　　　　　　　　 必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．等腰三角形的两个底角相等．(√)

2．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称“三线合一”). (√)

3．在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠A＝∠C. (×)

4．在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD.(√)

知识点1　等腰三角形的性质1

1．(2020·临沂中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝(　D　)

A．40°    B．50°    C．60°    D．70°

【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，

∴∠ACB＝70°，

∵CD∥AB，∴∠ACD＝180°－∠A＝140°，

∴∠BCD＝∠ACD－∠ACB＝70°.

2．(2020·烟台中考)量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为(　C　)

A.60°    B．70°    C．80°    D．85°

【解析】∵OA＝OB，∠AOB＝140°，

∴∠A＝∠B＝(180°－140°)＝20°，

∵∠AOC＝60°，

∴∠ADC＝∠A＋∠AOC＝20°＋60°＝80°.

3．(2020·滨州中考)在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为__80°__．

【解析】∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，

∴∠A＝180°－2×50°＝80°.

4．(2020·黄冈中考)已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝__40__°.

【解析】∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝35°，

∴∠ADB＝∠DAC＋∠C＝70°.

∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝70°，

∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－70°－70°＝40°.

5．(2021·宿迁模拟)如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC.求证：∠C＝2∠D.

【证明】∵AB＝AC＝AD，

∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D；

∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D；

∴∠ABD＋∠CBD＝2∠D，

即∠ABC＝2∠D，∴∠C＝2∠D.

知识点2　等腰三角形的性质2

6.(2020·福建中考)如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于(　B　)

A.10    B．5    C．4    D．3

【解析】∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5.

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是(　A　)

A.AD＝BD      B．BD＝CD

C．∠1＝∠2      D．∠B＝∠C

【解析】根据三线合一可知，B，C，D一定成立．

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC的中线，过点D作DE⊥AC于点E.若∠BAC＝72°.求∠ADE的度数．

【解析】∵AB＝AC，AD是边BC的中线，

∴∠CAD＝∠BAC，

∵∠BAC＝72°，

∴∠CAD＝36°，

∵DE⊥AC，

∴∠AED＝90°，

∴∠ADE＝90°－36°＝54°.

9．(教材P82习题13.3第6题改编)如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠BCA，点D，E在BC边上，且PD∥AB，PE∥AC.求证：△PDE的周长等于BC.

【证明】∵BP平分∠ABC，CP平分∠BCA，

∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，

又∵PD∥AB，PE∥AC，

∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，

∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，

∴BD＝PD，CE＝PE，

∴△PDE的周长＝PD＋DE＋PE＝BD＋DE＋EC＝BC.

关键能力·综合练

10．(2020·呼伦贝尔中考)如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是(　D　)

A．25°    B．20°    C．30°    D．15°

【解析】∵AB＝AC，∠C＝∠ABC＝65°，

∴∠A＝180°－65°×2＝50°，

∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD，

∴∠A＝∠ABD＝50°，

∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝15°.

11．(2020·北部湾中考)如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为(　B　)

A.60°    B．65°    C．70°    D．75°

【解析】∵BA＝BC，∠B＝80°，

∴∠A＝∠ACB＝(180°－80°)＝50°，

∴∠ACD＝180°－∠ACB＝130°，

观察作图过程可知：CE平分∠ACD，

∴∠DCE＝∠ACD＝65°.

12．(2020·绵阳中考)在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝(　C　)

A.16°    B．28°    C．44°    D．45°

【解析】延长ED，交AC于F，

∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，

∴∠A＝∠ACB＝28°，

∵AB∥DE，∴∠CFD＝∠A＝28°，

∵∠CDE＝∠CFD＋∠ACD＝72°，

∴∠ACD＝72°－28°＝44°.

13．(易错警示题)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出不同的等腰三角形的个数最多为(　D　)

A.4    B．5    C．6    D．7

【解析】如图：

14．(2021·曲阜期中)如果一等腰三角形的顶角为钝角，过这个等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角的度数为__108°__．

【解析】①如图，∠ACB是钝角，直线CD将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，AC＝BC＝BD，AD＝CD，

设∠B＝x°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝x°，

∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝x°，

∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝2x°，

∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝2x°，

∴∠ACB＝3x°，

∴x＋x＋3x＝180°，解得x＝36°，∴顶角是108°.

②若过A或B作直线，则不能将这个等腰三角形分成两个等腰三角形．

综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为108°.

15．(易错警示题)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为__69°或21°__．

【解析】分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：

∵BD⊥AC，∴∠A＋∠ABD＝90°，

∵∠ABD＝48°，∴∠A＝90°－48°＝42°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝×(180°－42°)＝69°.

②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得，∠DAB＝90°－48°＝42°，∴∠BAC＝180°－42°＝138°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝(180°－138°)＝21°.

综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°.

16.(2021·济南期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，DE，DF分别垂直AB，AC于点E和F.求证：DE＝DF.

【证明】方法一：连接AD.

∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC(三线合一)，

∵DE，DF分别垂直AB，AC于点E和F.

∴DE＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等).

方法二：在△ABC中，

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角).

∵点D是BC边上的中点，

∴BD＝DC.

∵DE，DF分别垂直AB，AC于点E和F，

∴∠BED＝∠CFD＝90°.

在△BED和△CFD中，

∴△BED≌△CFD(AAS)，

∴DE＝DF(全等三角形的对应边相等).

17．(素养提升题)已知△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，

(1)如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝________°；β＝________°.

(2)如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．

(3)是否存在不同于(2)中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式(写出一种即可)，说明理由；若不存在，请说明理由．

【解析】(1)∵AB＝AC，∠ABC＝60°，

∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，

∴∠DAE＝180°－2∠ADE＝40°，

∴α＝∠BAD＝60°－40°＝20°，

∴∠ADC＝∠BAD＋∠ABD＝20°＋60°＝80°，

∴β＝∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝10°.

答案：20　10

(2)设∠ABC＝x，∠AED＝y，

∴∠ACB＝x，∠ADE＝y，

在△DEC中，y＝β＋x，

在△ABD中，α＋x＝y＋β＝β＋x＋β，∴α＝2β.

(3)①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上时，如图1，设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△ABD中，x＋α＝β－y，在△DEC中，x＋y＋β＝180°，∴α＝2β－180°，

②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上时，如图2，同①的方法可得α＝180°－2β.

模型　等腰三角形“等边对等角”性质的应用模型

　如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，求∠B的度数．

【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，

∵∠A＝40°，∴∠B＝(180°－40°)÷2＝70°.

应用模型：

在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

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