八年级上册13.3.1 等腰三角形第2课时同步训练题

　13.3.1　等腰三角形

第2课时

　　　　　　　　　　 必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．(√)

2．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．(√)

3．在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AC＝BC.(×)

4．若AB＝AC，∠A＝30°，则∠ACB＝70°. (×)

知识点1　等腰三角形的判定

1．如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(　D　)

A．(1)(2)(3)      B．(1)(2)

C．(2)(3)       D．(1)(3)

【解析】根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理：等角对等边，(1)中，作底角的角平分线即可；(2)中，不能；(3)中，作底边上的高即可．

2．(教材P79练习T1改编)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__3__．

【解析】∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．

∵∠A＝36°，∴∠C＝∠ABC＝72°.BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∵∠A＝∠ABD＝36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°＝∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．

3.(教材P79练习T2改编)如图，已知长方形ABCD，把△ABC沿对角线AC折叠，交AD于点F，则△AFC是一个__等腰__三角形．

【解析】由折叠易得∠ACB＝∠ACF，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

∴∠ACF＝∠DAC，

∴AF＝CF，

∴△AFC是等腰三角形．

4．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D为BC上一点，且∠DAB＝45°.

(1)求∠DAC的度数．

(2)证明△ACD是等腰三角形．

【解析】(1)∵在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，

∴∠C＝∠B＝30°，

∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝120°，

∵∠DAB＝45°，

∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB

＝120°－45°＝75°.

(2)∵∠DAC＝75°，∠C＝30°，

∴∠ADC＝180°－∠C－∠DAC＝75°，

∴∠DAC＝∠ADC，∴AC＝DC，

∴△ACD是等腰三角形．

知识点2　等腰三角形的性质与判定的综合运用

5．如图，B，D分别在AC，CE上，AD是∠CAE的平分线，BD∥AE，AB＝BC.则AC与AE的数量关系是__相等__．

【解析】∵AD平分∠CAE，

∴∠CAD＝∠EAD，

又∵BD∥AE，

∴∠BDA＝∠EAD，

∴∠BAD＝∠BDA，

∴AB＝BD，

又∵AB＝BC，

∴BC＝BD，

∴∠C＝∠CDB，

又∵BD∥AE，

∴∠CDB＝∠E，

∴∠C＝∠E，

∴AC＝AE.

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，△ADE也是等腰三角形吗？为什么？

【解析】△ADE是等腰三角形．理由：

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.

∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，

∴△ADE是等腰三角形．

7．已知：如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，E 点为 BD的中点．求证：CE平分∠BCD.

【证明】∵AB＝AD，

∴∠ADB＝∠ABD(等边对等角).

∵∠ADC＝∠ABC，

∴∠ADC－∠ADB＝∠ABC－∠ABD，

即∠BDC＝∠DBC.∴BC＝DC(等角对等边).

∴△BCD 为等腰三角形．

又∵E 点为 BD 的中点，

∴CE 平分∠BCD(三线合一).

知识点3　求作等腰三角形

8．已知：线段a，∠α.

求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠B＝∠α.

【解析】如图所示：△ABC即为所求．

9．已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D.

求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．

【解析】∵点P到∠ABC两边的距离相等，

∴点P在∠ABC的平分线上；

∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB＝PD，

∴点P在线段BD的垂直平分线上，

∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，如图所示：

关键能力·综合练

10．(2021·绥化期中)下面叙述不可能是等腰三角形的是(　B　)

A．有两个内角分别为75°，75°的三角形

B．有两个内角分别为110°和40°的三角形

C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形

D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形

【解析】A.有两个内角分别为75°，75°的三角形，另一内角为30°，可以构成等腰三角形；B.有两个内角分别为110°和40°的三角形，另一内角为30°，不能构成等腰三角形，C.有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形，与外角相邻的内角是80°，第三个角是50°，可以构成等腰三角形；D.有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形，与外角相邻的内角是40°，另外两个内角是40°和40°，可以构成等腰三角形．

11．(2020·湘西中考)已知∠AOB，作∠AOB的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以O，C为圆心，大于OC的长为半径画弧，两弧相交于E，F.画直线EF，分别交OA于D，交OB于G.那么△ODG一定是(　C　)

A．锐角三角形    B．钝角三角形

C．等腰三角形    D．直角三角形

【解析】如图所示，

∵OM平分∠AOB，

∴∠AOC＝∠BOC，

由题可得DG垂直平分OC，垂足为P，

∴∠OPD＝∠OPG＝90°，

∴∠ODP＝∠OGP，∴OD＝OG，

∴△ODG是等腰三角形．

12．如图，两个全等的直角三角形中都有一个锐角为30°，且较长的直角边在同一条直线上，则图中的等腰三角形有(　B　)

A.4个    B．3个    C．2个     D．1个

【解析】如图，由题意知∠A＝∠B＝30°，∠C＝∠D＝60°，∴AE＝BE(等角对等边)，∠CEF＝∠DEG＝60°(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)，

∴CF＝FE，EG＝DG，

∴△ABE，△ECF，△EDG是等腰三角形．

13．(教材第83页习题13.3T10改编)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为(　D　)

A.6    B．7    C．8    D．9

【解析】∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，

∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB.

∵MN∥BC，

∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB.

∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN.

∴BM＝ME，EN＝CN.

∴MN＝ME＋EN＝BM＋CN＝9.

14．(易错警示题)在平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0).若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(　A　)

A．5    B．6    C．7    D．8

【解析】∵点A，B的坐标分别为(2，2)，B(4，0).

∴AB＝2，①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点(含B点)，即(0，0)，(4，0)，(0，4)，∵点(0，4)与直线AB共线，

∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．

15．(2020·广东中考)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形．

【证明】∵∠ABE＝∠ACD，∠DFB＝∠EFC，

在△BDF和△CEF中，

∴△BDF≌△CEF(AAS)，

∴BF＝CF，DF＝EF，

∴BF＋EF＝CF＋DF，

即BE＝CD，

在△ABE和△ACD中，

∴△ABE≌△ACD(AAS)，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形．

16．(素养提升题)(2020·哈尔滨中考)已知：在△ABC中，AB＝AC，点D，点E在边BC上，BD＝CE，连接AD，AE.

(1)如图1，求证：AD＝AE；

(2)如图2，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°.

【解析】(1)∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴AD＝AE；

(2)∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED，

∵BF∥AC，

∴∠DBF＝∠C＝45°，

∵∠ABC＝∠C＝∠DAE＝45°，∠BDF＝∠ADE，

∴∠F＝∠BDF，∠BEA＝∠BAE，∠CDA＝∠CAD，

∴满足条件的等腰三角形有：△ABE，△ACD，△DAE，△DBF.

模型　构造等腰三角形的方法

(1)“角平分线＋平行线”构造等腰三角形，应用平行线的性质得到角的相等关系，应用等角对等边得到边相等．

如图，B，D分别在AC，CE上，AD是∠CAE的平分线，BD∥AE，则AB＝BD.

(2)“角平分线＋垂线”构造等腰三角形，应用的原理是逆用等腰三角形的三线合一性质定理．

如图，若∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，则AB＝AC.

(3)应用“垂直平分线”构造等腰三角形．

如图，若AD⊥BC，BD＝CD，则AB＝AC.

(4)用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形．

如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形是：△ABC(或△BDC或△DAB).

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