初中数学人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形习题

这是一份初中数学人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形习题，共23页。试卷主要包含了3　等腰三角形等内容，欢迎下载使用。

第十三章　轴对称
13.3　等腰三角形
13.3.1　等腰三角形
基础过关全练
知识点1　等腰三角形的性质
1.(2023天津师大附中期中)若等腰三角形的底角是顶角的2倍,则这个等腰三角形的底角的度数是(　　)
A.36°　　　　 　B.72°　　　
C.36°或72°　　　　　D.无法确定
2.【教材变式·P77T3】如图,在△ABC中,AB=AD,∠B=2∠C,∠BAD=
32°,则∠C的度数为(　　)

A.32°　　　B.35°　　　C.37°　　　D.40°
3.(2020甘肃兰州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在CA的延长线上,DE⊥BC于点E,∠BAC=100°,则∠D=(　　)

A.40°　　　B.50°　　　C.60°　　　D.80°
4.如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,下列结论中:①∠BAD=∠CAD;②AD上任意一点到AB、AC的距离相等;③BD=CD;④若点P在直线AD上,则PB=PC.其中正确的是(　　)

A.①　　　　　 B.①②　　　
C.①②③　　　　　D.①②③④
5.【新独家原创】如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=25°,点D在线段BA的延长线上,点E在AC上,连接DE,且AE=DE,点F在BC上,连接DF,且BF=DF,则∠EDF的度数为　　　　　.

6.(2023安徽芜湖一中月考)如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=40°,则∠CDE的度数为　　　　. 

7.【一题多变】(2023湖南长沙长郡中学期中)如图,在△ABC中,AB=AC,点E是边AC上的点,连接BE,若BE⊥AC,∠ACB=66°,则∠ABE的度数为　　　　.

[变式1]如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是边BC,AC上的点,连接AD,BE.若AD,BE分别是△ABC的中线和角平分线,∠CAD=20°,求∠CBE的度数.



[变式2]如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是边BC,AC上的点,连接AD,BE,DE,若AD=AE.
(1)当AD是边BC上的高,且∠BAD=30°时,求∠EDC的度数;
(2)当AD不是边BC上的高时,请判断∠BAD与∠EDC之间的数量关系,并加以证明.




8.【方程思想】如图,在△ABC中,点D在BC上,AB=AC=CD,且AD=BD.求△ABC的三个内角的度数.




知识点2　等腰三角形的判定
9.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,则下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是(　　)
A.∠A∶∠B∶∠C=2∶2∶5
B.a∶b∶c=3∶4∶5
C.a=5,b=6,c=5
D.∠A=40°,∠B=100°
10.(2022河北邢台月考)如图,已知∠A=36°,∠C=72°,BE平分∠ABC,DE∥BC,则图中等腰三角形的个数为(　　)

A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.无法确定
11.【跨学科·地理】如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为　　　　海里. 

12.【教材变式·P83T10】如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF∥BC分别交AB,AC于点E,F.已知EF=6,BE=4,则CF的长为　　　　. 

13.(2021河南信阳期中)如图,将一张长方形纸片ABCD按图中所示的方式进行折叠,若AE=3,AB=4,BE=5,则重叠部分的面积是　　　　　. 

14.(2023河北保定期中)如图,在△ABC中,AB=AC,M、N分别是AB、AC边上的点,并且MN∥BC.
(1)求证:△AMN是等腰三角形;
(2)点P是MN上的一点,并且BP平分∠ABC,求证:△BPM是等腰三角形.




15.(2021广东东莞期中)在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD的平分线,DF∥AB交AE的延长线于F.
(1)若∠BAC=120°,求∠BAD的度数;
(2)求证:△ADF是等腰三角形.





能力提升全练
16.(2022山东泰安中考,5,★★☆)如图,l1∥l2,点A在直线l1上,点B在直线l2上,AB=BC,∠C=25°,∠1=60°,则∠2的度数是(　　)

A.70°　　　B.65°　　　C.60°　　　D.55°
17.(2020四川南充中考,6,★★☆)如图,在等腰△ABC中,BD为∠ABC的平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD=(　　)

A.a+b2　　　B.a-b2　　　C.a-b　　　D.b-a
18.【方程思想】(2023云南昆明八中期中,6,★★☆)如图,在△ABC中,∠A为钝角,AB=20 cm,AC=12 cm,点P从点B出发以3 cm/s的速度向点A运动,点Q同时从点A出发以2 cm/s的速度向点C运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.当△APQ是等腰三角形时,运动的时间是(　　)

A.2.5 s　　　B.3 s　　　C.3.5 s　　　D.4 s
第18题图　　第19题图
19.(2023广东广州华侨外国语学校月考,8,★★☆)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(4,0)、B(0,3),AB=5,点D在x轴上,若在线段AB(包括两个端点)上找点P,使得点A、D、P构成等腰三角形的点P恰好只有1个,下列选项中满足上述条件的点D的坐标不可能是(　　)

A.(-3,0)　　　　　B.(-1,0)　　　
C.(5,0)　　　　　 D.(9,0)
20.【数学文化】(2019浙江衢州中考,7,★★☆)“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是(　　)

A.60°　　　B.65°　　　C.75°　　　D.80°

21.(2020湖北黄冈中考,12,★☆☆)已知:如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=DC,∠C=35°,则∠BAD=　　　　度. 

22.(2022四川广安中考,14,★★☆)若(a-3)2+b-5=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为　　　　.
23.(2022山东济南期末,17,★★☆)如图,已知∠BAC=130°,AB=AC,
AC的垂直平分线交BC于点D,连接AD,则∠BAD是　　　　. 

24.(2021黑龙江牡丹江中考,6,★★☆)过等腰三角形顶角顶点的一条直线将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形,则原等腰三角形的底角度数为　　　　.
25.(2022浙江温州中考,20,★★☆)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.
(1)求证:∠EBD=∠EDB;
(2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.



26.(2022山西运城实验中学期末,22,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40°,点D在线段BC上运动(D不与B、C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于E.
(1)当∠BDA=115°时,∠BAD=　　　　°;点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变　　　　(填“大”或“小”); 
(2)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,判断当∠BDA等于多少度时,△ADE是等腰三角形.





素养探究全练
27.【几何直观】如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的特异线,称这个三角形为特异三角形.
(1)如图,在△ABC中,∠B=2∠C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,求证:AE是△ABC的一条特异线;
(2)若△ABC是特异三角形,∠A=30°,∠B为钝角,求出所有可能的∠B的度数.




28.【推理能力】已知:△ABC和△DBE均为等腰直角三角形,如图①,易证AD=CE且AD⊥CE.
(1)将△DBE绕点B顺时针旋转至图②的位置时,线段AD和CE有怎样的关系?
(2)将△DBE绕点B顺时针旋转至图③的位置时,线段AD和CE又有怎样的关系?
答案全解全析
基础过关全练
1.B　设顶角为x度,则底角为2x度,
则x+2x+2x=180,解得x=36,∴2x=72,故选B.
2.C　∵AB=AD,∠BAD=32°,
∴∠B=∠ADB=12×(180°-32°)=74°,
∵∠B=2∠C,∴∠C=12∠B=37°,故选C.
3.B　∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠C=∠B=40°,
∵DE⊥BC,∴∠D=90°-∠C=50°,故选B.
4.D　∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,
又∵AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD,BD=CD,故①③正确;
∵∠BAD=∠CAD,
∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等,故②正确;
∵AD⊥BC,BD=CD,∴AD垂直平分BC,
若点P在直线AD上,则PB=PC,故④正确.
故选D.
5.答案　25°
解析　∵AB=AC,∴∠C=∠B=25°.
∴∠DAC=∠B+∠C=50°.
∵AE=DE,∴∠EDA=∠EAD=50°.
∵BF=DF,∴∠FDB=∠FBD=25°.
∴∠EDF=∠ADE-∠FDB=50°-25°=25°.
6.答案　60°
解析　∵AC=CD=BD=BE,∠A=40°,
∴∠CDA=∠A=40°,∠B=∠DCB,∠BDE=∠BED,
∵∠B+∠DCB=∠CDA=40°,
∴∠B=20°,
∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°,
∴∠BDE=∠BED=12×(180°-20°)=80°,
∴∠CDE=180°-∠CDA-∠EDB=180°-40°-80°=60°.
7.答案　42°
解析　∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=66°.
∵BE⊥AC,∴∠BEC=90°,
∴∠EBC=90°-∠ACB=90°-66°=24°,
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=66°-24°=42°.
[变式1]　解析　∵AB=AC,AD是△ABC的中线,
∴∠BAD=∠CAD=20°,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC=12×(180°-20°-20°)=70°,
∵BE是△ABC的角平分线,
∴∠CBE=12∠ABC=35°.
[变式2]　解析　(1)∵AD是边BC上的高,AB=AC,
∴∠ADC=90°,AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∵∠BAD=30°,∴∠CAD=30°.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=12×(180°-30°)=75°,
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.
(2)∠BAD=2∠EDC.
证明:∵AB=AC,AD=AE,
∴∠ABC=∠C,∠ADE=∠AED.
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD,∠AED=∠C+∠EDC,
∴∠ABC+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=∠C+2∠EDC,∴∠BAD=2∠EDC.
8.解析　设∠B=x,∵AB=AC,∴∠C=∠B=x,
∵AC=CD,∴∠CAD=∠CDA,
∵AD=BD,∴∠BAD=∠B=x,
由三角形外角的性质得∠CDA=∠B+∠BAD=2x,
∵∠C+∠CAD+∠CDA=180°,
∴x+2x+2x=180°,解得x=36°,
∴∠C=36°,∠B=36°,
∴∠BAC=180°-36°-36°=108°,
∴△ABC的三个内角的度数分别是108°,36°,36°.
9.B　选项A中,∵∠A∶∠B∶∠C=2∶2∶5,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=180°×22+2+5=40°,∠B=180°×22+2+5=40°,
∴∠A=∠B,∴△ABC是等腰三角形,
故A不符合题意;
选项B中,∵a∶b∶c=3∶4∶5,∴a≠b≠c,
∴△ABC不是等腰三角形,故B符合题意;
选项C中,∵a=5,b=6,c=5,∴a=c,
∴△ABC是等腰三角形,故C不符合题意;
选项D中,∵∠A=40°,∠B=100°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=40°,∴∠A=∠C,
∴△ABC是等腰三角形,故D不符合题意.
故选B.
10.C　∵∠A=36°,∠C=72°,
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=72°,∴∠C=∠ABC,
∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC=12∠ABC=36°,∴∠A=∠ABE,
∴EA=EB,∴△ABE是等腰三角形,
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠C,
∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,
∴△ADE是等腰三角形,
∵DE∥BC,∴∠DEB=∠EBC=36°,
∴∠DBE=∠DEB,∴DB=DE,
∴△DBE是等腰三角形,
∵∠EBC=36°,∠C=72°,
∴∠BEC=180°-∠EBC-∠C=72°,
∴∠C=∠BEC,
∴BE=BC,∴△BEC是等腰三角形.
故等腰三角形的个数是5.
11.答案　80
解析　∵向北的方向线是平行的,∴∠M=70°,
∵∠NPM=180°-70°-40°=70°,∴∠NPM=∠M,
∴NP=MN=40×2=80(海里),
故答案为80.
12.答案　2
解析　∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠CBO,
∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,
∴∠EOB=∠EBO,∴BE=OE,同理可证CF=OF,
∴EF=OE+OF=BE+CF,
∵EF=6,BE=4,
∴CF=EF-BE=2,故答案为2.
13.答案　10
解析　如图,由折叠可知∠1=∠2,易知∠1=∠3,
∴∠2=∠3,∴ED=EB=5,
∴重叠部分的面积=12DE·AB=12×5×4=10.
故答案为10.

14.证明　(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,
∵MN∥BC,∴∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠C,
∴∠AMN=∠ANM,∴AM=AN,
∴△AMN是等腰三角形.
(2)∵BP平分∠ABC,∴∠MBP=∠CBP,
∵MN∥BC,∴∠MPB=∠CBP,
∴∠MBP=∠MPB,∴MB=MP,
∴△BPM是等腰三角形.
15.解析　(1)∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,
∵AD为△ABC的中线,∴∠BAD=∠CAD,
∵∠BAC=120°,∴∠BAD=60°.
(2)证明:∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠DAE=∠EAB,
∵DF∥AB,∴∠F=∠BAE,∴∠DAF=∠F,
∴AD=DF,∴△ADF是等腰三角形.
能力提升全练
16.A　如图,设直线l2交AC于点E,
∵AB=BC,∠C=25°,∴∠BAC=∠C=25°.
∵l1∥l2,∠1=60°,∴∠EBA=∠1=60°,
∴∠BEC=∠EBA+∠BAC=60°+25°=85°,
∴∠2=180°-∠C-∠BEC=180°-25°-85°=70°.

17.C　∵在等腰△ABC中,BD为∠ABC的平分线,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°,
∴∠ABD=36°=∠A,
∴BD=AD,∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,
∴BD=BC,
∵AB=AC=a,BC=b,
∴CD=AC-AD=AB-BC=a-b,故选C.
18.D　设运动的时间为x s,
则AP=(20-3x)cm,AQ=2x cm,
当△APQ是等腰三角形时,AP=AQ,
即20-3x=2x,解得x=4.故选D.
19.B　∵A(4,0),B(0,3),AB=5,
∴当点D的坐标为(-3,0)时,只能作以PD、PA为腰的等腰三角形;
当点D的坐标为(-1,0)时,可以作以PD、PA为腰的等腰三角形,也可以作以AP、AD为腰的等腰三角形;
当点D的坐标为(5,0)时,只能作以AD、PA为腰的等腰三角形;
当点D的坐标为(9,0)时,只能作以AD、PA为腰的等腰三角形.故选B.
20.D　∵OC=CD=DE,∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,
∴∠DEC=∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC,
∴∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°,∴∠ODC=25°,
∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=105°,
∴∠CDE=105°-25°=80°.故选D.
21.答案　40
解析　∵AD=DC,∴∠DAC=∠C=35°,
∴∠ADB=∠DAC+∠C=70°.
∵AB=AD,
∴∠B=∠ADB=70°,
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-70°-70°=40°.
故答案为40.
22.答案　11或13
解析　∵(a-3)2+b-5=0,
∴a-3=0,b-5=0,解得a=3,b=5.
当等腰三角形的三边长分别为3,3,5时,周长为3+3+5=11;
当等腰三角形的三边长分别为3,5,5时,周长为3+5+5=13.
综上所述,等腰三角形的周长为11或13.
23.答案　105°
解析　∵AC的垂直平分线交BC于点D,
∴AD=CD,∴∠C=∠CAD,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
在△ABC中,∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴130°+2∠C=180°,∴∠C=∠CAD=25°,
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=105°,故答案为105°.
24.答案　36°或45°
解析　(1)如图,△ABC中,AB=AC,BD=AD,AC=CD,求∠ABC的度数.

∵AB=AC,BD=AD,AC=CD,
∴∠ABC=∠C=∠BAD,∠CDA=∠CAD,
∵∠CDA=∠CAD=∠B+∠BAD=2∠ABC,
∴∠CAB=3∠ABC,
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴5∠ABC=180°,∴∠ABC=36°.
(2)如图,△ABC中,AB=AC,AD=BD=CD,求∠ABC的度数.

∵AB=AC,AD=BD=CD,
∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB,
∴∠BAC=2∠ABC,
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴4∠ABC=180°,∴∠ABC=45°.
综上,∠ABC的度数为36°或45°.
25.解析　(1)证明:∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠CBD=∠EBD.
∵DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB,
∴∠EBD=∠EDB.
(2)CD=ED.理由如下:
∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC,
∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,
∴AC-AD=AB-AE,即CD=BE.
由(1)得∠EBD=∠EDB,
∴BE=ED,∴CD=ED.
26.解析　(1)∠BAD=180°-∠ABD-∠BDA=180°-40°-115°=25°,由题图可得,点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变小,故答案为25;小.
(2)∵AB=AC,∴∠C=∠B=40°,
①当AD=AE时,∠AED=∠ADE=40°,
∵∠AED>∠C,∴不符合题意;
②当DA=DE时,∠DAE=∠DEA=12×(180°-40°)=70°,
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°,
∴∠BAD=100°-70°=30°,
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°;
③当EA=ED时,∠DAE=∠ADE=40°,
∴∠BAD=100°-40°=60°,∴∠BDA=180°-60°-40°=80°.
∴当∠BDA=110°或80°时,△ADE是等腰三角形.
素养探究全练
27.解析　(1)证明:∵直线DE是线段AC的垂直平分线,
∴EA=EC,∴△EAC是等腰三角形,
∴∠EAC=∠C,∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,
∵∠B=2∠C,∴∠AEB=∠B,
∴AB=AE,∴△EAB是等腰三角形,
∴AE是△ABC是一条特异线.
(2)当BD是特异线时,如图1,
若AB=BD=DC,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°;
如图2,若AD=AB,DB=DC,
则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°;
如图3,若AD=DB,DC=DB,
则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°(不合题意,舍去).
当AD是特异线时,如图4,AB=BD,AD=DC,
则∠ABC=180°-20°-20°=140°.
当CD为特异线时,不合题意.

图1　 图2

图3 　图4
∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°.
28.解析　(1)AD=CE且AD⊥CE.
理由:∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形,
∴AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=90°,
在△ABD和△CBE中,AB=CB,∠ABD=∠CBE,BD=BE,
∴△ABD≌△CBE(SAS),
∴AD=CE,∠BAD=∠BCE,
延长AD交CE于F,如图①,
∵∠BCE+∠BEC=90°,∴∠BAD+∠BEC=90°,
∴∠AFE=180°-90°=90°,∴AD⊥CE.

(2)AD=CE且AD⊥CE.
理由:∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形,
∴AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=90°,
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,
即∠ABD=∠CBE,
在△ABD和△CBE中,AB=CB,∠ABD=∠CBE,BD=BE,
∴△ABD≌△CBE(SAS),
∴AD=CE,∠BAD=∠BCE,
设AD与CE的交点为F,如图②,
则∠ACF+∠CAF=∠ACB+∠CAB=90°,
∴∠AFC=180°-90°=90°,∴AD⊥CE.