人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形第1课时学案

这是一份人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形第1课时学案，共8页。学案主要包含了知识链接，新知预习，自学自测，我的疑惑等内容，欢迎下载使用。
第十三章 三角形13．3  等腰三角形13．3．2  等边三角形第1课时 等边三角形的性质与判定学习目标：1．探索等边三角形的性质和判定．          2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．   重点：等边三角形的性质和判定．难点：运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．自主学习教学备注：学生在课前完成自主学习部分一、知识链接1．三条边都_________的三角形叫做等边三角形．2．等腰三角形：图形定义性质判定等腰三角形有_______相等的三角形叫做等腰三角形两____相等两____相等等边对_______等角对____三线合一：_______、_______、_______ 轴对称图形 二、新知预习类比学习一：等边三角形的性质性质等腰三角形等边三角形边两条边相等______条边都相等角两个底角相等______角相等，且都是______三线合一底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合______上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合对称轴1条______条要点归纳：等边三角形的三个内角都__________，并且每一个角都等于________． 类比学习二：等边三角形的判定判定等腰三角形等边三角形边______条边相等的三角形是等腰三角形______条边都相等的三角形是等边三角形角______个角相等的三角形是等腰三角形______个角都相等的三角形是等边三角形要点归纳：_______个角都相等的三角形是等边三角形．  三、自学自测1．已知△ABC为等边三角形，则∠A的度数是（　　）A．30°           B．45°         C．60°           D．90°2．已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3 cm，则△ABC的周长为______cm．3．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=______度．四、我的疑惑____________________________________________________________________________________________________________________________________________________课堂探究 一、要点探究探究点1：等边三角形的性质问题1：等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．已知：AB=AC=BC ，     求证：∠A=∠B=∠C= 60°． 问题2：等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？ 结论：等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”． 要点归纳：图形等腰三角形等边三角形性质         典例精析例1：如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质． 变式训练：如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．例2：△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？ 方法总结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等． 探究点2：等边三角形的判定类比探究：图形等腰三角形等边三角形判定     要点归纳：等边三角形的判定方法： 辨一辨：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形．  典例精析例3：如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形．想一想：本题还有其他证法吗？ 变式1：若点D、E 分别在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ 变式2：若点D、E 分别在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？ 变式3：上题中，若将条件DE∥BC改为BD=CE， △ADE还是等边三角形吗?试说明理由．例4：等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°．针对训练如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形．  二、课堂小结等边三角形性质判定三边相等，三个角都等于_______三边相等每一条边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合三角相等3条对称轴有一个角等于____的等腰三角形 当堂检测1．等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（　　）A．105°         B．120°        C．135°       D．150° 2．如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（     ）A．4个          B．5个       C．6个           D．7个                                 第2题图                 第3题图                    第4题图3．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（　　）A．10°         B．15°              C．20°                D．25°4．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18 cm，EC =2 cm则△ADE的周长是__________cm．5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．6．如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小．  拓展提升：7．图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．（1）如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；（2）如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论． 
参考答案自主学习一、知识链接1．相等2．两边  边  等角  顶角平分线  底边上的中线  底边上的高  边  等边二、新知预习类比学习一  三  三个  60°  一边  3要点归纳  相等  60°类比学习二  两  两  三  三要点归纳  三三、自学自测1．C   2．9   3．60四、我的疑惑课堂探究一、要点探究探究点1：等边三角形的性质问题1   证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C (等边对等角)．同理∠A=∠C．∴∠A=∠B=∠C．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°．    要点归纳图形等腰三角形等边三角形性质两条边相等三条边都相等两个底角相等三个角都相等，且都是60º底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合对称轴（1条）对称轴（3条）典例精析例1  解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°．∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°．变式训练  证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）．例2  解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC．又∵BM＝CN，∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°．探究点2：等边三角形的判定类比探究：图形等腰三角形等边三角形判定从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形三个角都相等的三角形是等边三角形要点归纳  有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形辨一辨：（1）不是  （2）是  （3）是  （4）不一定是  （5）是  （6）是典例精析例3  证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A= ∠B= ∠C．∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形．变式1  证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠ABC =∠ACB =60°．∵DE∥BC，∴∠ABC =∠ADE，∠ACB =∠AED．∴∠A =∠ADE =∠AED．∴△ADE 是等边三角形．变式2  证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠B =∠C =60°．∵DE∥BC，∴∠B =∠D，∠C =∠E．∴∠EAD =∠BAC =∠D =∠E．∴△ADE 是等边三角形．变式3  证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，AB=AC．∵AD=AE，∴AB－BD= AC－CE，即AD= AE．又∵∠A=60°，∴△ADE是等边三角形．例4  解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC=60°．∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．针对训练证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF=ED=FE，∴△DEF是等边三角形．                                           当堂检测1．B   2．D   3．B   4．125．证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°．∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠EBC=180°－90°－30°=60°，∴∠FAE=∠EBC．∵E为AB的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC（ASA）．6．解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形．∴AO=BO，CO=DO， ∠AOB=∠COD=60°．∵A、O、D三点共线，∴∠DOB=∠COA=120°．∴△COA ≌△DOB(SAS)．∴∠DBO=∠CAO．设OB与EA相交于点F，∵∠EFB=∠AFO，∴∠AEB=∠AOB=60°．拓展提升：7．解：（1）AN＝BM．理由如下：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°．∴∠ACN＝∠MCB．∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM．（2）△CEF是等边三角形．证明如下：∵∠ACE＝∠FCB=60°，∴∠ECF=60°．∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB．∵AC＝MC，∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF．∴△CEF是等边三角形．