初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题教案设计

第十三章 轴对称

13.4  课题学习   最短路径问题

一、教学目标

1.能利用轴对称、平移等变换解决简单的最短路径问题.

2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想．

二、教学重难点

重点：利用轴对称、平移等变换解决简单的最短路径问题.

难点：体会图形的变化在解决最值问题中的作用．

三、教学过程

【新课导入】

[复习导入]

1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？你的依据是什么？(②最短，依据“两点之间，线段最短”)

2.如图，P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？你的依据是什么？(PC最短，依据“垂线段最短”)

3.如图，直线l是线段AB的对称轴，C是直线l上任意一点，则AC和BC的大小关系是什么？你的依据是什么？(AC=BC.依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”.)

4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？(作法：（1）过点A作直线l的垂线，垂足为O；（2）在垂线上截取OA′=OA.点A′就是点A关于直线l的对称点.可简记为：作垂线；取等长)

教师带领学生复习与最短路径相关的知识，为本节课的学习做准备.

【新知探究】

知识点1牧人饮马问题

[提出问题]引例如图，若点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？

这里强调一下两点的位置：直线l异侧的两个点.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画过程：

[提出问题]你找到的是哪个点？

[学生回答]学生观察后，发现第3条线段很明显是最短的.依据是“两点之间，线段最短”.

[提出问题]根据这个依据，你可以得到作法吗？

[课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程：

作法：连接AB,与直线l相交于一点C.点C即为所求作的点.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下问题1：

问题1   如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

[提出问题]这是一个实际问题，那么我们怎样把它转化成数学问题呢？

[小组讨论]学生分组讨论，教师引导学生可分别把A地、B地看成点，把笔直的河边看成直线，再用数学语言描述一下问题.学生讨论完毕，教师点名每组代表回答，教师纠错.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下转化过程：

问题转化一：那么该实际问题就转化为这样的数学问题：

如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得AC+CB的最小？

这里注意强调点A，B的位置：是直线l同侧的两个点.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：

[提出问题]你找到的是哪个点？

[学生回答]学生观察后，发现很难找到点的位置.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下两幅对比图：

[提出问题]你能找出两幅图中，A，B两点的位置有什么不同吗？（同侧、异侧）

[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：

[提出问题]我们分析，如果我们能把点B“移”到l 的另一侧B′处，同时对于直线l 上的任一点C，都保持CB 与CB′的长度相等，就能把这个“同侧”的问题转化为“异侧”的问题. 那么怎么找到B′呢？（作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质，可以得到CB′=CB.）

[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：

此时，问题就转化为:当点C在l的什么位置时，AC+CB′最小.

[学生回答]很明显，连接AB′，与l的交点即为点C.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程：

作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′;

连接AB′,交直线l于点C.

点C即为所求作的点.

[提出问题]怎样证明点C的位置即为所求？在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC+CB＜AC′+C′B.

[学生思考]给学生思考时间，教师提示，蓝色的两条线段相等，绿色的两条线段相等，A、C、B在一条直线上.学生思考完毕，教师点名学生说出自己的答案，教师纠错.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下证明过程：

证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．

由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．

 ∴AC +BC=AC +B′C=AB′，

 ∴AC′+BC′=AC′+B′C′．

在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，

∴AC +BC＜AC′+BC′．

即AC +BC 最短．

[归纳总结]利用”牧人饮马“模型解决最值问题的应符合的条件：（1）定直线l；（2）两定点A，B，且两定点在直线l的同侧;（3）所求作的动点C在直线l 上.

解决”牧人饮马“问题的步骤：（1）找：由轴对称的性质，作其中一个定点（如B）关于直线l 的对称点（B′）；（2）连：连接另外一个定点（A)与对称点（B′）；（3）交：连线与直线l 的交点（C′）所在的位置即为所求作的点（C）.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：

例1    如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　B　）

A．7.5        B．5       C．4       D．不能确定

教师根据“牧人饮马”模型解决最值问题的应符合的条件，在图中依次找到定直线、两定点、一动点.

【解析】∵△ABC为等边三角形，D是BC边的中点，∴点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.

思考：作点E关于AD的对称点可以吗？为什么不选择这个方法？

知识点2造桥选址问题

[课件展示]教师利用多媒体展示如下问题1：

问题2   如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

[提出问题]这是一个实际问题，我们同样需要把它转化成数学问题来解决.经过了刚才我们对问题1的转化，你能将这个实际问题转化为数学问题吗？

[小组讨论]学生分组讨论，教师引导学生可分别把A地、B地和造桥的起始两个位置看成点，把河岸看成直线，再用数学语言描述一下问题.学生讨论完毕，教师点名每组代表回答，教师纠错.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下转化过程：

问题转化一：该实际问题就转化为这样的数学问题：

N为直线b上一点，且NM⊥直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：

[提出问题]你找到的是哪个点？

[学生回答]学生观察后，发现很难找到点的位置.此时，教师引导学生发现，桥的长度是不变的，进而可得到：

问题转化二：由于河岸的宽度MN是固定的，这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下两幅对比图：

[提出问题]你能找出这两幅图有什么不同吗？（两条直线、一条直线）

[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：

[提出问题]我们分析，如果我们能把两条直线转化成一条直线，就能把这个问题转化成“引例”的问题了.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：

转化成了引例中的模型

该折线即为最短路径

[课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程：

作法：（1）平移点A到点A′，使AA′等于河宽;（2）连接A′B,A′B与直线b的交点，即为所求作的点N；（3）过点N作NM⊥直线a于点M.点M和点N的位置即为造桥的位置.

[提出问题]怎样证明造桥位置的正确性呢？

在直线b上另外任取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B.

你能完成这个证明吗？

[学生思考]给学生思考时间，教师提示，蓝色的两条线段相等，绿色的两条线段相等，黄色的两条线段相等，A′、N、B在一条直线上.学生思考完毕，将解题过程写在练习本上，教师巡视，帮助有困难的学生，之后教师点名学生说出自己的答案，并纠错.

[归纳总结]解决”造桥选址“问题的步骤：（1）一移；（2）二连；（3）三交；（4）四垂直.

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把未知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.

【课堂小结】

【课堂训练】

1.如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（   D   ）

A.转化思想

B.三角形两边之和大于第三边

C.两点之间，线段最短

D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角

2.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（  D  ）

3.(2021•天津二模)如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,2),点B的坐标为(1，-3),在y轴上有一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为(  D   )

A. (2,0)      B . (-2,0)      C. (0,2)       D. (0，-2)

【解析】如图，作B点关于y轴的对称点B',连接AB',交y轴于一点，该点即为所求的点P.过点A作x轴的垂线，交B'B的延长线于点C，则∠C=90°，设BB'交y轴于点D,则OD=|-3|=3.∵点B坐标为(1，-3) ,∴B'(-1 ,-3 ) .∵易得B'C=1+4=5,AC=2=3=5 ,∴B'C=AC.∴∠B'=45°.∴PD=B'D=1.∴OP=2 ,∴P (0,-2 ).故选D.

4.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是1000米.

【解析】延长AC至点A′，使得A′C=AC，连接A′B交CD于点E，连接AE，则E即为所求的点.易得A′C=AC=BD，又AC⊥CD，BD⊥CD，∠A′EC=∠BED.∴△A′CE≌△BDE（AAS），则E是CD的中点，∴AE=500，所以AE+BE=500+500=1000.

5．（2021•江西模拟）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，面积是40，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为　13　．

【解析】如图，连接AD，AM．

∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，BC=10，

∴CD=5，AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×10×AD＝40，解得AD＝8，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴点C关于直线EF的对称点为点A，

∴MA＝MC，

∵MC+MD＝MA+MD≥AD，

∴AD的长为CM+MD的最小值，

∴△CDM的周长的最小值＝AD+CD＝8+5＝13．

故答案为13．

6.两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.

方法一：解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点E，则点E即为所求.

方法二：解：如图，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′，同样交AB于点E的位置，则点E即为所求.

7.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？

解：（1）作AF⊥CD,且AF=河宽；（2）作BG⊥CE，且BG=河宽；（3）连接GF,与河岸相交于E ′,D′；（4）作DD′,EE′即为桥.

8.   （1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点．

（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点．

（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．

【变式】（2021•吉安模拟）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，BC＞AB，DE＞AE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　120°　．

【解析】如图，作A点关于BC的对称点A'，关于ED的对称点A''，连接A'A''，A'A''与BC的交点即为所求的点M，A'A''与ED的交点即为所求的点N，

∵∠B＝∠E＝90°，

∴A、B、A'共线，A、E、A''共线，

∴∠A'＝∠A'AM，∠A''＝∠NAE，

∴∠A'AM+∠NAE＝∠A''+∠A'＝180°﹣∠BAE=180°﹣120°＝∠60°，

∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣∠MAN＝180°﹣（120°﹣∠A'AM﹣∠NAE）＝120°，

故答案为120°．

【教学反思】

本节课我通过引例（两点在直线的异侧）,让学生认识到找最短路径的根本是通过"两点之间,线段最短”找出解决问题的途径,接下来通过"牧人饮马”让学生带着兴趣进入教学。
通过学生对比、研讨、展示,让学生从"两点在直线的同侧”通过“轴对称”转换为"两点在直线的异侧",让学生从"两条直线”通过“平移”转换为"一条直线",从而使学生感受图形的变换在最短路径问题中的应用.反思这节课，有以下几点需在今后的教学中改进：

（1）本节课由于内容较难，重点放在讲解上,忽略了学生在实际动手中的作图问题.（2）要时刻注重学生能力的培养,让平时不爱说话的学生多发表意见,做到多鼓励,少批评,同学之间少指责,使他们不再沉默。（3）小组合作交流、共同学习的过程中,个别学生利用这个时间偷懒说闲话，什么都没有学到,使学生与学生之间的两极分化日趋严重.

 

二、从生活出发的教学让学生感受到学习的快乐
本节课由上节课的一个习题引入,带领学生一起探究得出一个规律,
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最短路径问题的理解和认识,大家共同分享发现和成功的快乐,共享彼此的资源。
二、从生活出发的教学让学生感受到学习的快乐
本节课由上节课的一个习题引入,带领学生一起探究得出一个规律,
然后以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展 2/5
对“最短路径问题”的课题研究,基本思路是运用轴对称及两点之间线段最短的性质,将所求线段之和转化为一条线段的长,是解决距离之和最小问题,不论题目如何变化,运用时要抓住直线同旁有
两点,这两点到直线上某点的距离和最小这个核心,所有作法都相同。注意:利用轴对称解决最值问题应注意题目要求,根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系,通过比较来说明最值问题是常用的一种方法。解决这类最值问题时,要认真审题,不要只注意图形
而忽略题意要求,审题不清导致答非所问.
1、两点在一条直线异侧
例:已知:如图, A , B 在直线 L 的两侧,在 L 上求一点
 P ,使得 PA + PB 最小。
解:连接 AB ,线段 AB 与直线 L 的交点 P ,就是所求。(根据:两点之间线段最短.)
2、两点在一条直线同侧
例:从 A 地出发。到一条笔直的河边!饮马,然后到 B 地。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全最短?

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解:只有 A 、 C 、 B 在一直线上时,才能使 ACBC 最小,作点 B 
关于直线1的对称点 B ,然后连接 AB ,交直线1于点 G ,则点 3/5
 C 就是所求的点.

三、合作探究给学生带来成功的愉悦
本节课前要求学生以4人小组为单位,调查、了解生活中的最短路径问题,调查、收集你生活中最感兴趣的一件事情的有关数据,必须通过实际调查收集数据,保证数据来源的准确。学生或通过报刊、
电视广播等媒体,或对他们感兴趣的问题展开调查采访或查阅资料,经历搜集数据的过程,学生从中能体会最短路径问题在社会生活中
的实际意义,培养善于观察生活、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识。比如最短路径问题中,对于学生来说,是生活中选择路线比较平常的事,但其中的数学知识学生知道的还不是很多,只要教师收集的资料准备真实有效,学生就会很感兴趣用数学的知识去解答这些问题,但在数学的教学中

本节课成功之处比较多,但在教学的过程中,我也有一些困惑:教师的真正本领,主要不在于讲授知识,而在于激发学生的学习动机,唤起学生的求知欲望,让他们兴趣盎然地参与到教学全过程中来,经过自己的思维活动和动手操作获得知识。新一轮课程改革很重票的一个方山是改本学生的学习状态,在教学中电重要的是
关注学生的学习过程以及情感、态度、价值观、能力等方面的发展。就学习数学而言,学生一旦“学会”,享受到教学活动的成功喜悦,便会强化学习动机,从而更喜欢数学。而在本节课当中,有部分学生没有学会应用定理解决问题。练习时间不充分,文字证明题运用时间过长。因此,教学设计要促使学生的情感和兴趣始终处于最佳状态,从而保证施教活动的有效性和预见性。
学生学知识是为了用知识。但长期的应试教育使大多数学生不
知道为什么学数学,学数学有什么用。因此在教学时,我针对学生的年龄特点、心理特征,密切联系学生的生活实际,精心创设情境,让学生在实际生活中运用数学知识,切实提高学生解决实际问题的
能力。

比如在引入的时候可以用蚂蚁找食物的实例引入,可以更形象。
3、引入之后,要复习预备知识。因为所有的知识都是在旧知识的基础上生成的,如果说新知识是冰川露出大海的部分,那 I 日知识就是藏在大
海中的更大的部分,所以要强调从旧知识的基础上生成新知识,调动旧知识环境,衍生新知识,这样有利于学生形成数学体系,所学的内容也不会让学生感觉太突兀,而是自然而然的得到。所以要认真分析预备知识,把新知识放在旧知识的基础上,通过复习慢慢引出新的内容,这样学生更容易掌握,更容易接受,不会产生畏难情绪,反而觉得清松自如。
4、授课的过程中应该环环相扣,一步步上,要讲问题分解,化大为小,化难为易,化繁为简,降低难度,就像是上台阶,一个个的台阶