人教版八年级上册13.3.2 等边三角形第2课时课后复习题

第十三章 轴对称

13.3  等腰三角形

13.3.2  等边三角形

第2课时   含30°角的直角三角形的性质

一、教学目标

1.掌握含有30°角的直角三角形的性质.

2.经历探索含有30°角的直角三角形性质的过程，并运用其进行有关的证明和计算.

二、教学重难点

重点：含有30°角的直角三角形的性质.

难点：运用含有30°角的直角三角形的性质进行计算和证明．

三、教学过程

【新课导入】

[复习导入]

教师带领学生复习等腰三角形和等边三角形的性质与判定，为本节课的学习做准备.

【新知探究】

知识点   含30°角的直角三角形的性质

[提出问题]用直尺量一量含有30°角的直角三角板的最短直角边（也即是30°角所对的直角边）与斜边的长度，你有什么发现吗？

[动手操作]学生量一下自己手里的含有30°角的直角三角板，将所量得的结果记录在练习本上，由于每个学生的三角板并不完全一样，所以学生量得的结果会各不相同.教师点名5位学生回答他们的测量结果，并将测量结果写在黑板上.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下三位学生的结果：

引导学生观察，斜边长与最短的直角边长存在什么关系(2倍关系）.之后再验证黑板上学生的测量结果，发现也符合这样的倍数关系.

[提出问题]如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起.你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？

[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画过程：

[小组讨论]学生之间讨论，教师引导学生观察，两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起是什么图形，进而得到结论.之后教师点名，由代表回答小组间讨论的结果.教师纠正.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下证明过程：

如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD= AB.

[提出问题]由此我们可以得到什么结论呢？

[学生回答]学生的可能回答有：生甲：30°角所对的直角边的长度是斜边长度的一半.生乙：最短的直角边的长度乘以2就是斜边的长度.对于学生的回答，只要意思对，都给予肯定，但如乙同学的回答，这里教师应强调，应加上“含30°角的直角三角形中”.

[提出问题]如何验证你们的猜想呢？

[课件展示]教师利用多媒体展示如下已知与求证：

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.

求证：BC= AB．

[小组讨论]学生之间讨论，之后每位学生在练习本上书写证明过程，教师巡视，及时订正学生的错误.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下证明过程：

证法一：证明：在△ABC中，

∵∠C=90°，∠A=30°, ∴∠B=60°．

如图，延长BC到点D，使BD=AB，连接AD，

则△ABD是等边三角形．

又∵AC⊥BD, ∴BC=BD．∴BC=AB．

证法二：证明：在BA上截取BE=BC，连接EC.

∵∠B= 60°，BE=BC.∴△BCE是等边三角形，

∴∠BEC= 60°，BE=EC.

∵∠A= 30°，

∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.

∴AE=EC，∴AE=BE=BC，

∴AB=AE+BE=2BC，即BC=AB．

[归纳总结]在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

该性质的几何语言：

在Rt△ABC 中，

∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB．

并提醒学生注意：该性质是“含有30°角的直角三角形”所特有的，一般的直角三角形没有这个性质.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：

例1   如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC,DE要多长？

解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC,∠A=30 °，

∴BC=AB,DE=AD.

∴BC=×7.4=3.7(m).

又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).

答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.

例2     如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°.

（1）若CD=8cm，则BC的长度是多少？

（2）若AD=3cm，则AB的长度是多少？

解：（1）∵CD是斜边AB边上的高，

∴∠BDC=90°.

∵在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=8cm，

∴BC=2CD=16cm.

（2）在Rt△ABC中，∵∠B=30°，∴∠A=60°，

∵CD是斜边AB边上的高，∴∠ADC=90°.∴∠ACD=30°.

∵在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AD=3cm，

∴AC=2AD=6cm.∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=6cm，

∴AB=2AC=12cm.

[归纳总结]注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：

例3     (2021•宣城模拟)如图，在△ABC中,∠ACB=90°，∠B=15°,DE垂直平分AB，交BC于点E,AE=6cm,则AC=(  D  )

A.6cm     B.5cm     C.4cm    D.3cm

[归纳总结]含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段之间倍分关系的重要工具，解题时，一般先是寻找30°角所在的直角三角形，得到斜边与直角边的关系，当30°角不在一个直角三角形中时，可考虑作辅助线构造含30°角的直角三角形,如：作垂线得到含30°角的直角三角形，或作等腰三角形构造顶角的邻补角为60°.当三角形中含有15°，30°，60°，120°角时，也可通过添加辅助线，构造含30°角的直角三角形求解.

常见的模型有如下几种（图中所标的红色的角均为30°）：

【课堂小结】

【课堂训练】

1.如图,在△ABC中, AD是边BC的垂直平分线，∠B=60°,BD=2 ,那么AC的长度是(  D   )

A.1          B.2         C.3          D.4

2.如图,在△ABC中，∠C=60°, AD是BC边上的高,点E为AD的中点,连接BE并延长交AC于点F .若∠AFB=90°, EF=2，则BF长为(  D   )

A.4          B.6           C.8          D.10

3.(2021•乌苏市二模)如图,在等边△ABC中, D是AB的中点，DE⊥AC于点E,EF⊥BC于点F ,已知AB=8,则BF的长为(  C   )

A.3            B.4              C.5             D.6

4.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA于点D，若PC＝3，则PD等于(　　)

A．3               B．2   

C.1.5              D．1

【解析】如图，过点P作PE⊥OB于点E.∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO＝15°，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝15°＋15°＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.

5.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC=    5   .

6.如图，在△ABC中，AB=BC ,∠ABC=120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD=1 ,则CD的长度为　  2    ．

7.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，求证：BE=3EA.

证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，   ∴∠B=∠C=30°.

∵D是BC的中点，∴AD⊥BC.

∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.

∴AB=2AD.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，

∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.

∴AB=4AE，∴BE=3AE.

8.求证:有一个锐角是30°的直角三角形斜边上的高把斜边分成1:3的两条线段.

已知:如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°, CD⊥AB.

求证:BD:AD=1:3.

证明:在Rt△ABC中,∠C=90°，∠A=30°，

∴AB=2BC , ∠B=90-30°=60° ,

∵CD⊥AB ,∴∠CDB=90° ,

∴∠BCD=30° ,∴BC=2BD .

∴AB=4BD,∴BD：AD=1：3.

故有一个锐角是30°的直角三角形斜边上的高把斜边分成1：3的两条线段.

9.如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN//BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，求BC的长.

解：∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC,

∴∠NCM=∠BCM，∠AMN=∠NMC.

∵MN//BC，∴∠AMN=∠B，∠NMC=∠BCM.

∴∠AMN=∠B=∠NMC=∠BCM=∠NCM.  ∴NM=NC.

∵∠ACB=∠NCM+∠BCM，∴∠ACB=2∠B.

∵∠A=90°，∴∠ACB+∠B=90°，∴∠B=30°.∴∠AMN=∠B=30°.

∵∠A=90°，∠AMN=30°，AN=1,∴MN=2.

∵AC=AN+NC=AN+MN=3，∴BC=2AC=6.

【教学反思】

本节课我采用动手测量含30°角的直角三角板的最短直角边长和斜边长的方式入手，因为学生的三角尺尺寸不用，所以学生测量了不同大小的含30°的直角三角板,再将测量数据进行比较，从而直观、快捷地找出它们的关系.这样就避免了以往由于知识比较抽象学生无从下手,无法理解的情况。再引导学生给出证明,证明自己的猜想的正确性，使学生懂得,即使是通过实践得出的结论,还需理论上给予证明.整个过程让学生自主探究,运用猜想、论证的研究方法研究问题，学习目标也基本完成.反思整节课，不足之处也不少：
（1）设置的练习题要注意出一些与我们实际生活息息相关的题，让学生体会到数学无处不在.
（2）多多培养学生文字语言与几何语言相互转换的能力,增强理性认识,体验性质的正确性,提高演绎推理的能力.
（3）课堂上要更多地去关注中等学生和学有困难的学生，给这些学生提供更多的机会;多使用鼓励性的语言,谦和的态度拉近和学生的距离，充分调动学生的积极性.