2023八年级数学上册第一章勾股定理单元测试新版北师大版

《勾股定理》

 (时间：80分钟　总分：100分)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．小明在一个矩形的水池里游泳，矩形的长、宽分别为30米、40米，小明在水池中沿直线最远可以游(   )

  A．30米　　　　　　　　　B．40米　　　　　　　C．50米　　　　　　　D．60米

2．已知△ABC的三边长分别为5、13、12，则△ABC的面积为(   )

  A．30                  B．60               C．78                  D．不能确定

3．将直角三角形的三边长同时扩大2倍，得到的三角形是(   )

  A．钝角三角形                B．锐角三角形 

  C．直角三角形                D．等腰三角形

4．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(   )

  A．3、4、5           B．6、8、10          C．4、2、9             D．5、12、13

5．暑假期间，小明的妈妈趁电器打价格战之机在网上购买了一台电视，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕93厘米长和52厘米宽，则这台电视机为________英寸(实际测量的误差可不计)(   )

  A．32(81厘米)               B．39(99厘米) 

  C．42(106厘米)              D．46(117厘米)

6．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(   )

  A．1              B．2              C．3                      D．4

7．如图，一圆柱高8 cm，底面半径2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是(   )

  A．20 cm                             B．10 cm 

  C．14 cm                              D．无法确定

8．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为(   )

  A．4             B．8               C．16                        D．64

9．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为(   )

  A．2 m               B．2.5 m                 C．2.25 m                D．3 m

10．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是(   )

  A．42                B．32                C．42或32             D．37或33

二、填空题(每小题4分，共16分)

11．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足(a－3)2＋|b－4|＝0，则该直角三角形的斜边长为________．

12．一个三角形的三边长分别是12 cm，16 cm，20 cm，则这个三角形的面积是________cm2.

13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是________．

14．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20 cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度的平方(每块砖的厚度相等)为________cm.

三、解答题(共54分)

15．(8分)若a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c满足(a－5)2＋(b－12)2＋|c－13|＝0.

  (1)求a，b，c的值；

  (2)△ABC是直角三角形吗？请说明理由．

16．(8分)如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

17．(8分)如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20.

  (1)求CD的长；

  (2)求AB的长；

  (3)判断△ABC的形状．

18．(10分)学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B＝∠D＝90°，AB＝20 m，BC＝15 m，CD＝7 m，土地价格为1 000元/m2，请你计算学校征收这块地需要多少钱？

19．(10分)如图，∠AOB＝90°，OA＝45 cm，OB＝15 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？

20．(10分)如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？

参考答案

1.C　2.A　3.C　4.C　5.C　6.D　7.B　8.D　9.A　10.C　11.5　12.96　13.　14.　

15.(1)由题意得a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0，

所以a＝5，b＝12，c＝13.　

(2)△ABC是直角三角形，

理由：因为a2＋b2＝52＋122＝25＋144＝169，c2＝132＝169，

所以a2＋b2＝c2，

所以△ABC是直角三角形．　

16.设CD为x.在直角三角形ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm.

由勾股定理得：AB2＝BC2＋AC2＝100.

所以AB＝10 cm.

由折叠可知：CD＝DE，∠DEA＝∠C＝90°，AE＝AC＝6，

所以∠BED＝90°，BE＝4.

在直角三角形BDE中，由勾股定理得：x2＋42＝(8－x)2，

解得x＝3.

所以CD的长为3 cm.　

17.(1)在△BCD中，因为CD⊥AB，

所以BD2＋CD2＝BC2.

所以CD2＝BC2－BD2＝152－92＝144.

所以CD＝12.

(2)在△ACD中，因为CD⊥AB，

所以CD2＋AD2＝AC2.

所以AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256.

所以AD＝16.

所以AB＝AD＋BD＝16＋9＝25.　

(3)因为BC2＋AC2＝152＋202＝625，AB2＝252＝625，

所以AB2＝BC2＋AC2.

所以△ABC是直角三角形．　

18.连接AC.在△ABC中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，

由勾股定理得：AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625.

在△ADC中，∠D＝90°，CD＝7，

由勾股定理得：AD2＝AC2－CD2＝625－72＝576，AD＝24.

所以四边形的面积为：AB·BC＋CD·AD＝234(m2).234×1 000＝234 000(元)．

答：学校征收这块地需要234 000元．　

19.因为小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，设AC为x，则OC＝45－x，由勾股定理可知OB2＋OC2＝BC2.

又因为OB＝15，

把它代入关系式152＋(45－x)2＝x2.

解方程得出x＝25.

答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25 cm.　

20.设MN与AC相交于点E，则∠BEC＝90°.

因为AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，

所以△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.

由于MN⊥CE，

所以走私艇C进入我国领海的最近的距离是CE.

因为AB·BC＝AC·BE＝S△ABC，

所以BE＝.

由勾股定理得CE2＋BE2＝BC2，

解得CE＝.÷13＝≈0.85(h)＝51(min).9时50分＋51分＝10时41分，

即走私艇C最早会在10时41分进入我国领海．