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广西南宁市上林县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷
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这是一份广西南宁市上林县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广西南宁市上林县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷（解析版）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）2022年3月23日，“天宫课堂”再度开课，三位“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在距离地球约400000米的中国空间站为广大青少年带来了一场精彩的太空科普课（ ）
A．0.4×106 B．4×106 C．0.4×105 D．4×105
3．（3分）以下列各组数为边长，能组成三角形的是（ ）
A．2，2，4 B．2，3，8 C．3，4，5 D．7，6，15
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．面积相等的两个三角形全等
B．周长相等的两个三角形全等
C．形状相同的两个三角形全等
D．能够完全重合的两个三角形全等
5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，则AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（3分）下列不是利用三角形的稳定性的是（ ）
A．三角形房架 B．照相机的三脚架
C．伸缩门 D．大桥斜拉铁索
7．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（ ）
A．50° B．80° C．20°或80° D．50°或80°
8．（3分）如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC
9．（3分）一个八边形的内角和度数为（ ）
A．360° B．720° C．900° D．1080°
10．（3分）用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
11．（3分）如图，上午9时，一条船从A处出发以20海里/时的速度向正北航行，从A，B望灯塔C．如果测得∠NAC＝36°，那么从B处到灯塔C的距离是（ ）
A．20海里 B．36海里 C．72海里 D．40海里
12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，2）1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2021A2021A2022，则点A2022的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
二：填空题（共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）计算：＝ ．
14．（2分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为 ．
15．（2分）若等腰三角形边长分别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是 cm．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若CD＝3，AB＝8 ．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则BC的长为 cm．
18．（2分）△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转到如图的位置时，连接BD，连接PA，线段PA、PB、PC之间的数量关系是 ．
三、解答题（8小题，共72分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b），其中a＝，b＝．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
（3）请写出C1，C2的坐标．
22．（8分）如图，AD、AE、AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线．
（1）若S△ABC＝10，CF＝3，求AD的长．
（2）若∠C＝74°，∠B＝30°，求∠DAE的度数．
23．（10分）为了迎接党的二十大胜利召开，某校举行了“喜迎二十大，奋进新征程”的党史知识竞赛．竞赛成绩评定共分为A、B、C、D四个等级，将获得的数据整理绘制成两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了多少名学生？
（2）请根据以上信息补全条形统计图：
（3）在扇形统计图中，C等级对应的圆心角度数是多少度？
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校1500名学生中有多少名学生的成绩评定为B等级？
24．（10分）综合与实践：
【问题情境】数学课上，老师带领同学们一起探究三角形中边与角之间的不等关系．
【实践发现】如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，则∠C＝∠ADE．
∵∠ADE＞∠B（想一想为什么），
∴∠C＞∠B．
请证明为什么有∠ADE＞∠B；
【实践探究】如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，使点B落在点C上，折线交AB于点F，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小南的方法完成证明；
【实践拓展】如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，求∠DEM的度数．
25．（12分）在南宁市创城迎检活动中，某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子作为花圃
（1）若现有A型板材180张，B型板材370张，可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？
（2）若该工厂准备用不超过30000元的资金去购买A、B两种型号板材，制作竖式、横式无盖箱子共80个，已知A型板材每张30元，问最多可以制作竖式无盖箱子多少个？
（3）若该工厂新购得130张规格为3m×3m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割的板材制作两种类型的箱子，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式无盖箱子多少个？
26．（12分）如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°
（1）如图1，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，若点A坐标为（0，4），点C的坐标为（﹣2，0）；
（2）如图2，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，若点A坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2）；
（3）如图3，当点C在x轴正半轴上运动，点A（0，a），点B（m，n）在第四象限时
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形；
B、图形不是轴对称图形；
C、图形是轴对称图形；
D、图形不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（3分）2022年3月23日，“天宫课堂”再度开课，三位“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在距离地球约400000米的中国空间站为广大青少年带来了一场精彩的太空科普课（ ）
A．0.4×106 B．4×106 C．0.4×105 D．4×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：400000＝4×105．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）以下列各组数为边长，能组成三角形的是（ ）
A．2，2，4 B．2，3，8 C．3，4，5 D．7，6，15
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵2+2＝7，
∴长度为2，2，8的三条线段不能组成三角形；
B、∵2+3＜7，
∴长度为2，3，6的三条线段不能组成三角形；
C、∵3+4＞6，
∴长度为3，4，8的三条线段能组成三角形；
D、∵7+6＜15，
∴长度为5，6，15的三条线段不能组成三角形；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．面积相等的两个三角形全等
B．周长相等的两个三角形全等
C．形状相同的两个三角形全等
D．能够完全重合的两个三角形全等
【分析】根据三角形全等的判定定理进行解答即可．
【解答】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，不符合题意；
B、周长相等的两个三角形不一定全等，不符合题意；
C、形状相同的两个三角形不一定全等，不符合题意；
D、能够完全重合的两个三角形全等，符合题意．
故选：D．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，则AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据等腰三角形的等角对等边解答即可．
【解答】解：∵∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝4，
故选：C．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的等角对等边解答．
6．（3分）下列不是利用三角形的稳定性的是（ ）
A．三角形房架 B．照相机的三脚架
C．伸缩门 D．大桥斜拉铁索
【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．
【解答】解：A、三角形的房架，本选项不符合题意；
B、照相机的三脚架，本选项不符合题意；
C、伸缩门，本选项符合题意；
D、大桥斜拉铁索，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
7．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（ ）
A．50° B．80° C．20°或80° D．50°或80°
【分析】分这个角为底角或顶角两种情况讨论求解即可．
【解答】解：当底角为80°时，则它的底角度数为80°；
当顶角为80°时，则其底角为：．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，本题有两种情况，注意不要漏掉．
8．（3分）如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC
【分析】先证明AF＝CE，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判定．
【解答】解：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵∠AFD＝∠CEB，
∴当添加∠A＝∠C时，根据“ASA”可判定△ADF≌△CBE；
当添加BE＝DF时，根据“SAS”可判定△ADF≌△CBE；
当添加AD∥BC，则∠A＝∠C时．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
9．（3分）一个八边形的内角和度数为（ ）
A．360° B．720° C．900° D．1080°
【分析】应用多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：（n﹣2）•180＝（8﹣4）×180°＝1080°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．
10．（3分）用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【分析】由尺规作图可知，OM＝ON，NC＝MC，进而可证△NOC≌△MOC，可得∠AOC＝∠BOC，即可得出答案．
【解答】解：由尺规作图可知，OM＝ON，
在△NOC和△MOC中，
，
∴△NOC≌△MOC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC．
故选：A．
【点评】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
11．（3分）如图，上午9时，一条船从A处出发以20海里/时的速度向正北航行，从A，B望灯塔C．如果测得∠NAC＝36°，那么从B处到灯塔C的距离是（ ）
A．20海里 B．36海里 C．72海里 D．40海里
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出∠NAC＝∠ACB，再根据等角对等边即可求出BC＝AB，利用路程＝速度×时间计算即可求出AB的长度，也就是海岛B与灯塔C相距的距离．
【解答】解：∵∠NAC＝36°，∠NBC＝72°，
∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝36°，
∴∠NAC＝∠ACB，
∴BC＝BA＝20×（11﹣9）＝20×2＝40（海里）．
答：海岛B与灯塔C相距40海里．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，利用三角形的外角性质进行计算是解题的关键，难度适中．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，2）1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2021A2021A2022，则点A2022的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，得点A1的纵坐标是2×，根据以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，得点A2的纵坐标是2×（）2，依此类推，可得点A2022的纵坐标．
【解答】解：∵点A的坐标是（0，2）6，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，
∴∠A7OO1＝90°﹣60°＝30°，OA1＝OA＝7，
∴A1O1＝OA1＝8×（30°所对的直角边等于斜边的一半），
∴点A2纵坐标是2×，
∵以O1A1为边在右侧作等边三角形O2A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，
∴∠A2O3O2＝90°﹣60°＝30°，O1A6＝A1O1＝7×，
∴A8O2＝O1A2＝2××，
∴点A2的纵坐标是2××，即2×（）2，
∵以O6A2为边在右侧作等边三角形O2A3A3，
同理，得点A3的纵坐标是5×，
按此规律继续作下去，得：点A2022的纵坐标是2×（）2022，即，
故选：C．
【点评】本题考查了图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含30°角的直角三角形的性质，从而完成求解．
二：填空题（共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）计算：＝ 3 ．
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的求法是解答本题的关键．
14．（2分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为 （2，1） ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为（5．
故答案为：（2，1）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
15．（2分）若等腰三角形边长分别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是 15 cm．
【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3cm，只能为6cm，然后即可求得等腰三角形的周长．
【解答】解：当6cm为腰，3cm为底时，此时周长为6+6+3＝15（cm）；
当4cm为底，3cm为腰时，故舍去．
故其周长是15cm．
故答案为：15．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及及三角形三边的关系．已知没有明确腰和底边的题目一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，也是解题的关键．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若CD＝3，AB＝8 12 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，
∴DE＝CD＝3，
∴△ABD的面积＝AB•DE＝．
故答案为：12．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出AB边上的高是解题的关键．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则BC的长为 9 cm．
【分析】直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∴BC＝BE+EF+CF＝AE+EF+AF＝9cm．
故答案为：9．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
18．（2分）△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转到如图的位置时，连接BD，连接PA，线段PA、PB、PC之间的数量关系是 PB＝PC+PA ．
【分析】证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论．
【解答】解：如图，在BP上截取BF＝PC，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CP，
∴△BAF≌△CAP（SAS），
∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAF＝60°，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF＝PA，
∴PB＝BF+PF＝PC+PA，
故答案为：PB＝PC+PA．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABD≌△ACE是解题的关键．
三、解答题（8小题，共72分）
19．（6分）计算：．
【分析】先算乘方，再算乘法，后算加法，即可解答．
【解答】解：
＝3+（﹣8）
＝﹣3．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（6分）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b），其中a＝，b＝．
【分析】根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：5（3a4b﹣ab2）﹣（ab2+5a2b）
＝15a2b﹣5ab2﹣ab2﹣2a2b
＝12a2b﹣7ab2
当a＝，b＝时，
原式＝12××﹣6××＝．
【点评】本题考查的是整式的加减混合运算，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
（3）请写出C1，C2的坐标．
【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置，然后依次连接各点得出结论；
（2）利用轴对称的性质作出三角形的对应顶点，然后依次连接各点得出结论；
（3）利用所画图象依据坐标的特征写出结论即可．
【解答】解：（1）如图所示，依次将点A，B，纵坐标不变1，B1，C4，依次连接各点得到△A1B1C2为所作的图形．
（2）如图所示，依次将点A，B，纵坐标不变2，B2，C7，依次连接各点得到△A2B2C2，为所作的图形．
（3）由图象得：C1（3，7），C2（﹣3，﹣3）．
【点评】本题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
22．（8分）如图，AD、AE、AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线．
（1）若S△ABC＝10，CF＝3，求AD的长．
（2）若∠C＝74°，∠B＝30°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据题意求得BC＝6，然后根据三角形面积公式即可求得AD的长；
（2）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝76°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE＝∠CAB＝38°，∠ADC＝90°，则∠DAC＝90°﹣∠C＝16°，然后利用∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC计算即可．
【解答】解：（1）∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF＝3，
∴BC＝6，
∵S△ABC＝10，
∴＝10，即，
∴AD＝；
（2）∵∠C＝74°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝76°，
∴∠CAE＝∠CAB＝38°，
∵∠ADC＝90°，∠C＝74°，
∴∠DAC＝16°
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝38°﹣16°＝22°．
【点评】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，三角形内角和为180°．也考查了三角形的面积．
23．（10分）为了迎接党的二十大胜利召开，某校举行了“喜迎二十大，奋进新征程”的党史知识竞赛．竞赛成绩评定共分为A、B、C、D四个等级，将获得的数据整理绘制成两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了多少名学生？
（2）请根据以上信息补全条形统计图：
（3）在扇形统计图中，C等级对应的圆心角度数是多少度？
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校1500名学生中有多少名学生的成绩评定为B等级？
【分析】（1）根据A的人数为32，占比32%即可求出总人数；
（2）总人数减去A，C，D的人数即可算出B的人数，补全图即可；
（3）求出C占的百分比乘以360°即可；
（4）求出B所占的比，乘以总人数即可．
【解答】解：（1）抽取的总人数为：32÷32%＝100（名）；
答：一共抽取了100名学生．
（2）B的人数为：100﹣32﹣24﹣8＝36（名），
补全条形统计图如图所示：
（3）C所占比为：24÷100＝24%，
圆心角的度数为：360°×24%＝86.4°；
（4）×1500＝540（名），
答：有540名学生评为B等级．
【点评】本题考查了条形统计图，掌握用样本估计总体是解题关键．
24．（10分）综合与实践：
【问题情境】数学课上，老师带领同学们一起探究三角形中边与角之间的不等关系．
【实践发现】如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，则∠C＝∠ADE．
∵∠ADE＞∠B（想一想为什么），
∴∠C＞∠B．
请证明为什么有∠ADE＞∠B；
【实践探究】如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，使点B落在点C上，折线交AB于点F，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小南的方法完成证明；
【实践拓展】如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，求∠DEM的度数．
【分析】（1）利用三角形的外角的性质，即可得出结论；
（2）先由折叠得出BF＝CF，再利用三角形外角的性质，即可得出结论；
（3）先判断出∠B＝∠BED，再判断出∠MAE＝∠MEA，进而求出∠B+∠BAE＝70°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠B+∠BED，
∴∠ADE＞∠B；
（2）证明：由折叠知，BF＝CF，
在△ACF中，AF+FC＞AC，
∴AF+BF＞AC，
∴AB＞AC；
（3）解：由折叠知，∠MAE＝∠EAC，
∵∠C＝2∠B，
∴∠ADE＝2∠B，
∵∠ADE＝∠B+∠BED，
∴∠B＝∠BED，
∵ME∥AC，
∴∠MEA＝∠EAC，
∵∠MAE＝∠EAC，
∴∠MAE＝∠MEA，
∵∠BEA＝110°，
∴∠B+∠BAE＝180°﹣∠BEA＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BED+∠MEA＝∠B+∠BAM＝70°，
∴∠DEM＝∠BEA﹣（∠BED+∠MEA）＝110°﹣70°＝40°．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，等边对等角，判断出∠MAE＝∠MEA是解本题的关键．
25．（12分）在南宁市创城迎检活动中，某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子作为花圃
（1）若现有A型板材180张，B型板材370张，可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？
（2）若该工厂准备用不超过30000元的资金去购买A、B两种型号板材，制作竖式、横式无盖箱子共80个，已知A型板材每张30元，问最多可以制作竖式无盖箱子多少个？
（3）若该工厂新购得130张规格为3m×3m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割的板材制作两种类型的箱子，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式无盖箱子多少个？
【分析】（1）设可制作竖式无盖箱子x个，可制作横式无盖箱子y个，由题意：现有A型板材180张，B型板材370张，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设可以制作竖式无盖箱子m个，则制作横式无盖箱子（80﹣m）个，由题意：不超过30000元的资金去购买A、B两种型号板材，A型板材每张30元，B型板材每张90元，列出一元一次不等式，解不等式即可；
（3）C型可以看成三列，每一列可以做成3个A型或1个B型，130个C型就有130×3＝390列，则最后A型的数量一定是3的倍数，设可以制作竖式箱子a个，制作横式箱子b个，由题意列出二元一次方程，即可解决问题．
【解答】解：（1）设可制作竖式无盖箱子x个，可制作横式无盖箱子y个，
由题意得：，
解得：，
答：可制作竖式无盖箱子40个，可制作横式无盖箱子70个；
（2）设可以制作竖式无盖箱子m个，则制作横式无盖箱子（80﹣m）个，
由题意得：30×[m+2（80﹣m）]+90×[4m+3（80﹣m）]≤30000，
解得：m≤60，
∴m最大为60，
答：最多可以制作竖式无盖箱子60个；
（3）C型可以看成三列，每一列可以做成3个A型或1个B型，
∵材料恰好用完，
∴最后A型的数量一定是4的倍数，
设可以制作竖式无盖箱子a个，制作横式无盖箱子b个，
∵1个竖式无盖箱子需要1个A型和2个B型，1个横式无盖箱子需要2个A型和6个B型，130个C型就有130×3＝390列，
∴（1+4×3）a+（2+4×3）b＝390×3，
∴13a+11b＝1170，
∵a、b均为整数，
∴，，，，
答：最多可以制作竖式无盖箱子90个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
26．（12分）如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°
（1）如图1，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，若点A坐标为（0，4），点C的坐标为（﹣2，0）；
（2）如图2，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，若点A坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2）；
（3）如图3，当点C在x轴正半轴上运动，点A（0，a），点B（m，n）在第四象限时
【分析】（1）过点B作x轴的垂线，交x轴于点E，易证△BEC≌△COA（AAS），EO＝EC+CO＝4+2＝6，BE＝2，即可求解；
（2）过点B作BE⊥y轴于E，证△CEB≌△AOC（AAS），得BE＝OC＝2，CE＝OA＝4，则OE＝CE﹣OC＝2，即可求解；
（3）过点B作BD⊥x轴于D，作BE⊥y轴于E，同（2）得△AOC≌△CDB（AAS），则OA＝DC＝a，OC＝DB＝﹣n，再由OD＝OC﹣DC，得m＝﹣n﹣a，即可得出结论．
【解答】解：（1）过点B作x轴的垂线，交x轴于点E
∵点A的坐标为（0，4），8），
∴OA＝4，OC＝2，
∵∠ACB＝90°，∠AOC＝90°，
∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠BCE＝∠CAO，
又∠BEC＝∠COA＝90°，BC＝AC，
∴△BEC≌△COA（AAS），
∴EC＝AO＝4，CO＝BE＝2，
∴EO＝EC+CO＝4+3＝6，BE＝2，
∴OD＝OC+CD＝5，
∴点B的坐标为（﹣6，2）；
（2）如图8，过点B作BE⊥y轴于E，
∵点C的坐标为（0，﹣2），6），
∴OC＝2，OA＝4，
∵∠BEC＝∠AOC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACO＝∠CBE，
又CB＝CA，
∴△CEB≌△AOC（AAS），
∴BE＝OC＝6，CE＝OA＝4，
∴OE＝CE﹣OC＝2，
∴点B坐标为（﹣3，2）；
（3）如图3所示，过点B作BD⊥x轴于D，
则四边形OEBD是矩形，
∴OD＝BE，BD＝OE，
∵点A（3，a）在y轴的正半轴上，
∴OA＝a，
∵点B（m，n）在第四象限，
∴OD＝BE＝m，OE＝BD＝﹣n，
同（2）得：△AOC≌△CDB（AAS），
∴OA＝DC＝a，OC＝DB＝﹣n，
又∵OD＝OC﹣DC，
∴m＝﹣n﹣a，
∴a+m+n＝0，
即a、m、n之间的数量关系为a+m+n＝0．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
广西南宁市上林县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷（解析版）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）2022年3月23日，“天宫课堂”再度开课，三位“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在距离地球约400000米的中国空间站为广大青少年带来了一场精彩的太空科普课（ ）
A．0.4×106 B．4×106 C．0.4×105 D．4×105
3．（3分）以下列各组数为边长，能组成三角形的是（ ）
A．2，2，4 B．2，3，8 C．3，4，5 D．7，6，15
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．面积相等的两个三角形全等
B．周长相等的两个三角形全等
C．形状相同的两个三角形全等
D．能够完全重合的两个三角形全等
5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，则AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（3分）下列不是利用三角形的稳定性的是（ ）
A．三角形房架 B．照相机的三脚架
C．伸缩门 D．大桥斜拉铁索
7．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（ ）
A．50° B．80° C．20°或80° D．50°或80°
8．（3分）如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC
9．（3分）一个八边形的内角和度数为（ ）
A．360° B．720° C．900° D．1080°
10．（3分）用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
11．（3分）如图，上午9时，一条船从A处出发以20海里/时的速度向正北航行，从A，B望灯塔C．如果测得∠NAC＝36°，那么从B处到灯塔C的距离是（ ）
A．20海里 B．36海里 C．72海里 D．40海里
12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，2）1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2021A2021A2022，则点A2022的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
二：填空题（共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）计算：＝ ．
14．（2分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为 ．
15．（2分）若等腰三角形边长分别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是 cm．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若CD＝3，AB＝8 ．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则BC的长为 cm．
18．（2分）△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转到如图的位置时，连接BD，连接PA，线段PA、PB、PC之间的数量关系是 ．
三、解答题（8小题，共72分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b），其中a＝，b＝．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
（3）请写出C1，C2的坐标．
22．（8分）如图，AD、AE、AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线．
（1）若S△ABC＝10，CF＝3，求AD的长．
（2）若∠C＝74°，∠B＝30°，求∠DAE的度数．
23．（10分）为了迎接党的二十大胜利召开，某校举行了“喜迎二十大，奋进新征程”的党史知识竞赛．竞赛成绩评定共分为A、B、C、D四个等级，将获得的数据整理绘制成两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了多少名学生？
（2）请根据以上信息补全条形统计图：
（3）在扇形统计图中，C等级对应的圆心角度数是多少度？
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校1500名学生中有多少名学生的成绩评定为B等级？
24．（10分）综合与实践：
【问题情境】数学课上，老师带领同学们一起探究三角形中边与角之间的不等关系．
【实践发现】如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，则∠C＝∠ADE．
∵∠ADE＞∠B（想一想为什么），
∴∠C＞∠B．
请证明为什么有∠ADE＞∠B；
【实践探究】如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，使点B落在点C上，折线交AB于点F，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小南的方法完成证明；
【实践拓展】如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，求∠DEM的度数．
25．（12分）在南宁市创城迎检活动中，某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子作为花圃
（1）若现有A型板材180张，B型板材370张，可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？
（2）若该工厂准备用不超过30000元的资金去购买A、B两种型号板材，制作竖式、横式无盖箱子共80个，已知A型板材每张30元，问最多可以制作竖式无盖箱子多少个？
（3）若该工厂新购得130张规格为3m×3m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割的板材制作两种类型的箱子，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式无盖箱子多少个？
26．（12分）如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°
（1）如图1，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，若点A坐标为（0，4），点C的坐标为（﹣2，0）；
（2）如图2，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，若点A坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2）；
（3）如图3，当点C在x轴正半轴上运动，点A（0，a），点B（m，n）在第四象限时
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形；
B、图形不是轴对称图形；
C、图形是轴对称图形；
D、图形不是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（3分）2022年3月23日，“天宫课堂”再度开课，三位“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在距离地球约400000米的中国空间站为广大青少年带来了一场精彩的太空科普课（ ）
A．0.4×106 B．4×106 C．0.4×105 D．4×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：400000＝4×105．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）以下列各组数为边长，能组成三角形的是（ ）
A．2，2，4 B．2，3，8 C．3，4，5 D．7，6，15
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵2+2＝7，
∴长度为2，2，8的三条线段不能组成三角形；
B、∵2+3＜7，
∴长度为2，3，6的三条线段不能组成三角形；
C、∵3+4＞6，
∴长度为3，4，8的三条线段能组成三角形；
D、∵7+6＜15，
∴长度为5，6，15的三条线段不能组成三角形；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．面积相等的两个三角形全等
B．周长相等的两个三角形全等
C．形状相同的两个三角形全等
D．能够完全重合的两个三角形全等
【分析】根据三角形全等的判定定理进行解答即可．
【解答】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，不符合题意；
B、周长相等的两个三角形不一定全等，不符合题意；
C、形状相同的两个三角形不一定全等，不符合题意；
D、能够完全重合的两个三角形全等，符合题意．
故选：D．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，则AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据等腰三角形的等角对等边解答即可．
【解答】解：∵∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝4，
故选：C．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的等角对等边解答．
6．（3分）下列不是利用三角形的稳定性的是（ ）
A．三角形房架 B．照相机的三脚架
C．伸缩门 D．大桥斜拉铁索
【分析】根据三角形具有稳定性判断即可．
【解答】解：A、三角形的房架，本选项不符合题意；
B、照相机的三脚架，本选项不符合题意；
C、伸缩门，本选项符合题意；
D、大桥斜拉铁索，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
7．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（ ）
A．50° B．80° C．20°或80° D．50°或80°
【分析】分这个角为底角或顶角两种情况讨论求解即可．
【解答】解：当底角为80°时，则它的底角度数为80°；
当顶角为80°时，则其底角为：．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，本题有两种情况，注意不要漏掉．
8．（3分）如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD＝CB C．BE＝DF D．AD∥BC
【分析】先证明AF＝CE，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判定．
【解答】解：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵∠AFD＝∠CEB，
∴当添加∠A＝∠C时，根据“ASA”可判定△ADF≌△CBE；
当添加BE＝DF时，根据“SAS”可判定△ADF≌△CBE；
当添加AD∥BC，则∠A＝∠C时．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
9．（3分）一个八边形的内角和度数为（ ）
A．360° B．720° C．900° D．1080°
【分析】应用多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：（n﹣2）•180＝（8﹣4）×180°＝1080°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．
10．（3分）用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【分析】由尺规作图可知，OM＝ON，NC＝MC，进而可证△NOC≌△MOC，可得∠AOC＝∠BOC，即可得出答案．
【解答】解：由尺规作图可知，OM＝ON，
在△NOC和△MOC中，
，
∴△NOC≌△MOC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC．
故选：A．
【点评】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
11．（3分）如图，上午9时，一条船从A处出发以20海里/时的速度向正北航行，从A，B望灯塔C．如果测得∠NAC＝36°，那么从B处到灯塔C的距离是（ ）
A．20海里 B．36海里 C．72海里 D．40海里
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出∠NAC＝∠ACB，再根据等角对等边即可求出BC＝AB，利用路程＝速度×时间计算即可求出AB的长度，也就是海岛B与灯塔C相距的距离．
【解答】解：∵∠NAC＝36°，∠NBC＝72°，
∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝36°，
∴∠NAC＝∠ACB，
∴BC＝BA＝20×（11﹣9）＝20×2＝40（海里）．
答：海岛B与灯塔C相距40海里．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，利用三角形的外角性质进行计算是解题的关键，难度适中．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，2）1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2021A2021A2022，则点A2022的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，得点A1的纵坐标是2×，根据以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，得点A2的纵坐标是2×（）2，依此类推，可得点A2022的纵坐标．
【解答】解：∵点A的坐标是（0，2）6，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，
∴∠A7OO1＝90°﹣60°＝30°，OA1＝OA＝7，
∴A1O1＝OA1＝8×（30°所对的直角边等于斜边的一半），
∴点A2纵坐标是2×，
∵以O1A1为边在右侧作等边三角形O2A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，
∴∠A2O3O2＝90°﹣60°＝30°，O1A6＝A1O1＝7×，
∴A8O2＝O1A2＝2××，
∴点A2的纵坐标是2××，即2×（）2，
∵以O6A2为边在右侧作等边三角形O2A3A3，
同理，得点A3的纵坐标是5×，
按此规律继续作下去，得：点A2022的纵坐标是2×（）2022，即，
故选：C．
【点评】本题考查了图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含30°角的直角三角形的性质，从而完成求解．
二：填空题（共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）计算：＝ 3 ．
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的求法是解答本题的关键．
14．（2分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为 （2，1） ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为（5．
故答案为：（2，1）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
15．（2分）若等腰三角形边长分别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是 15 cm．
【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3cm，只能为6cm，然后即可求得等腰三角形的周长．
【解答】解：当6cm为腰，3cm为底时，此时周长为6+6+3＝15（cm）；
当4cm为底，3cm为腰时，故舍去．
故其周长是15cm．
故答案为：15．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及及三角形三边的关系．已知没有明确腰和底边的题目一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，也是解题的关键．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若CD＝3，AB＝8 12 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，
∴DE＝CD＝3，
∴△ABD的面积＝AB•DE＝．
故答案为：12．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出AB边上的高是解题的关键．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则BC的长为 9 cm．
【分析】直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∴BC＝BE+EF+CF＝AE+EF+AF＝9cm．
故答案为：9．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
18．（2分）△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转到如图的位置时，连接BD，连接PA，线段PA、PB、PC之间的数量关系是 PB＝PC+PA ．
【分析】证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论．
【解答】解：如图，在BP上截取BF＝PC，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CP，
∴△BAF≌△CAP（SAS），
∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAF＝60°，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF＝PA，
∴PB＝BF+PF＝PC+PA，
故答案为：PB＝PC+PA．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABD≌△ACE是解题的关键．
三、解答题（8小题，共72分）
19．（6分）计算：．
【分析】先算乘方，再算乘法，后算加法，即可解答．
【解答】解：
＝3+（﹣8）
＝﹣3．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（6分）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣（ab2+3a2b），其中a＝，b＝．
【分析】根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：5（3a4b﹣ab2）﹣（ab2+5a2b）
＝15a2b﹣5ab2﹣ab2﹣2a2b
＝12a2b﹣7ab2
当a＝，b＝时，
原式＝12××﹣6××＝．
【点评】本题考查的是整式的加减混合运算，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
（3）请写出C1，C2的坐标．
【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置，然后依次连接各点得出结论；
（2）利用轴对称的性质作出三角形的对应顶点，然后依次连接各点得出结论；
（3）利用所画图象依据坐标的特征写出结论即可．
【解答】解：（1）如图所示，依次将点A，B，纵坐标不变1，B1，C4，依次连接各点得到△A1B1C2为所作的图形．
（2）如图所示，依次将点A，B，纵坐标不变2，B2，C7，依次连接各点得到△A2B2C2，为所作的图形．
（3）由图象得：C1（3，7），C2（﹣3，﹣3）．
【点评】本题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
22．（8分）如图，AD、AE、AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线．
（1）若S△ABC＝10，CF＝3，求AD的长．
（2）若∠C＝74°，∠B＝30°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据题意求得BC＝6，然后根据三角形面积公式即可求得AD的长；
（2）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝76°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE＝∠CAB＝38°，∠ADC＝90°，则∠DAC＝90°﹣∠C＝16°，然后利用∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC计算即可．
【解答】解：（1）∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF＝3，
∴BC＝6，
∵S△ABC＝10，
∴＝10，即，
∴AD＝；
（2）∵∠C＝74°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝76°，
∴∠CAE＝∠CAB＝38°，
∵∠ADC＝90°，∠C＝74°，
∴∠DAC＝16°
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝38°﹣16°＝22°．
【点评】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，三角形内角和为180°．也考查了三角形的面积．
23．（10分）为了迎接党的二十大胜利召开，某校举行了“喜迎二十大，奋进新征程”的党史知识竞赛．竞赛成绩评定共分为A、B、C、D四个等级，将获得的数据整理绘制成两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中一共抽取了多少名学生？
（2）请根据以上信息补全条形统计图：
（3）在扇形统计图中，C等级对应的圆心角度数是多少度？
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校1500名学生中有多少名学生的成绩评定为B等级？
【分析】（1）根据A的人数为32，占比32%即可求出总人数；
（2）总人数减去A，C，D的人数即可算出B的人数，补全图即可；
（3）求出C占的百分比乘以360°即可；
（4）求出B所占的比，乘以总人数即可．
【解答】解：（1）抽取的总人数为：32÷32%＝100（名）；
答：一共抽取了100名学生．
（2）B的人数为：100﹣32﹣24﹣8＝36（名），
补全条形统计图如图所示：
（3）C所占比为：24÷100＝24%，
圆心角的度数为：360°×24%＝86.4°；
（4）×1500＝540（名），
答：有540名学生评为B等级．
【点评】本题考查了条形统计图，掌握用样本估计总体是解题关键．
24．（10分）综合与实践：
【问题情境】数学课上，老师带领同学们一起探究三角形中边与角之间的不等关系．
【实践发现】如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，则∠C＝∠ADE．
∵∠ADE＞∠B（想一想为什么），
∴∠C＞∠B．
请证明为什么有∠ADE＞∠B；
【实践探究】如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，使点B落在点C上，折线交AB于点F，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小南的方法完成证明；
【实践拓展】如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，求∠DEM的度数．
【分析】（1）利用三角形的外角的性质，即可得出结论；
（2）先由折叠得出BF＝CF，再利用三角形外角的性质，即可得出结论；
（3）先判断出∠B＝∠BED，再判断出∠MAE＝∠MEA，进而求出∠B+∠BAE＝70°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠B+∠BED，
∴∠ADE＞∠B；
（2）证明：由折叠知，BF＝CF，
在△ACF中，AF+FC＞AC，
∴AF+BF＞AC，
∴AB＞AC；
（3）解：由折叠知，∠MAE＝∠EAC，
∵∠C＝2∠B，
∴∠ADE＝2∠B，
∵∠ADE＝∠B+∠BED，
∴∠B＝∠BED，
∵ME∥AC，
∴∠MEA＝∠EAC，
∵∠MAE＝∠EAC，
∴∠MAE＝∠MEA，
∵∠BEA＝110°，
∴∠B+∠BAE＝180°﹣∠BEA＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BED+∠MEA＝∠B+∠BAM＝70°，
∴∠DEM＝∠BEA﹣（∠BED+∠MEA）＝110°﹣70°＝40°．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，等边对等角，判断出∠MAE＝∠MEA是解本题的关键．
25．（12分）在南宁市创城迎检活动中，某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子作为花圃
（1）若现有A型板材180张，B型板材370张，可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？
（2）若该工厂准备用不超过30000元的资金去购买A、B两种型号板材，制作竖式、横式无盖箱子共80个，已知A型板材每张30元，问最多可以制作竖式无盖箱子多少个？
（3）若该工厂新购得130张规格为3m×3m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割的板材制作两种类型的箱子，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式无盖箱子多少个？
【分析】（1）设可制作竖式无盖箱子x个，可制作横式无盖箱子y个，由题意：现有A型板材180张，B型板材370张，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设可以制作竖式无盖箱子m个，则制作横式无盖箱子（80﹣m）个，由题意：不超过30000元的资金去购买A、B两种型号板材，A型板材每张30元，B型板材每张90元，列出一元一次不等式，解不等式即可；
（3）C型可以看成三列，每一列可以做成3个A型或1个B型，130个C型就有130×3＝390列，则最后A型的数量一定是3的倍数，设可以制作竖式箱子a个，制作横式箱子b个，由题意列出二元一次方程，即可解决问题．
【解答】解：（1）设可制作竖式无盖箱子x个，可制作横式无盖箱子y个，
由题意得：，
解得：，
答：可制作竖式无盖箱子40个，可制作横式无盖箱子70个；
（2）设可以制作竖式无盖箱子m个，则制作横式无盖箱子（80﹣m）个，
由题意得：30×[m+2（80﹣m）]+90×[4m+3（80﹣m）]≤30000，
解得：m≤60，
∴m最大为60，
答：最多可以制作竖式无盖箱子60个；
（3）C型可以看成三列，每一列可以做成3个A型或1个B型，
∵材料恰好用完，
∴最后A型的数量一定是4的倍数，
设可以制作竖式无盖箱子a个，制作横式无盖箱子b个，
∵1个竖式无盖箱子需要1个A型和2个B型，1个横式无盖箱子需要2个A型和6个B型，130个C型就有130×3＝390列，
∴（1+4×3）a+（2+4×3）b＝390×3，
∴13a+11b＝1170，
∵a、b均为整数，
∴，，，，
答：最多可以制作竖式无盖箱子90个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
26．（12分）如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°
（1）如图1，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，若点A坐标为（0，4），点C的坐标为（﹣2，0）；
（2）如图2，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，若点A坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2）；
（3）如图3，当点C在x轴正半轴上运动，点A（0，a），点B（m，n）在第四象限时
【分析】（1）过点B作x轴的垂线，交x轴于点E，易证△BEC≌△COA（AAS），EO＝EC+CO＝4+2＝6，BE＝2，即可求解；
（2）过点B作BE⊥y轴于E，证△CEB≌△AOC（AAS），得BE＝OC＝2，CE＝OA＝4，则OE＝CE﹣OC＝2，即可求解；
（3）过点B作BD⊥x轴于D，作BE⊥y轴于E，同（2）得△AOC≌△CDB（AAS），则OA＝DC＝a，OC＝DB＝﹣n，再由OD＝OC﹣DC，得m＝﹣n﹣a，即可得出结论．
【解答】解：（1）过点B作x轴的垂线，交x轴于点E
∵点A的坐标为（0，4），8），
∴OA＝4，OC＝2，
∵∠ACB＝90°，∠AOC＝90°，
∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠BCE＝∠CAO，
又∠BEC＝∠COA＝90°，BC＝AC，
∴△BEC≌△COA（AAS），
∴EC＝AO＝4，CO＝BE＝2，
∴EO＝EC+CO＝4+3＝6，BE＝2，
∴OD＝OC+CD＝5，
∴点B的坐标为（﹣6，2）；
（2）如图8，过点B作BE⊥y轴于E，
∵点C的坐标为（0，﹣2），6），
∴OC＝2，OA＝4，
∵∠BEC＝∠AOC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACO＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACO＝∠CBE，
又CB＝CA，
∴△CEB≌△AOC（AAS），
∴BE＝OC＝6，CE＝OA＝4，
∴OE＝CE﹣OC＝2，
∴点B坐标为（﹣3，2）；
（3）如图3所示，过点B作BD⊥x轴于D，
则四边形OEBD是矩形，
∴OD＝BE，BD＝OE，
∵点A（3，a）在y轴的正半轴上，
∴OA＝a，
∵点B（m，n）在第四象限，
∴OD＝BE＝m，OE＝BD＝﹣n，
同（2）得：△AOC≌△CDB（AAS），
∴OA＝DC＝a，OC＝DB＝﹣n，
又∵OD＝OC﹣DC，
∴m＝﹣n﹣a，
∴a+m+n＝0，
即a、m、n之间的数量关系为a+m+n＝0．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
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