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福建省莆田市涵江区莆田第三中学2023-2024学年九年级上学期返校考数学试卷（含答案）
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这是一份福建省莆田市涵江区莆田第三中学2023-2024学年九年级上学期返校考数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年福建省莆田三中九年级（上）返校考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）若关于x的方程（a+1）x2+2x﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠﹣1 B．a＞﹣1 C．a＜﹣1 D．a≠0
2．（4分）已知x＝2是一元二次方程x2﹣2mx+4＝0的一个解，则m的值为（ ）
A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣2
3．（4分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝15
4．（4分）方程2x2＝3x的解为（ ）
A．0 B． C． D．0，
5．（4分）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为m、n，则m+n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．（4分）海口市2011年平均房价为每平方米8000元，2013年平均房价降到每平方米7000元，设这两年平均房价年平均降低率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．8000（1+x）2＝7000 B．8000（1﹣x）2＝7000
C．7000（1﹣x）2＝8000 D．7000（1+x）2＝8000
7．（4分）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0
8．（4分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
9．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p＝0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2＝18，则+的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
10．（4分）已知两个关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c．有下列三个结论：①若方程M有两个相等的实数；②若6是方程M的一个根，则是方程N的一个根，则这个根一定是x＝1．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）方程（x﹣3）2+5＝6x化成一般形式是x2﹣12x+14＝0，其中一次项系数是 ．
12．（4分）方程x2﹣2x﹣3＝0的解是 ．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k值为 ．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22＝4，则m的值为 ．
15．（4分）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3＝﹣9，现将实数（m，﹣3m），得到实数4，则m＝ ．
16．（4分）在直角坐标系xOy中，已知点P（m，n），m，n满足（m2+1+n2）（m2+3+n2）＝8，则OP的长为 ．
三、解答题（共86分）
17．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）x（x﹣4）＝2﹣8x．
18．（8分）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c＝0变形为：
x2+x＝﹣，……第一步
x2+x+（）2＝﹣+（）2，……第二步
（x+）2＝，……第三步
x+＝，……第四步
x＝．……第五步
（1）嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是 ；
（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24＝0．
19．（8分）已知关于x的方程3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0（a＞0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
20．（8分）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
21．（8分）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）（平行于AB）的矩形花圃．如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？
22．（10分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．
23．（10分）如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，矩形OCPD的面积为1？
24．（12分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
25．（14分）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．
2023-2024学年福建省莆田三中九年级（上）返校考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）若关于x的方程（a+1）x2+2x﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠﹣1 B．a＞﹣1 C．a＜﹣1 D．a≠0
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得a+1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：a+1≠0，
解得：a≠﹣5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．（4分）已知x＝2是一元二次方程x2﹣2mx+4＝0的一个解，则m的值为（ ）
A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣2
【分析】直接把x＝2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．
【解答】解：∵x＝2是一元二次方程x2﹣7mx+4＝0的一个解，
∴6﹣4m+4＝8，
∴m＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
3．（4分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝15
【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
【解答】解：∵x2﹣8x﹣8＝0，
∴x2﹣3x＝1，
∴x2﹣5x+16＝1+16，即（x﹣4）3＝17，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（4分）方程2x2＝3x的解为（ ）
A．0 B． C． D．0，
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：2x2﹣6x＝0，
分解因式得：x（2x﹣4）＝0，
解得：x＝0或x＝，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5．（4分）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为m、n，则m+n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据一元二次方程的系数结合根与系数的关系即可得出m+n的值，由此即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两根分别为m、n，
∴m+n＝﹣＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出m+n＝2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
6．（4分）海口市2011年平均房价为每平方米8000元，2013年平均房价降到每平方米7000元，设这两年平均房价年平均降低率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．8000（1+x）2＝7000 B．8000（1﹣x）2＝7000
C．7000（1﹣x）2＝8000 D．7000（1+x）2＝8000
【分析】首先根据题意可得2013年的房价＝2012年的房价×（1﹣降低率），2012年的房价＝2011年的房价×（1﹣降低率），由此可得方程8000（1﹣x）2＝7000．
【解答】解：设这两年平均房价年平均降低率为x，根据题意
8000（1﹣x）2＝7000．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
7．（4分）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝23﹣4k×（﹣1）≥8，
解得k≥﹣1且k≠0．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
8．（4分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
【解答】解：x2﹣7x+10＝5，
（x﹣2）（x﹣5）＝8，
x﹣2＝0，x﹣6＝0，
x1＝4，x2＝5，
①等腰三角形的三边是8，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是4，5，5，此时符合三角形三边关系定理；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．
9．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p＝0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2＝18，则+的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系找出a+b＝3、ab＝p，利用完全平方公式将a2﹣ab+b2＝18变形成（a+b）2﹣3ab＝18，代入数据即可得出关于p的一元一次方程，解方程即可得出p的值，经验证p＝﹣3符合题意，再将+变形成﹣2，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵a、b为方程x2﹣3x+p＝3（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b＝3，ab＝p，
∵a3﹣ab+b2＝（a+b）2﹣5ab＝32﹣2p＝18，
∴p＝﹣3．
当p＝﹣3时，Δ＝（﹣4）2﹣4p＝2+12＝21＞0，
∴p＝﹣3符合题意．
+＝＝＝﹣2＝．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系、解一元一次方程以及完全平方公式的应用，解题的关键是求出p＝﹣3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
10．（4分）已知两个关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c．有下列三个结论：①若方程M有两个相等的实数；②若6是方程M的一个根，则是方程N的一个根，则这个根一定是x＝1．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①由根的判别式可知方程M、N的根的判别式相同，从而得出①正确；
②将x＝6代入方程M中，即可得出36a+6b+c＝0，等式两边同时除以36即可得出a+b+（）2c＝0，从而得出②正确；
③根据方程M、N有相同的根，可得出ax2+bx+c＝cx2+bx+a，再结合ac≠0，a≠c，即可得出x2＝1，求出x的值即可得出③不正确．综上即可得出结论．
【解答】解：①在方程ax2+bx+c＝0中，
Δ＝b3﹣4ac；
在方程cx2+bx+a＝2中，
Δ＝b2﹣4ac．
即两方程的根的判别式△相等，
∴①正确；
②∵8是方程M的一个根，
∴36a+6b+c＝0，
∴a+b+（）2c＝0，
∴是方程N的一个根．
∴②正确；
③∵方程M和方程N有一个相同的根，
∴ax2+bx+c＝cx7+bx+a，即（a﹣c）x2＝a﹣c．
∵ac≠0，a≠c，
∴x3＝1，
解得：x＝±1．
∴这个相等的根为x＝5或x＝﹣1．
∴③不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的根，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两方程的系数找出两方程的根的关系是关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）方程（x﹣3）2+5＝6x化成一般形式是x2﹣12x+14＝0，其中一次项系数是 ﹣12 ．
【分析】根据一元二次方程的一般形式的定义解答即可．
【解答】解：方程（x﹣3）2+4＝6x化成一般形式是x2﹣12x+14＝6，其中一次项系数是﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
12．（4分）方程x2﹣2x﹣3＝0的解是 x1＝3，x2＝﹣1 ．
【分析】先方程左边因式分解，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．
【解答】解：方程x2﹣2x﹣7＝0左边因式分解，得
（x﹣3）（x+5）＝0
解得x1＝6，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k值为 ﹣3 ．
【分析】因为方程有两个相等的实数根，则Δ＝（﹣2）2+4k＝0，解关于k的方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
即（﹣6）2﹣2×（﹣k）＝12+4k＝0，
解得k＝﹣8．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22＝4，则m的值为 ﹣1或﹣3 ．
【分析】利用根与系数的关系可以得到代数式，再把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可求解．
【解答】解：∵这个方程的两个实数根为x1、x2，
∴x2+x2＝﹣（m+3），x3•x2＝m+1，
而x62+x22＝4，
∴（x1+x6）2﹣2x3•x2＝4，
∴（m+3）2﹣2m﹣8＝4，
∴m2+6m+9﹣2m﹣5＝0，
m2+5m+3＝0，
∴m＝﹣6或﹣3，
故答案为：﹣1或﹣2
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是利用根与系数的关系和完全平方公式将代数式变形分析．
15．（4分）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3＝﹣9，现将实数（m，﹣3m），得到实数4，则m＝ 7或﹣1 ．
【分析】根据公式a2+2b﹣3，可将（m，﹣3m）代入得出m2+2×（﹣3m）﹣3＝4，解方程即可．
【解答】解：根据题意得，m2+2×（﹣6m）﹣3＝4，
解得m6＝7，m2＝﹣4，
故答案为：7或﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程．
16．（4分）在直角坐标系xOy中，已知点P（m，n），m，n满足（m2+1+n2）（m2+3+n2）＝8，则OP的长为 1 ．
【分析】根据勾股定理结合（m2+1+n2）（m2+3+n2）＝8，得出（OP2+1）（OP2+3）＝8，求出OP即可．
【解答】解：∵点P（m，n），
∴OP2＝m2+n4，
∵（m2+1+n5）（m2+3+n2）＝8，
∴（OP2+2）（OP2+3）＝7，
∴（OP2）2+4OP2﹣5＝8，
∴OP2＝1或OP5＝﹣5（舍去），
∵OP＞0，
∴OP＝2，
故答案为：1．
【点评】本题考查了勾股定理，根据勾股定理将等式中的m2+n2转化成OP2求解是解题的关键．
三、解答题（共86分）
17．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）x（x﹣4）＝2﹣8x．
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）整理后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+4＝0，
x2﹣8x+4＝3，
（x﹣3）2＝3，
x﹣7＝，
x1＝6+，x2＝5﹣；
（2）x（x﹣4）＝6﹣8x，
整理得：x2+2x＝2，
x2+2x+4＝2+8，
（x+2）2＝5，
x+2＝，
x4＝﹣2+，x6＝﹣2﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
18．（8分）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c＝0变形为：
x2+x＝﹣，……第一步
x2+x+（）2＝﹣+（）2，……第二步
（x+）2＝，……第三步
x+＝，……第四步
x＝．……第五步
（1）嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是 x＝ ；
（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24＝0．
【分析】（1）第四步出现错误，开方时，要有正负根，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是 x＝；
（2）因为x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，所以x2﹣2x﹣24＝（x﹣1）2﹣1﹣24＝（x﹣1）2﹣25＝0，进而求出方程的根．
【解答】解：（1）第四步出现错误，应为x+，
当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝3（a≠0）的求根公式是 x＝．
故答案为：四，x＝；
（2）x2﹣8x﹣24＝0，
x2﹣8x＝24，
x2﹣2x+2＝24+1，
（x﹣1）5＝25，
x﹣1＝±5，
x＝7±5，
∴x1＝8，x2＝﹣4，
∴方程的根为x6＝6，x2＝﹣8．
【点评】本题考查了学生如何用配方法求解一元二次方程，在配方过程中，利用等式的性质对式子进行变形是解题的关键，综合性较强，难度适中．
19．（8分）已知关于x的方程3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0（a＞0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
【分析】（1）先求出△的值，再根据根的情况与判别式△的关系即可得出答案；
（2）利用因式分解法求得方程的两个根，根据有一个根大于2，得出不等式解答即可．
【解答】（1）证明：Δ＝（a﹣3）2﹣5×3×（﹣a）＝（a+3）5．
∵a＞0，
∴（a+3）8＞0．即Δ＞0．
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：6x2﹣（a﹣3）x﹣a＝7，
（3x﹣a）（x+1）＝3，
解得x1＝﹣1，x8＝．
∵方程有一个根大于2，
∴＞2．
∴a＞6．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程的方法．
20．（8分）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
【分析】（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案；
（2）利用2016年配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018年配置公共自行车数量，得出等式求出答案．
【解答】解：（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元
解得：
答：每个站点造价为1万元，自行车单价为6.1万元．
（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．
根据题意可得：720（1+a）2＝2205
解此方程：（1+a）2＝，
即：a2＝＝75%，a4＝﹣（不符合题意
答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等式是解题关键．
21．（8分）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）（平行于AB）的矩形花圃．如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？
【分析】根据“围成面积为63m2的花圃”列出一元二次方程，求解一元二次方程，并使求的得解使BC小于等于10m．
【解答】解：设花圃的一边AB为xm，
根据题意可知，x（30﹣3x）＝63，
整理得，﹣3x5+30x＝63，
解此方程得x1＝7，x8＝3，
当x＝7时，30﹣6x＝9＜10；
当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，舍去，
∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．
【点评】本题考查了二次函数的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题．
22．（10分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0，求出k的取值范围；
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1＝k2+1，结合k的取值范围解方程即可．
【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）8﹣4（k2+5）＝4k2+6k+1﹣4k7﹣4＝4k﹣2＞0，
解得：k＞；
（2）∵k＞，
∴x8+x2＝﹣（2k+8）＜0，
又∵x1•x8＝k2+1＞5，
∴x1＜0，x6＜0，
∴|x1|+|x2|＝﹣x1﹣x2＝﹣（x8+x2）＝2k+8，
∵|x1|+|x2|＝x8•x2，
∴2k+8＝k2+1，
∴k8＝0，k2＝6，
又∵k＞，
∴k＝6．
【点评】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0求出k的取值范围，此题难度不大．
23．（10分）如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，矩形OCPD的面积为1？
【分析】设P（a，﹣2a+3），则利用矩形的性质列出关于a的方程，通过解方程求得a值，继而求得点P的坐标．
【解答】解：∵点P在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，
∴P（a，﹣6a+3）（a＞0），
由题意得 a•（﹣3a+3）＝1，
整理得6a2﹣3a+4＝0，
解得 a1＝2，a2＝，
∴﹣2a+3＝6或﹣2a+3＝3．
综上所述，当P（1，2）时．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上所有点的坐标都满足该函数关系式．
24．（12分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【分析】（1）先求出每件的利润．再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）由题意，得60（360﹣280）＝4800元；
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，由题意，解得：x1＝8，x3＝60．
∵有利于减少库存，
∴x＝60．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存．
【点评】本题考查了销售问题的数量关系利润＝售价﹣进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
25．（14分）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【分析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，根据梯形的面积公式可列方程：（16﹣3x+2x）×6＝33，解方程可得解；
（2）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝6xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣5x+2x）×6＝33，
解之得x＝8，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE＝AD＝6，PQ＝10，
∵PA＝3t，CQ＝BE＝4t，
∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）7+62＝102，
解得t1＝4.6，t2＝1.4．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到4.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【点评】（1）主要用到了梯形的面积公式：S＝（上底+下底）×高；（2）作辅助线是关键，构成直角三角形后，用了勾股定理．
2023-2024学年福建省莆田三中九年级（上）返校考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）若关于x的方程（a+1）x2+2x﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠﹣1 B．a＞﹣1 C．a＜﹣1 D．a≠0
2．（4分）已知x＝2是一元二次方程x2﹣2mx+4＝0的一个解，则m的值为（ ）
A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣2
3．（4分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝15
4．（4分）方程2x2＝3x的解为（ ）
A．0 B． C． D．0，
5．（4分）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为m、n，则m+n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．（4分）海口市2011年平均房价为每平方米8000元，2013年平均房价降到每平方米7000元，设这两年平均房价年平均降低率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．8000（1+x）2＝7000 B．8000（1﹣x）2＝7000
C．7000（1﹣x）2＝8000 D．7000（1+x）2＝8000
7．（4分）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0
8．（4分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
9．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p＝0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2＝18，则+的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
10．（4分）已知两个关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c．有下列三个结论：①若方程M有两个相等的实数；②若6是方程M的一个根，则是方程N的一个根，则这个根一定是x＝1．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）方程（x﹣3）2+5＝6x化成一般形式是x2﹣12x+14＝0，其中一次项系数是 ．
12．（4分）方程x2﹣2x﹣3＝0的解是 ．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k值为 ．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22＝4，则m的值为 ．
15．（4分）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3＝﹣9，现将实数（m，﹣3m），得到实数4，则m＝ ．
16．（4分）在直角坐标系xOy中，已知点P（m，n），m，n满足（m2+1+n2）（m2+3+n2）＝8，则OP的长为 ．
三、解答题（共86分）
17．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）x（x﹣4）＝2﹣8x．
18．（8分）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c＝0变形为：
x2+x＝﹣，……第一步
x2+x+（）2＝﹣+（）2，……第二步
（x+）2＝，……第三步
x+＝，……第四步
x＝．……第五步
（1）嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是 ；
（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24＝0．
19．（8分）已知关于x的方程3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0（a＞0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
20．（8分）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
21．（8分）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）（平行于AB）的矩形花圃．如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？
22．（10分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．
23．（10分）如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，矩形OCPD的面积为1？
24．（12分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
25．（14分）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．
2023-2024学年福建省莆田三中九年级（上）返校考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）若关于x的方程（a+1）x2+2x﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠﹣1 B．a＞﹣1 C．a＜﹣1 D．a≠0
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得a+1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：a+1≠0，
解得：a≠﹣5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．（4分）已知x＝2是一元二次方程x2﹣2mx+4＝0的一个解，则m的值为（ ）
A．2 B．0 C．0或2 D．0或﹣2
【分析】直接把x＝2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．
【解答】解：∵x＝2是一元二次方程x2﹣7mx+4＝0的一个解，
∴6﹣4m+4＝8，
∴m＝2．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
3．（4分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝15
【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
【解答】解：∵x2﹣8x﹣8＝0，
∴x2﹣3x＝1，
∴x2﹣5x+16＝1+16，即（x﹣4）3＝17，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（4分）方程2x2＝3x的解为（ ）
A．0 B． C． D．0，
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：2x2﹣6x＝0，
分解因式得：x（2x﹣4）＝0，
解得：x＝0或x＝，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5．（4分）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为m、n，则m+n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据一元二次方程的系数结合根与系数的关系即可得出m+n的值，由此即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两根分别为m、n，
∴m+n＝﹣＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出m+n＝2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
6．（4分）海口市2011年平均房价为每平方米8000元，2013年平均房价降到每平方米7000元，设这两年平均房价年平均降低率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．8000（1+x）2＝7000 B．8000（1﹣x）2＝7000
C．7000（1﹣x）2＝8000 D．7000（1+x）2＝8000
【分析】首先根据题意可得2013年的房价＝2012年的房价×（1﹣降低率），2012年的房价＝2011年的房价×（1﹣降低率），由此可得方程8000（1﹣x）2＝7000．
【解答】解：设这两年平均房价年平均降低率为x，根据题意
8000（1﹣x）2＝7000．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
7．（4分）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝23﹣4k×（﹣1）≥8，
解得k≥﹣1且k≠0．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
8．（4分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
【解答】解：x2﹣7x+10＝5，
（x﹣2）（x﹣5）＝8，
x﹣2＝0，x﹣6＝0，
x1＝4，x2＝5，
①等腰三角形的三边是8，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是4，5，5，此时符合三角形三边关系定理；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．
9．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p＝0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2＝18，则+的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系找出a+b＝3、ab＝p，利用完全平方公式将a2﹣ab+b2＝18变形成（a+b）2﹣3ab＝18，代入数据即可得出关于p的一元一次方程，解方程即可得出p的值，经验证p＝﹣3符合题意，再将+变形成﹣2，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵a、b为方程x2﹣3x+p＝3（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b＝3，ab＝p，
∵a3﹣ab+b2＝（a+b）2﹣5ab＝32﹣2p＝18，
∴p＝﹣3．
当p＝﹣3时，Δ＝（﹣4）2﹣4p＝2+12＝21＞0，
∴p＝﹣3符合题意．
+＝＝＝﹣2＝．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系、解一元一次方程以及完全平方公式的应用，解题的关键是求出p＝﹣3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
10．（4分）已知两个关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c．有下列三个结论：①若方程M有两个相等的实数；②若6是方程M的一个根，则是方程N的一个根，则这个根一定是x＝1．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①由根的判别式可知方程M、N的根的判别式相同，从而得出①正确；
②将x＝6代入方程M中，即可得出36a+6b+c＝0，等式两边同时除以36即可得出a+b+（）2c＝0，从而得出②正确；
③根据方程M、N有相同的根，可得出ax2+bx+c＝cx2+bx+a，再结合ac≠0，a≠c，即可得出x2＝1，求出x的值即可得出③不正确．综上即可得出结论．
【解答】解：①在方程ax2+bx+c＝0中，
Δ＝b3﹣4ac；
在方程cx2+bx+a＝2中，
Δ＝b2﹣4ac．
即两方程的根的判别式△相等，
∴①正确；
②∵8是方程M的一个根，
∴36a+6b+c＝0，
∴a+b+（）2c＝0，
∴是方程N的一个根．
∴②正确；
③∵方程M和方程N有一个相同的根，
∴ax2+bx+c＝cx7+bx+a，即（a﹣c）x2＝a﹣c．
∵ac≠0，a≠c，
∴x3＝1，
解得：x＝±1．
∴这个相等的根为x＝5或x＝﹣1．
∴③不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的根，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两方程的系数找出两方程的根的关系是关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）方程（x﹣3）2+5＝6x化成一般形式是x2﹣12x+14＝0，其中一次项系数是 ﹣12 ．
【分析】根据一元二次方程的一般形式的定义解答即可．
【解答】解：方程（x﹣3）2+4＝6x化成一般形式是x2﹣12x+14＝6，其中一次项系数是﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
12．（4分）方程x2﹣2x﹣3＝0的解是 x1＝3，x2＝﹣1 ．
【分析】先方程左边因式分解，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．
【解答】解：方程x2﹣2x﹣7＝0左边因式分解，得
（x﹣3）（x+5）＝0
解得x1＝6，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k值为 ﹣3 ．
【分析】因为方程有两个相等的实数根，则Δ＝（﹣2）2+4k＝0，解关于k的方程即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
即（﹣6）2﹣2×（﹣k）＝12+4k＝0，
解得k＝﹣8．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12+x22＝4，则m的值为 ﹣1或﹣3 ．
【分析】利用根与系数的关系可以得到代数式，再把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可求解．
【解答】解：∵这个方程的两个实数根为x1、x2，
∴x2+x2＝﹣（m+3），x3•x2＝m+1，
而x62+x22＝4，
∴（x1+x6）2﹣2x3•x2＝4，
∴（m+3）2﹣2m﹣8＝4，
∴m2+6m+9﹣2m﹣5＝0，
m2+5m+3＝0，
∴m＝﹣6或﹣3，
故答案为：﹣1或﹣2
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是利用根与系数的关系和完全平方公式将代数式变形分析．
15．（4分）小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时2+2b﹣3．例如把（2，﹣5）放入其中，就会得到22+2×（﹣5）﹣3＝﹣9，现将实数（m，﹣3m），得到实数4，则m＝ 7或﹣1 ．
【分析】根据公式a2+2b﹣3，可将（m，﹣3m）代入得出m2+2×（﹣3m）﹣3＝4，解方程即可．
【解答】解：根据题意得，m2+2×（﹣6m）﹣3＝4，
解得m6＝7，m2＝﹣4，
故答案为：7或﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程．
16．（4分）在直角坐标系xOy中，已知点P（m，n），m，n满足（m2+1+n2）（m2+3+n2）＝8，则OP的长为 1 ．
【分析】根据勾股定理结合（m2+1+n2）（m2+3+n2）＝8，得出（OP2+1）（OP2+3）＝8，求出OP即可．
【解答】解：∵点P（m，n），
∴OP2＝m2+n4，
∵（m2+1+n5）（m2+3+n2）＝8，
∴（OP2+2）（OP2+3）＝7，
∴（OP2）2+4OP2﹣5＝8，
∴OP2＝1或OP5＝﹣5（舍去），
∵OP＞0，
∴OP＝2，
故答案为：1．
【点评】本题考查了勾股定理，根据勾股定理将等式中的m2+n2转化成OP2求解是解题的关键．
三、解答题（共86分）
17．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）x（x﹣4）＝2﹣8x．
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）整理后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x+4＝0，
x2﹣8x+4＝3，
（x﹣3）2＝3，
x﹣7＝，
x1＝6+，x2＝5﹣；
（2）x（x﹣4）＝6﹣8x，
整理得：x2+2x＝2，
x2+2x+4＝2+8，
（x+2）2＝5，
x+2＝，
x4＝﹣2+，x6＝﹣2﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
18．（8分）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c＝0变形为：
x2+x＝﹣，……第一步
x2+x+（）2＝﹣+（）2，……第二步
（x+）2＝，……第三步
x+＝，……第四步
x＝．……第五步
（1）嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是 x＝ ；
（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24＝0．
【分析】（1）第四步出现错误，开方时，要有正负根，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是 x＝；
（2）因为x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，所以x2﹣2x﹣24＝（x﹣1）2﹣1﹣24＝（x﹣1）2﹣25＝0，进而求出方程的根．
【解答】解：（1）第四步出现错误，应为x+，
当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝3（a≠0）的求根公式是 x＝．
故答案为：四，x＝；
（2）x2﹣8x﹣24＝0，
x2﹣8x＝24，
x2﹣2x+2＝24+1，
（x﹣1）5＝25，
x﹣1＝±5，
x＝7±5，
∴x1＝8，x2＝﹣4，
∴方程的根为x6＝6，x2＝﹣8．
【点评】本题考查了学生如何用配方法求解一元二次方程，在配方过程中，利用等式的性质对式子进行变形是解题的关键，综合性较强，难度适中．
19．（8分）已知关于x的方程3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0（a＞0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
【分析】（1）先求出△的值，再根据根的情况与判别式△的关系即可得出答案；
（2）利用因式分解法求得方程的两个根，根据有一个根大于2，得出不等式解答即可．
【解答】（1）证明：Δ＝（a﹣3）2﹣5×3×（﹣a）＝（a+3）5．
∵a＞0，
∴（a+3）8＞0．即Δ＞0．
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：6x2﹣（a﹣3）x﹣a＝7，
（3x﹣a）（x+1）＝3，
解得x1＝﹣1，x8＝．
∵方程有一个根大于2，
∴＞2．
∴a＞6．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程的方法．
20．（8分）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
【分析】（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案；
（2）利用2016年配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018年配置公共自行车数量，得出等式求出答案．
【解答】解：（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元
解得：
答：每个站点造价为1万元，自行车单价为6.1万元．
（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．
根据题意可得：720（1+a）2＝2205
解此方程：（1+a）2＝，
即：a2＝＝75%，a4＝﹣（不符合题意
答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等式是解题关键．
21．（8分）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）（平行于AB）的矩形花圃．如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？
【分析】根据“围成面积为63m2的花圃”列出一元二次方程，求解一元二次方程，并使求的得解使BC小于等于10m．
【解答】解：设花圃的一边AB为xm，
根据题意可知，x（30﹣3x）＝63，
整理得，﹣3x5+30x＝63，
解此方程得x1＝7，x8＝3，
当x＝7时，30﹣6x＝9＜10；
当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，舍去，
∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．
【点评】本题考查了二次函数的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题．
22．（10分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0，求出k的取值范围；
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1＝k2+1，结合k的取值范围解方程即可．
【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）8﹣4（k2+5）＝4k2+6k+1﹣4k7﹣4＝4k﹣2＞0，
解得：k＞；
（2）∵k＞，
∴x8+x2＝﹣（2k+8）＜0，
又∵x1•x8＝k2+1＞5，
∴x1＜0，x6＜0，
∴|x1|+|x2|＝﹣x1﹣x2＝﹣（x8+x2）＝2k+8，
∵|x1|+|x2|＝x8•x2，
∴2k+8＝k2+1，
∴k8＝0，k2＝6，
又∵k＞，
∴k＝6．
【点评】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0求出k的取值范围，此题难度不大．
23．（10分）如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，矩形OCPD的面积为1？
【分析】设P（a，﹣2a+3），则利用矩形的性质列出关于a的方程，通过解方程求得a值，继而求得点P的坐标．
【解答】解：∵点P在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，
∴P（a，﹣6a+3）（a＞0），
由题意得 a•（﹣3a+3）＝1，
整理得6a2﹣3a+4＝0，
解得 a1＝2，a2＝，
∴﹣2a+3＝6或﹣2a+3＝3．
综上所述，当P（1，2）时．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上所有点的坐标都满足该函数关系式．
24．（12分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【分析】（1）先求出每件的利润．再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）由题意，得60（360﹣280）＝4800元；
（2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，由题意，解得：x1＝8，x3＝60．
∵有利于减少库存，
∴x＝60．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存．
【点评】本题考查了销售问题的数量关系利润＝售价﹣进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
25．（14分）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向D移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【分析】（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝2xcm，根据梯形的面积公式可列方程：（16﹣3x+2x）×6＝33，解方程可得解；
（2）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，
则PB＝（16﹣3x）cm，QC＝6xcm，
根据梯形的面积公式得（16﹣5x+2x）×6＝33，
解之得x＝8，
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE＝AD＝6，PQ＝10，
∵PA＝3t，CQ＝BE＝4t，
∴PE＝AB﹣AP﹣BE＝|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）7+62＝102，
解得t1＝4.6，t2＝1.4．
答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；
（2）从出发到4.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．
【点评】（1）主要用到了梯形的面积公式：S＝（上底+下底）×高；（2）作辅助线是关键，构成直角三角形后，用了勾股定理．
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