2024扬州中学高三上学期开学考试数学试题含答案

2023~2024学年度第一学期开学检测

高三数学

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

15．若曲线过点的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是      .

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

计算：

(1) ；

(2) ．

18．（本小题满分12分）

已知函数是定义域为R的偶函数．

(1) 求实数的值；

(2) 若对任意，都有成立，求实数k的取值范围．

 

19．（本小题满分12分）

已知集合，，命题，命题．

(1) 若，求实数的取值范围；

(2) 若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

20．（本小题满分12分）

已知函数.

(1) 求函数的单调区间；

(2) 证明：对任意的．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

(1) 若在上存在单调减区间，求实数的取值范围；

(2) 若在区间上有极小值，求实数的取值范围．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

(1) 若，求的最小值；

(2) 若方程有解，求实数a的取值范围．

高三数学参考答案

1．C 2．D 3．B 4．A 5．D 6．B 7．A 8．B

9．BC 10．BCD 11．ABD 12．ACD

13．  14．16  15．或  16．12

【11详解】令，则，设，则等价于，

对于A，当时，作出函数的图象如图：      

由图象可知有一个根，

则对于，由图，共有1个解，A正确；

对于B，当时，，

作出函数的图象如图：    由图象可知有一个根，

则对于，由图，共有3个解，B正确；

对于C，当时，分析同A，函数有1个零点，C错误；

对于D，当时，，

作出函数的图象如图：      

由图象可知有3个根，或，

则对于，由图，共有3个解；

对于，由图，共3个解；对于，由图，共1个解，

故此时函数有7个零点，D正确；

【12详解】因为函数及其导函数满足，

则，即，令（为常数），
所以，，因为，可得，所以，，

对于A选项，易得时达到极小值；A对

对于B选项，，B错；

对于C选项，当时，，所以在上单调递增，C对；

对于D选项，，令，可得，

当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，

所以，，D对.

【15详解】，设切点，则切线的斜率为，

故切线方程为，取，代入，得，

∵，∴有两个不等实根，

故，解之，得或，

【16详解】因为，函数在上单调递增，不妨设，
则，可化为，
设，则，
所以为上的减函数，即在上恒成立，
等价于在上恒成立，设，所以，
因，所以，所以函数在上是增函数，
所以（当且仅当时等号成立）．
所以.

17．（1）.

（2）由（1）得：；

∵，∴，当且仅当即时等号成立，
∴，
∴，即，解得：或 ，

综上，实数的取值范围为.

19．【详解】（1），且，∴，解得.

即实数的取值范围是.

（2），得或，

由，得，，

是的充分不必要条件，∴是的真子集，

所以（等号不能同时取得），解得，

又或，所以.

实数的取值范围是.

令得:；令得:

所以，在上单调递减，上单调递增.

（2）要证明，只需证明：，

解法一：证明，再说明等号不同时取到。

解法二：令，

设，，即单调递增，

又∵，，

∴函数有唯一的零点且，满足，    

当变化时，与的变化情况如下，

所以，

因为，∵，所以不取等号，即，即恒成立，

所以，恒成立，

所以，对成立.

21．【详解】（1）∵，∴，

由题可知，，即在上有解，即在上有解
∵在上递减，∴，
∴，故实数的取值范围是.

（2）由，即，解得，

∴当或时，，当时，，

∴在上递增，在上递减，

∴在处取得极小值，

∴，即，

当时，不等式成立：当时，解得，
综上，.

22．【详解】（1）当时，，，

设，则，

∵在上单调递增，且，

∴时，，单调递减，时，，单调递增，

∴；

（2）即，即，

设，则，

，设，则，

所以时，，单调递减，时，，单调递增，

所以，即，在上单调递增，

所以方程有解即在上有解，有解，即有解，

设，则，

时，，单调递增，时，，单调递减，
所以，

所以，即实数a的取值范围是．