2023-2024学年重庆市荣昌区宝城中学八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市荣昌区宝城中学八年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在实数，，，中，最小的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知没有平方根，且，则的立方根为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列四个图形中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  用加减消元法解方程组时，下列结果正确的是(    )

A. 要消去，可以将 B. 要消去，可以将
C. 要消去，可以将 D. 要消去，可以将

5.  若，下列不等式不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列五个命题：
如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；
内错角相等；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
两个无理数的和一定是无理数；
坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．
其中真命题的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7.  孙子算经中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，可列方程(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在三角形中，，将三角形沿方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是(    )

A.  B.  C.  D. 不确定

9.  如果关于的不等式组有且只有个奇数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式求和操作得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式求和操作得到新的整式，，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式下列说法：整式；整式；整式、整式和整式相同；正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  “的倍与的差是正数”，用不等式表示为______．

12.  已知关于的方程的解为，则 ______ ．

13.  如图，把一张长方形的纸条沿折叠，若比多，则______．

14.  若关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则常数 ______ ．

15.  已知点在轴负半轴上，且到轴的距离是，那么点的坐标是______点与点之间距离是，且与轴平行，则点的坐标是______．

16.  已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大，则这首歌的歌词的字数是______ ．

17.  若不等式组的解集为，则的值为______．

18.  我们知道，任意一个正整数，都可以进行这样的分解：是正整数，且，在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解并规定：例如可以分解成，，，因为，所以是的最佳分解，所以如果一个两位正整数，为自然数，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原来的两位正整数所得的和为，那么我们称这个数为“顺顺数”，求所有“顺顺数”中的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程组
；
．

20.  本小题分
解不等式组：，在数轴上表示出解集，并写出该不等式组的非负整数解．

 

21.  本小题分
如图，直角坐标系中，的顶点都在网格上，其中点坐标为．
写出点、的坐标；
将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，请你画出平移后的．

22.  本小题分
某学校为了解七年级男生体质健康情况，随机抽取若干名男生进行测试，测试结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，统计整理数据并绘制图、图两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：
本次接收随机抽样调查的男生人数为______ 人，扇形统计图中“良好”所对应的圆心角的度数为______ ；
补全条形统计图中“优秀”的空缺部分；
若该校七年级共有男生人，请估计全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数．

23.  本小题分
已知，关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解．
求这两个方程组的相同解：
求的值．

24.  本小题分
如图，在中，是的高，点为边上的一点，连接．
当为边上的中线时，若，，求的面积．
当为的角平分线时，若，，求的度数．

25.  本小题分
临近期末某班需要购买一些奖品，经过市场考察得知，购买个钢笔礼盒和个水杯需要元，购买个钢笔礼盒和个水杯需要元．
你能求出每个钢笔礼盒、每个水杯各多少元？用二元一次方程组解
根据班级情况，需购进钢笔礼盒和水杯共个，现要求钢笔礼盒的个数不大于购进水杯的倍，总费用不超过元，请你通过计算求出有几种购买方案？哪种方案费用最低？

26.  本小题分
如图，有一副直角三角板如图放置其中，，，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转．
在图中， ______ ；
如图，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，转速为秒，转动一周三角板就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有成立；
如图，在图基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，当转到与位置重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，求旋转的时间是多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最小的实数是，
故选：．
先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
本题考查了实数的大小比较．解题的关键是掌握任意两个实数比较大小的方法．正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

2.【答案】 

【解析】解：没有平方根，且，
，
则的立方根为，
故选：．
根据平方根的性质求得的值，然后根据立方根的定义求得其立方根即可．
本题考查平方根的性质及立方根的定义，结合已知条件确定的值是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故A选项错误，不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B选项错误，不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C选项错误，不符合题意；
D、是轴对称图形，故D选项正确，符合题意；
故选：．
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据定义，结合图形即可求解．
本题主要考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的概念，数形结合是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：用加减消元法解方程组时，要消去，可以将．
故选：．
方程组利用加减消元法变形，判断即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项不符合题意；
C.，
，
，故本选项不符合题意；
D.当时，，故本选项符合题意．
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
此题主要考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．

6.【答案】 

【解析】解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等，是真命题；
两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；
两个无理数的和不一定是无理数，原命题是假命题；
坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，是真命题；
故选：．
根据无理数、平行线的判定和性质判断即可．
此题主要考查了命题与定理，熟练根据无理数、平行线的判定和性质得出是解题关键．

7.【答案】 

【解析】解：依题意，得．
故选：．
根据车的辆数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，由平移的性质可知，，


，
故选：．
根据平移的性质得出，再根据进行计算即可．
本题考查平移的性质，掌握平移前后对应线段平行且相等是正确解答的前提．

9.【答案】 

【解析】解：由，得，
由，得，
不等式组有且只有个奇数解，
这三个奇数解是，，，
，
解得，
由方程，可得，
方程的解为非负整数，
且为整数，
解得且为整数，
由上可得，且为整数，
满足条件的整数的值为，，，
，
符合条件的所有整数的积为，
故选：．
根据不等式组有且只有个奇数解，且关于的方程的解为非负整数，可以求得满足条件的整数的值，然后求出它们的积即可．
本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程，解答本题的关键是求出的取值范围．

10.【答案】 

【解析】解：由题意依次计算可得：，，，，，，，，，，
根据个一循环的规律可得：，，，因此，
所以、、正确，
故选：．
根据依次进行作差、求和的交替操作可判断即可，根据，，，进而得出，即可判定．
本题考查整式的加减，正确理解题意和熟练进行整式的运算是关键．

11.【答案】 

【解析】解：“的倍与的差是正数”用不等式表示为，
故答案为：．
“的倍”即，“与的差”即，根据正数即“”可得答案．
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．

12.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
把代入方程得出，再求出方程的解即可．
本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键，注意：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫方程的解．

13.【答案】 

【解析】解：设，，则，
比多，
，
，
可得，
故答案为．
根据翻折的性质，进行求解即可．
本题考查了折叠问题，属于中档题．

14.【答案】 

【解析】解：关于，的二元一次方程组的解互为相反数，
，
代入，得：，
解得：，
，
将：，代入，得：，
解得：；
故答案为：．
根据方程的组的解互为相反数，得到，代入，求出，的值，即可求出的值．
本题考查已知方程组的解的情况求参数．解题的关键是求出，的值．

15.【答案】  或 

【解析】解：点在轴负半轴上，且到轴的距离是，
点的坐标是．
与轴平行，
点与点的纵坐标相同，即纵坐标为；
又点与点之间距离是，
点的坐标是或．
故答案为：；或．
由轴上的点横坐标为及点在轴负半轴上，且到轴的距离是，可直接得出点的坐标；由平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，可得点的纵坐标，再根据点与点之间距离是，可得答案．
本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形性质，属于基础知识的考查，比较简单．

16.【答案】 

【解析】解：设这首歌的歌词的字数的十位数字为，个位数字为，
由题意得：，
解得：，
即这首歌的歌词的字数为，
故答案为：．
设这首歌的歌词的字数的十位数字为，个位数字为，由题意：十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：由得．
不等式组的解集为，
，．
．
．
故答案为：．
先解一元一次不等式组求得与，再代入求值．
本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：正整数为，
则交换其个位上的数与十位上的数得到的新数，
为顺顺数，
，
即，
，
，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
或或或，
，，，，
的最大值为．
故答案为：．
根据题意列出、的方程，求出符合条件的整数解，进而所在的的值，再确定其最大值便可．
此题主要考查了新定义的理解和应用，不定解方程的应用，弄清题中“最佳分解”与“顺顺数”的定义是解本题的关键．

19.【答案】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：；
，
得：，即，
把代入得：，
则方程组的解为． 

【解析】方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解；
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

20.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
所以，原不等式组的解集是，
在数轴上表示为：

故不等式组的非负整数解为和． 

【解析】先求出不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，最后求出该不等式组的非负整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解等知识点，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．

21.【答案】解：由题意得，点的坐标为，点的坐标为；
如图所示，即为所求．
 

【解析】根据坐标系中点的位置求解即可；
根据点坐标平移的特点先确定、、对应点、、的位置，然后顺次连接、、即可．
本题主要考查了坐标与图形变化平移，画平移图形，写出坐标系中点的坐标等等，熟知点坐标的平移特点是解题的关键．

22.【答案】；；
“优秀”的人数，
如图，
达到“良好”的男生人数：人，
答：全年级男生体质健康状况达到“良好”的人数为人． 

【解析】解：人，
；
故答案为；；
见答案；
见答案．
合格人数除以所占的百分比即可得出所调查的男生总人数，用良好的人数除以总人数再乘以即可得出“良好”所对应的圆心角的度数；
用即可；
用乘以达到良好所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图可以得到各部分所占比例．

23.【答案】解：由题意得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为：，
这两个方程组的解为：；
把代入中可得：，
化简得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，



，
的值为． 

【解析】根据题意联立，求出，的值；
把代入中进行计算，求出，的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握同解方程组是解题的关键．

24.【答案】解：为边上的中线，
，
；
，，
，
为的角平分线，
，
是的高，
，
，
，
． 

【解析】先根据三角形中线的定义得到，然后利用三角形面积公式计算；
先根据三角形内角和计算出，再利用角平分线的定义得到，接着利用互余计算出，然后计算即可．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了三角形的角平分线、中线和高．

25.【答案】解：设每个钢笔礼盒元，每个水杯元，
根据题意得，，
解得：，
每个钢笔礼盒元，每个水杯元．
设购进钢笔礼盒个，则购进水杯个，
根据题意得，，
由得，，
由得，，
，
即可取的值有，，，，，，
方案一：当购进钢笔礼盒个，则购进水杯个时，总费用：元；
方案二：当购进钢笔礼盒个，则购进水杯个时，总费用：元；
方案三：当购进钢笔礼盒个，则购进水杯个时，总费用：元；
方案四：当购进钢笔礼盒个，则购进水杯个时，总费用：元；
方案五：当购进钢笔礼盒个，则购进水杯个时，总费用：元；
方案三：当购进钢笔礼盒个，则购进水杯个时，总费用：元；
有种购买方案，购进钢笔礼盒个，购进水杯个费用最低． 

【解析】设每个钢笔礼盒元，每个水杯元，根据“购买个钢笔礼盒和个水杯需要元，购买个钢笔礼盒和个水杯需要元”即可得出关于、的二元一次方程组，求解即可得到结果．
设购进钢笔礼盒个，则购进水杯个，根据题意得出关于的一元一次方程组，解出方程组得到可取的值，再依次计算不同值的总费用，对比即可得到结果．
本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次方程组的应用．解题关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确地列出一元一次不等式组．

26.【答案】 

【解析】解：，，
，
故答案为：；
如图，此时，成立，
，，
，
，
，
，
转速为秒，
旋转时间为秒；
如图，，
，，
，
，
，
，
三角板绕点逆时针旋转的角度为，
转速为秒，
旋转时间为秒，
综上所述，当旋转时间为或秒时，成立；
设旋转的时间为秒，由题知，，，
，
，
当，即，
解得：，
当，求旋转的时间是秒．
根据平角的定义即可得到结论；
如图，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论；如图，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和得到，求得，于是得到结论；
设旋转的时间为秒，由题知，，，根据周角的定义得到，列方程即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键．