2021年辽宁省沈阳市中考数学真题（解析版）

2021年辽宁省沈阳市中考数学真题

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）

1. 9的相反数是（    ）

A.  B.  C. 9 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．

【详解】解：9的相反数是，

故选：．

【点睛】本题主要考查了相反数，解题的关键是掌握相反数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数）的概念．

2. 下图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用主视图的定义进行判断即可，即从几何体的正面观察得出视图．

【详解】解：从几何体的正面看，底层是四个小正方形，上层的左端是一个小正方形．

故选：．

【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察的角度是解题的关键．画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．

3. 据报道，截至2021年5月24日16时，沈阳市新冠疫苗累计接种3270000剂次，将数据3270000用科学记数法表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．

【详解】解：．

故选：．

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．

4. 下列计算结果正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】依据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及积的乘方法则进行判断即可得出结论．

【详解】解：．，故本选项错误；

．，故本选项正确；

．，故本选项错误；

．，故本选项错误；

故选：．

【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及积的乘方法则的运用，关键是掌握合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．

5. 如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数是（    ）

A. 70° B. 100° C. 110° D. 120°

【答案】C

【解析】

分析】由已知条件，可得，由平角的性质可得代入计算即可得出答案．

【详解】解：如图，

，

，

，

．

故选：．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键．

6. 信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/），数据整理如下：15，17，23，15，17，17，19，21，21，18，对于这组数据，下列说法正确的是（    ）

A. 众数是17 B. 众数是15 C. 中位数是17 D. 中位数是18

【答案】A

【解析】

【分析】根据中位数、众数的概念求解可得．

【详解】解：以上数据重新排列为：15，15，17，17，17，18，19，21，21，23，

众数为17、中位数为，

故选：．

【点睛】本题考查的是众数和中位数的概念；熟练掌握中位数、众数的概念是解题的关键．

7. 如图，与位似，位似中心是点O，若，则与的周长比是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据位似图形的概念得到△，，进而得出△，根据相似三角形的性质解答即可．

【详解】解：与△位似，

△，，

△，

，

与△的周长比为，

故选：．

【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是解题的关键．

8. 一次函数的图象不经过

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根据一次函数的图像与性质解答即可.

【详解】∵-3<0，1>0，

∴图像经过一、二、四象限，不经过第三象限.

故选C.

【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0，y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0，y=kx+b的图象在二、三、四象限．

9. 下列说法正确是（    ）

A. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数

B. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件

C. 了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式

D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则甲组数据更稳定

【答案】C

【解析】

【分析】依据随机事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论．

【详解】解：．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是奇数，故原说法错误，不合题意；

．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故原说法错误，不合题意；

．了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，说法正确，符合题意；

．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定，故原说法错误，不合题意；

故选：．

【点睛】本题主要考查了随机事件、抽样调查以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

10. 如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】过点作于，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据正弦的定义求出，根据弧长公式计算求解．

【详解】解：过点作于，

则，

由圆周角定理得：，

，

，

，

故选：．

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，合计18分）

11. 分解因式：ax2+2ax+a=____________．

【答案】a（x+1）2

【解析】

【详解】ax2+2ax+a

=a（x2+2x+1）

=a（x+1）2．

12. 不等式组的解集是__________．

【答案】

【解析】

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

则不等式组的解集为，

故答案为：．

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

13. 化简：__________．

【答案】1

【解析】

【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的．

【详解】解：

，

故答案为：1．

【点睛】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

14. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图象上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于点N．若四边形的面积为12，则k的值是__________．

【答案】-12

【解析】

【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质确定的值．

【详解】解：四边形的面积为12，

，

反比例函数图象在二四象限，

，

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数函数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．

15. 某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．

【答案】11

【解析】

【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．

【详解】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，

则

，

所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，

故答案为11．

【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．

16. 如图，中，，，．四边形是正方形，点D是直线上一点，且．P是线段上一点，且．过点P作直线l于平行，分别交，于点G，H，则的长是__________．

【答案】或．

【解析】

【分析】结合勾股定理逆定理判断是直角三角形，通过证明，，然后利用相似三角形的性质求解，然后分当点位于点左侧时，当点位于点右侧时，进行分类讨论．

【详解】解：中，，，，

，，

，

为直角三角形，

①当点位于点左侧时，如图：

设直线交于点，

，

，，

又四边形是正方形，且，

，，

即，

解得：，

，，

，

，

，

解得：，

，

，

，

，

，

，

，

解得：；

②当点位于点右侧时，如图：

与①同理，此时，

，

解得：，

综上，的长为或，

故答案为：或．

【点睛】本题考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，证明出，特别注意分类思想的运用是解题关键．

三、解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）

17. 计算：．

【答案】4

【解析】

【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．

【详解】解：

．

【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值的化简，掌握特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题关键．

18. 如图，在菱形中，点M，N分别是边，上的点，，．连接，，延长交线段延长线于点E．

（1）求证：；

（2）若，则的长是__________．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

【分析】（1）根据菱形的性质可得，，根据，，可得，利用即可证明；

（2）根据菱形的性质可证明，根据相似的性质可求得的长度，进而可求．

【详解】解：（1）证明：四边形为菱形，

，，

，，

，

在和中，

，

，

（2）四边形为菱形，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，通过菱形的性质得到是关键．

19. 某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同．

（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是__________．

（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．

【详解】解：（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是，

故答案为：；

（2）列表如下：

由表可知，共有9种等可能结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结果，

所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为．

点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

四、解答题（每小题8分，共16分）

20. 学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）在这次调查中一共抽取了__________名学生；

（2）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；

（3）扇形统计图中，D等级对应的圆心角度数是__________度；

（4）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级．

【答案】（1）80；（2）见解析；（3）36；（4）600名

【解析】

【分析】（1）根据等级的人数以及所占的百分比即可求出本次调查中共抽取的学生数；

（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整；

（3）根据等级的人数以及抽取的学生数计算出等级所对应的扇形圆心角的度数；

（4）求出等级所占整体的百分比即可求出相应的人数．

【详解】解：（1）（名，

故答案为：80；

（2）等级的学生为：（名，

补全条形图如下，

（3）等级所对应的扇形圆心角的度数为：；

（4）（名，

答：估计该校2000学生中有600名学生的成绩评定为等级．

【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图，用样本估计总体，理解两个统计图中数量关系是解决问题的关键．

21. 某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？

【答案】增加了3行3列．

【解析】

【分析】设增加了行，则增加的列数为，用增加后的总人数原队伍的总人数列出方程求解即可．

【详解】解：设增加了行，则增加的列数为，

根据题意，得：，

整理，得：，

解得，（舍，

答：增加了3行3列．

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．

五、解答题（本题10分）

22. 如图，是的直径，与交于点A，点E是半径上一点（点E不与点O，A重合）．连接交于点C，连接，．若，．

（1）求证：是的切线．

（2）若，，则的长是__________．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）根据圆周角定理得到，在利用等腰三角形的性质以及等量代换可得，进而得出结论；

（2）根据等腰三角形的判定可得，再根据勾股定理和相似三角形求出答案即可．

【详解】解：（1）是的直径，

，

．

又，

，

又，

，

即，

是的切线；

（2）由（1）可得，

，

，

，

，

在中，由勾股定理得，

，

，，

，

，

即，

解得．

【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理以及相似三角形，掌握切线的判定方法和圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解决问题的前提．

六、解答题（本题10分）

23. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线经过点，与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段平行于x轴，交直线于点D，连接，．

（1）填空： __________．点A的坐标是（__________，__________）；

（2）求证：四边形是平行四边形；

（3）动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒．

①当时，的面积是__________．

②当点P，Q运动至四边形为矩形时，请直接写出此时t的值．

【答案】（1），5，0；（2）见解析；（3）①12；②或．

【解析】

【分析】（1）代入点坐标即可得出值确定直线的解析式，进而求出点坐标即可；

（2）求出点坐标，根据，，即可证四边形是平行四边形；

（3）①作于，设出点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积；

②根据对角线相等确定的长度，再根据、的位置分情况计算出值即可．

【详解】解：（1）直线经过点，

，

解得，

即直线的解析式为，

当时，，

，

（2）线段平行于轴，

点的纵坐标与点一样，

又点在直线上，

当时，，

即，

，

，

，

又，

四边形是平行四边形；

（3）①作于，

点在直线上，

设点的坐标为，

，，

由勾股定理，得，

即，

整理得或8（舍去），

，

，

当时，，

，

②，

当时，，

当时，，

当点，运动至四边形为矩形时，，

，

当时，，

解得，

当时，，

解得，

综上，当点，运动至四边形为矩形时的值为或．

【点睛】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．

七、解答题（本题12分）

24. 在中，，中，（），，，，点B，C，E不共线，点P为直线上一点，且．

（1）如图1，点D在线段延长线上，则________，________，（用含代数式表示）；

（2）如图2，点A，E在直线同侧，求证：平分；

（3）若，，将图3中的绕点C按顺时针方向旋转，当时，直线交于点G，点M是中点，请直接写出的长．

【答案】（1），；（2）见解析；（3）的长为或．

【解析】

【分析】（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可．

（2）如图2中，连接．证明，可得结论．

（3）分两种情形：如图中，设交于．图中，设交于，当时，利用三角形的中位线定理，可得，求出，可得结论．

详解】（1）解：如图1中，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

（2）证明：如图2中，连接．

，，

，，

，

，

，

平分．

（3）解：如图中，设交于．

，，

是等腰直角三角形，

，，

垂直平分线段，

，

，

，

，

，是等边三角形，

，

，

，

，

，，

，

，

，

．

如图中，设交于，当时，同法可证．

，，

，

，

，，

，

，

，

，

综上所述，的长为或．

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形的性质解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

八、解答题（本题12分）

25. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，拋物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是．拋物线与y轴交于点，点P是拋物线的顶点，连接．

（1）求拋物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．

（2）直线与拋物线对称轴交于点D，点Q为直线上一动点．

①当的面积等于面积的2倍时，求点Q的坐标；

②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于，直线交直线l于点F，点G在直线上，且时，请直接写出的长．

【答案】（1），顶点坐标为（1，4）；（2）（2，1）或；②或．

【解析】

【分析】（1）将和代入利用系数法求函数解析式，然后将一般式化为顶点式求顶点坐标；

（2）①求出的面积，设利用求得；

②利用列出方程，求出点的坐标，根据联立直线和的关系式，求出的坐标，从而求得．

【详解】解（1）由题意得，，

，

，

．

（2）①如图1，

作于，

，，

直线，

，可设，

，

，

，

或．

或．

②如图2，

设，

由得，，

化简，得，

，，

，，，

作于，

，

，

，

即：，

，

，，

设直线是：，

，解得

，

由，解得

，

，

，

综上，的长为或．

【点睛】本题考查了二次函数，一次函数图象和性质及相似三角形等知识，解决问题的关键将点的坐标化成长度，转化成图形的相似等知识．