北京市2021年中考数学试题（原卷版）

2021年北京市中考数学试卷

一､选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ）

A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱

2. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 如图，点在直线上，．若，则的大小为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 下列多边形中，内角和最大的是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知．若为整数且，则的值为（    ）

A. 43 B. 44 C. 45 D. 46

8. 如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（    ）

A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 反比例函数关系，二次函数关系

C. 一次函数关系，反比例函数关系 D. 反比例函数关系，一次函数关系

二､填空题（共16分，每题2分）

9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______________．

10. 分解因式：______________．

11. 方程的解为______________．

12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为______________．

13. 如图，是的切线，是切点．若，则______________．

14. 如图，在矩形中，点分别在上，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是______________（写出一个即可）．

15. 有甲､乙两组数据，如表所示：

甲､乙两组数据方差分别为，则______________（填“＞”，“＜”或“＝”）．

16. 某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为______________．

三､解答题（共68分，第17－20题，每题5分，第21－22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程．

17. 计算：．

18. 解不等式组：

19. 已知，求代数式的值．

20. 《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．

证明：在中，______________，是的中点，

（______________）（填推理的依据）．

∵直线表示的方向为东西方向，

∴直线表示方向为南北方向．

21. 已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．

22. 如图，在四边形中，，点在上，，垂足为．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若平分，求和的长．

23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．

24. 如图，是的外接圆，是的直径，于点．

（1）求证：；

（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．

25. 为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息．

．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：）：

．甲城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8

．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入数据的平均数､中位数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中的值；

（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．比较的大小，并说明理由；

（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．

26. 在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．

（1）若，求该抛物线的对称轴；

（2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．

27. 如图，在中，为的中点，点在上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．

（1）比较与大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明；

（2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．

（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________；

（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；

（3）在中，．若是以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．