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2024届高考数学一轮复习第2章第2节函数的单调性与最值课件
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这是一份2024届高考数学一轮复习第2章第2节函数的单调性与最值课件，共43页。PPT课件主要包含了增函数，减函数，单调递增，单调递减，区间D，函数的最值，fx≤M，fx≥M等内容，欢迎下载使用。
考试要求：1．借助函数图象，会用数学语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义．2．理解单调性、最值及其几何意义．
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现1．单调递增、单调递减一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1
3．单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上_________或_________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，______叫做函数y＝f(x)的单调区间．
1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能随意取并集．例如，函数f(x)在区间(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是单调递减.
3．函数y＝x2－6x＋6在区间[2，4]上( )A．单调递减 B．单调递增C．先单调递减再单调递增 D．先单调递增再单调递减
C 解析：画出函数y＝x2－6x＋6在区间[2，4]上图象，观察图象可知，该函数在[2，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增．
关键能力·研析考点强“四翼”
考点1 确定函数的单调性(区间)——基础性
考点2 求函数的最值(值域)——综合性
考点3 函数单调性的应用——应用性
2．若函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是( )A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(4，＋∞)D．(－∞，4)B 解析：因为f(x)＝ax＋1在R上单调递减，所以a<0. 而g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a. 因为a<0，所以g(x)的单调递增区间是(－∞，2)．
3．函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)D 解析：函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1.由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．
1．解决这类问题要优先考虑用函数图象法解决，二是可以利用定义法判断，也可以利用导函数与函数单调性的关系求解．2．有些题目，如第3题还可以利用复合函数的单调性求解．
例1 (1)若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为( )A．－3B．－2C．－1D．1B 解析：因为f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上单调递增，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2.故选B.
求函数的最值(值域)的5种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，得出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5].(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.因为x∈[－5，5]，所以x＝1时，f(x)取最小值1，x＝－5时，f(x)取最大值37.(2)由题意可知f(x)的对称轴为x＝－a.因为f(x)在[－5，5]上是单调函数，所以－a≤－5，或－a≥5，所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
考向1 比较函数值的大小例2 (1)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．
利用函数的单调性比较函数值或自变量的大小比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较．对于选择题、填空题通常选用数形结合的思想方法进行求解．
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x1≠x2时，有[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0恒成立．若f(3x＋1)＋f(2)>0，则x的取值范围是_________．(－∞，－1) 解析：根据已知条件，当x1≠x2时，有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0恒成立，所以函数f(x)是定义在R上的减函数．又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以－f(2)＝f(－2)，故f(3x＋1)＋f(2)>0等价于f(3x＋1)>－f(2)＝f(－2)，所以3x＋1<－2，即x<－1.
解函数不等式的方法1．若f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，则f(x1)x2)．2．在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可通过“脱去”函数符号“f”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行．3．若不等式一边没有“f”，而是常数，应将常数转化为函数值．
利用函数的单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)需注意，若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小．
考试要求：1．借助函数图象，会用数学语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义．2．理解单调性、最值及其几何意义．
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现1．单调递增、单调递减一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1
3．单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上_________或_________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，______叫做函数y＝f(x)的单调区间．
1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能随意取并集．例如，函数f(x)在区间(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是单调递减.
3．函数y＝x2－6x＋6在区间[2，4]上( )A．单调递减 B．单调递增C．先单调递减再单调递增 D．先单调递增再单调递减
C 解析：画出函数y＝x2－6x＋6在区间[2，4]上图象，观察图象可知，该函数在[2，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增．
关键能力·研析考点强“四翼”
考点1 确定函数的单调性(区间)——基础性
考点2 求函数的最值(值域)——综合性
考点3 函数单调性的应用——应用性
2．若函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是( )A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(4，＋∞)D．(－∞，4)B 解析：因为f(x)＝ax＋1在R上单调递减，所以a<0. 而g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a. 因为a<0，所以g(x)的单调递增区间是(－∞，2)．
3．函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)D 解析：函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1.由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．
1．解决这类问题要优先考虑用函数图象法解决，二是可以利用定义法判断，也可以利用导函数与函数单调性的关系求解．2．有些题目，如第3题还可以利用复合函数的单调性求解．
例1 (1)若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为( )A．－3B．－2C．－1D．1B 解析：因为f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上单调递增，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2.故选B.
求函数的最值(值域)的5种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，得出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5].(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.因为x∈[－5，5]，所以x＝1时，f(x)取最小值1，x＝－5时，f(x)取最大值37.(2)由题意可知f(x)的对称轴为x＝－a.因为f(x)在[－5，5]上是单调函数，所以－a≤－5，或－a≥5，所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
考向1 比较函数值的大小例2 (1)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)
利用函数的单调性比较函数值或自变量的大小比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较．对于选择题、填空题通常选用数形结合的思想方法进行求解．
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x1≠x2时，有[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0恒成立．若f(3x＋1)＋f(2)>0，则x的取值范围是_________．(－∞，－1) 解析：根据已知条件，当x1≠x2时，有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0恒成立，所以函数f(x)是定义在R上的减函数．又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以－f(2)＝f(－2)，故f(3x＋1)＋f(2)>0等价于f(3x＋1)>－f(2)＝f(－2)，所以3x＋1<－2，即x<－1.
解函数不等式的方法1．若f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，则f(x1)
利用函数的单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)需注意，若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小．
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