2023-2024学年河南省信阳市息县思源实验学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省信阳市息县思源实验学校九年级第一学期开学数学试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）

A．﹣2 B．0 C．﹣2或2 D．2

2．设A（1，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）

A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2

3．函数y＝﹣2x2先向右平移3个单位，再向下平移7个单位，所得函数解析式是（　　）

A．y＝﹣2（x﹣3）2+7 B．y＝﹣2（x﹣3）2﹣7 

C．y＝﹣2（x+3）2+7 D．y＝﹣2（x+3）2﹣7

4．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息420条，则可列方程（　　）

A． B．x（x﹣1）＝420 

C． D．x（x+1）＝420

5．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（　　）

A．图象的开口向上 

B．图象的顶点坐标是（1，3） 

C．当x＜1时，y随x的增大而增大 

D．图象与x轴有唯一交点

6．抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，那么它的顶点坐标是（　　）

A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）

7．某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件331万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）

A．100（1+x）2＝331 

B．100+100（1+x）+100（1+x）2＝331 

C．100（1+2x）＝331 

D．100+100（1+x）+100（1+2x）＝331

8．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k≤1 D．k≤1且k≠0

9．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题（每题3分，共15分）

11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　      　．

12．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2022的值为 　       　．

13．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝8t﹣2t2，汽车刹车后停下来前进的距离是　   　米．

14．已知方程（x2+y2﹣1）2＝16，则x2+y2的值为 　   　．

15．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是 　           　．

三、解答题（共75分）

16．用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）x2﹣6x+3＝0；

（2）2（x+1）2＝x2﹣1．

17．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．

18．某菜农每年的种植成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为5万元，可变成本逐年增长．已知该菜农第1年的可变成本为2.7万元，如果该菜农第3年的种植成本为8.888万元，求可变成本每年平均增长的百分率．

19．已知一个二次函数的对称轴是直线x＝1，图象最低点P的纵坐标是﹣8，图象过（﹣2，10）且与x轴交于A、B，与y轴交于C．求：

（1）这个二次函数的解析式；

（2）△ABC的面积．

20．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，当所围矩形猪舍的长，宽分别为多少米时，猪舍面积为96m2？

21．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．

（1）求w与x之间的函数关系式．

（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

22．周末，小明陪爸爸去打高尔夫求，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线．小明测得小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的几组值后，发现h与t满足的函数关系式是h＝20t﹣5t2．

（1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？

（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？

23．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（﹣1，0），直线y＝﹣x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，与二次函数图象的对称轴交于点D，其中A点的坐标为（﹣3，4），B点在y轴上．

（1）求m的值及这个二次函数的关系式；

（2）求△ABC的面积；

（3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，B，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（每题3分，共30分）

1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）

A．﹣2 B．0 C．﹣2或2 D．2

【分析】根据一元二次方程的定义得出m+2≠0且m2﹣2＝2，再求出m即可．

解：∵方程是关于x的一元二次方程，

∴m+2≠0且m2﹣2＝2，

解得m＝2．

故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m+2≠0且m2﹣2＝2是解此题的关键．

2．设A（1，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）

A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2

【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数的性质即可得到结论．

解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，

∴B（﹣2，y2）关于对称轴的对称点为（0，y2），

∵﹣1＜0＜1＜2，

∴y3＜y1＜y2．

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．

3．函数y＝﹣2x2先向右平移3个单位，再向下平移7个单位，所得函数解析式是（　　）

A．y＝﹣2（x﹣3）2+7 B．y＝﹣2（x﹣3）2﹣7 

C．y＝﹣2（x+3）2+7 D．y＝﹣2（x+3）2﹣7

【分析】先确定函数y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（3，﹣7），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

解：函数y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移3个单位，再向下平移7个单位所得对应点的坐标为（3，﹣7），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣3）2﹣7．

故选：B．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

4．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息420条，则可列方程（　　）

A． B．x（x﹣1）＝420 

C． D．x（x+1）＝420

【分析】利用发信息的总数＝QQ群里好友的人数×（QQ群里好友的人数﹣1），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．

解：根据题意得：x（x﹣1）＝420．

故选：B．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

5．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（　　）

A．图象的开口向上 

B．图象的顶点坐标是（1，3） 

C．当x＜1时，y随x的增大而增大 

D．图象与x轴有唯一交点

【分析】先利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+5，可根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程﹣x2+2x+4＝0可对D进行判断．

解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，

∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，

令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，解方程解得x1＝1+，x2＝1﹣，

∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，

∴抛物线与x轴有两个交点．

故选：C．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程根的判断．也考查了二次函数的性质．

6．抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，那么它的顶点坐标是（　　）

A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）

【分析】首先根据对称轴是直线x＝3，从而求得m的值，然后根据顶点式直接写出顶点坐标；

解：∵抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，

∴m＝3，

∴解析式y＝（x﹣3）2+1，

∴顶点坐标为：（3，1），

故选：A．

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键，难度适中．

7．某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件331万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）

A．100（1+x）2＝331 

B．100+100（1+x）+100（1+x）2＝331 

C．100（1+2x）＝331 

D．100+100（1+x）+100（1+2x）＝331

【分析】根据该厂四月份的产量及五、六月份平均每月的增长率，即可得出该厂五月份生产零件100（1+x）万个，六月份生产零件100（1+x）2万个，再结合该厂第二季度共生产零件331万个，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

解：∵该厂四月份生产零件100万个，且该厂五、六月份平均每月的增长率为x，

∴该厂五月份生产零件100（1+x）万个，六月份生产零件100（1+x）2万个，

又∵该厂第二季度共生产零件331万个，

∴100+100（1+x）+100（1+x）2＝331．

故选：B．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k≤1 D．k≤1且k≠0

【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．

解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，

解得k≥﹣1且k≠0．

故选：A．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

9．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．

解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，

∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．

故选：D．

【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＞0、b＞0、c＜0是解题的关键．

10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵﹣＝﹣2，

∴b＝4a，ab＞0，

∴b﹣4a＝0，

∴①错误，④正确，

∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点，

∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，

∴②⑤正确，

∵当x＝﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0，

∴③正确，

故正确的有②③④⑤．

故选：C．

【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．

二、填空题（每题3分，共15分）

11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＜1　．

【分析】根据根的判别式的意义得到（﹣2）2﹣4k＞0，然后解不等式即可．

解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×k＞0，

解得k＜1．

故答案为：k＜1．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．

12．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2022的值为 　2023　．

【分析】将（m，0）代入函数解析式可得m2﹣m的值，进而求解．

解：将（m，0）代入y＝x2﹣x﹣1得m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1，

∴m2﹣m+2022＝1+2023，

故答案为：2023．

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．

13．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝8t﹣2t2，汽车刹车后停下来前进的距离是　8　米．

【分析】直接利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．

解：s＝8t﹣2t2

＝﹣2（t2﹣4t）

＝﹣2（t﹣2）2+8，

故当t＝2时，s最大为8m．

故答案为：8．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确应用配方法是解题关键．

14．已知方程（x2+y2﹣1）2＝16，则x2+y2的值为 　5　．

【分析】根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．

解：设x2+y2＝a，原方程等价于（a﹣1）2＝16．

解得a﹣1＝4，a﹣1＝﹣4（不符合题意，舍），

x2+y2＝5，

故答案为：5．

【点评】本题考查了换元法解一元一次方程，利用x2+y2＝a得出关于a的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数．

15．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是 　x＝3或x＝﹣1　．

【分析】利用“方程的解即为对应函数与x轴的交点横坐标”和二次函数的对称性求解两根．

解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），

∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x＝3或x＝﹣1．

故答案为：x＝3或x＝﹣1．

【点评】本题考查了函数与方程的联系，即“函数与x轴的交点横坐标就是y＝0时的方程的解”，同时也考查了二次函数的轴对称性．

三、解答题（共75分）

16．用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）x2﹣6x+3＝0；

（2）2（x+1）2＝x2﹣1．

【分析】（1）利用配方法得到（x﹣3）2＝6，然后利用直接开平方法解方程；

（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x+1＝0或2x+2﹣x+1＝0，然后解两个一次方程即可．

解：（1）x2﹣6x+3＝0，

x2﹣6x＝﹣3，

x2﹣6x+9＝6，

（x﹣3）2＝6，

x﹣3＝±，

所以x1＝3+，x2＝3﹣；

（2）2（x+1）2＝x2﹣1．

2（x+1）2﹣（x+1）（x﹣1）＝0，

（x+1）（2x+2﹣x+1）＝0，

x+1＝0或2x+2﹣x+1＝0，

所以x1＝﹣1，x2＝﹣3．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．

17．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．

【分析】（1）根据方程解的定义把x＝﹣1代入方程得到（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，整理得a﹣b＝0，即a＝b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；

（2）根据判别式的意义得到Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，整理得a2＝b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．

解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：

∵x＝﹣1是方程的根，

∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，

∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，

∴a﹣b＝0，

∴a＝b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）△ABC是直角三角形．理由如下：

∵方程有两个相等的实数根，

∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，

∴4b2﹣4a2+4c2＝0，

∴a2＝b2+c2，

∴△ABC是直角三角形．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．

18．某菜农每年的种植成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为5万元，可变成本逐年增长．已知该菜农第1年的可变成本为2.7万元，如果该菜农第3年的种植成本为8.888万元，求可变成本每年平均增长的百分率．

【分析】设可变成本平均每年增长的百分率为x，根据该菜农第3年的种植成本为8.888万元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

解：设可变成本平均每年增长的百分率为x，

依题意得：5+2.7（1+x）2＝8.888，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：可变成本平均每年增长的百分率为20%．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

19．已知一个二次函数的对称轴是直线x＝1，图象最低点P的纵坐标是﹣8，图象过（﹣2，10）且与x轴交于A、B，与y轴交于C．求：

（1）这个二次函数的解析式；

（2）△ABC的面积．

【分析】（1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣8，然后把（﹣2，10）代入求出a即可；

（2）根据坐标轴上点的坐标特征求出A、B、C三点坐标，然后利用三角形面积公式求解．

解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣8，

把（﹣2，10）代入得a•（﹣2﹣1）2﹣8＝10，

解得：a＝2，

所以抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2﹣8；

（2）当x＝0时，y＝2（x﹣1）2﹣8＝﹣6，则C（0，﹣6），

当y＝0时，2（x﹣1）2﹣8＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3，

则A（﹣1，0），B（3，0），

所以△ABC的面积＝×（3+1）×6＝12．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

20．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，当所围矩形猪舍的长，宽分别为多少米时，猪舍面积为96m2？

【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（27﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．

解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，

可以得出平行于墙的一边的长为（27﹣2x+1）m，

由题意得x（27﹣2x+1）＝96，

解得：x1＝6，x2＝8．

当x＝6时，27﹣2x+1＝16＞15（舍去），

当x＝8时，27﹣2x+1＝12．

答：当所围矩形猪舍的长为12m、宽为8m时，猪舍面积为96m2．

【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．

21．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．

（1）求w与x之间的函数关系式．

（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？

【分析】（1）根据销售额＝销售量×销售单价，列出函数关系式；

（2）用配方法将（1）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；

（3）把y＝150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．

解：（1）由题意得出：

w＝（x﹣20）∙y

＝（x﹣20）（﹣2x+80）

＝﹣2x2+120x﹣1600，

故w与x的函数关系式为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；

（2）w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，

∵﹣2＜0，

∴当x＝30时，w有最大值．w最大值为200．

答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．

（3）当w＝150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200＝150．

解得 x1＝25，x2＝35．    

∵35＞28，

∴x2＝35不符合题意，应舍去．  

答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．

【点评】本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．

22．周末，小明陪爸爸去打高尔夫求，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线．小明测得小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的几组值后，发现h与t满足的函数关系式是h＝20t﹣5t2．

（1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？

（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？

【分析】（1）求函数的最大值即可；

（2）把h≥15代入函数关系式，即可求解．

解：（1）h＝20t﹣5t2．

∵﹣5＜0，故h有最大值，

当t＝﹣＝2，此时h的最大值为20，

∴当t＝2s时，最大高度是20m．

（2）令h≥15，则h＝20t﹣5t2≥15，

解得：1≤t≤3，

∴1≤t≤3时，飞行高度不低于15m．

【点评】本题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，将所求的问题对应到函数中的变量，进而求解．

23．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（﹣1，0），直线y＝﹣x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，与二次函数图象的对称轴交于点D，其中A点的坐标为（﹣3，4），B点在y轴上．

（1）求m的值及这个二次函数的关系式；

（2）求△ABC的面积；

（3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，B，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求m的值，利用待定系数法可求抛物线解析式；

（2）先求出D（﹣1，2），然后根据三角形的面积公式即可得到结论；

（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和两点距离公式可求解．

解：（1）∵直线y＝﹣x+m过点A（﹣3，4），

∴4＝3+m，

∴m＝1，

∴y＝﹣x+1，

∴B（0，1），

设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），

由题意可得：，

解得：a＝1，b＝2，

∴抛物线的解析式为y＝x2+2x+1；

（2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+1，

∵直线y＝﹣x+1与二次函数图象的对称轴交于点D，

∵顶点坐标为C（﹣1，0），

∴对称轴为x＝﹣1，

∴设点D（﹣1，y），

∴y＝﹣1×（﹣1）+1＝2，

∴D（﹣1，2），

∴△ABC的面积＝S△ACD+S△BCD＝＝3；

（3）∵顶点坐标为C（﹣1，0），

∴对称轴为x＝﹣1，

∴设点Q（﹣1，y），

又∵B（0，1），点A（﹣3，4），

∴AB2＝18，AQ2＝4+（4﹣y）2，BQ2＝1+（1﹣y）2，

当AB＝AQ时，则18＝4+（4﹣y）2，

∴y＝4±，

∴点Q坐标为（﹣1，4+）或（﹣1，4﹣）；

当AB＝BQ时，则18＝1+（1﹣y）2，

∴y＝1±，

∴点Q坐标为（﹣1，1+）或（﹣1，1﹣）；

当AQ＝BQ时，则4+（4﹣y）2＝1+（1﹣y）2，

∴y＝3，

∴点Q坐标为（﹣1，3）；

综上所述：点Q的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，）．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．