江苏省盐城中学2023-2024学年高二数学上学期8月月考试题（Word版附解析）

高二年级基础性学情检测

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 一条直线过点和，则该直线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求得答案

【详解】设直线的倾斜角为（），

因为直线过点和，且斜率存在，

所以，

因为，所以，

故选：B

2. 已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】复数的乘法运算求解即可.

【详解】，即复数的虚部为2，

故选:.

3. 已知过点和点的直线为l1，. 若，则的值为（    ）

A.  B.

C. 0 D. 8

【答案】A

【解析】

【分析】由平行、垂直直线的斜率关系得出的值.

【详解】因为，所以，解得，又，所以，

解得.所以.

故选：A.

4. 直线按向量平移后得直线，设直线与之间的距离为，则的范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线的方向向量与的位置关系考虑.

【详解】当直线的方向向量与共线时，这时候直线与重合，距离为最短，；

当直线的方向向量与垂直时，这时候直线与平行且距离为最长，.

故选：B.

5. 苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，对数是简化大数运算的有效工具.若一个正整数n的32次方仍是一个20位整数m，则根据下表数据，可知（    ）

A. 3 B. 4 C. 6 D. 7

【答案】B

【解析】

【分析】由题可得，同取以10为底的对数再化简得，查对数表进行估值运算即可求解.

【详解】因为正整数n的32次方是一个20位整数m，所以，

将以上不等式同时取以10为底的对数得，

所以，即，而，

，因为，由选项知

故选：B

6. 若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：如图所示：曲线即 （x-2）2+（y-3）2=4（-1≤y≤3），

表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，

直线与圆相切时，圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，

∴b=1+2，b=1-2

当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=-1

结合图象可得≤b≤3

故答案为C

7. 在三棱锥中，是等腰直角三角形，，且平面，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先证明出，判断出AP为球的直径，求出AP,即可得到半径，求出表面积.

【详解】因为是等腰直角三角形，，所以.

因为平面平面，所以，所以AP为球的直径，且，所以三棱锥的外接球的半径为2，所以三棱锥的外接球的表面积为.

故选:.

8. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】讨论点M在x轴上与不在x轴上两种情况，若点M不在x轴上，构造点K(－2，0)，可以根据三角形的相似性得到，进而得到2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|，最后根据三点共线求出答案.

【详解】①当点M在x轴上时，点M的坐标为(－1，0)或(1，0)．

若点M的坐标为(－1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋；

若点M的坐标为(1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋．

②当点M不在x轴上时，取点K(－2，0)，如图，

连接OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，

所以．

因为∠MOK＝∠AOM，

所以△MOK∽△AOM，则，

所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．

易知|MB|＋|MK|≥|BK|，

所以|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．

因为B(1，1)，K(－2，0)，

所以(2|MA|＋|MB|)min

＝|BK|＝．

又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值为．

故选：C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分.部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 直线的倾斜角的取值范围是

B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件

C. 圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1

D. 经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示.

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A：根据可求倾斜角的取值范围；对B：根据两直线垂直的条件求出的值即可判断；对C：求出圆心到直线的距离，可以找到到直线的距离为1的圆上的点只有3个；对D：对斜率为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用表示.

【详解】对A：直线的倾斜角为，则，

因为，所以，故A正确.

对B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为，

故两直线相互垂直，所以充分性成立，

若“直线与直线互相垂直”，

则，故或，

所以得不到，故必要性不成立，故B错误.

对C：圆心到直线的距离，圆的半径，

作交圆于，则到直线的距离为1，过作交圆于，

则到直线的距离为1，圆上不存在其它的点到直线的距离为1，故C正确.

对D：经过任意两个不同的点的直线：

当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示；

当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示；

当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为也能用此方程表示，故D正确；

故选：ACD.

10. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ）

A. 的最大值是

B. 的最大值是

C. 的最小值是

D. 过点作曲线的切线，则切线方程为

【答案】BD

【解析】

【分析】由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确.

【详解】由圆可化为，可得圆心，半径为，

对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方，

所以它的最大值为，所以A错误；

对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即，

由圆心到直线的距离，解得，

所以的最大值为，所以B正确；

对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，

圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误；

对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上，

则点与圆心连线的斜率为，

根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为，

所以切线方程为，即，所以D正确.

故选：BD.

11. 已知动直线：和：，是两直线的交点，、是两直线和分别过的定点，下列说法正确的是（    ）

A. 点的坐标为 B.

C. 的最大值为10 D. 的轨迹方程为

【答案】BC

【解析】

【分析】根据直线方程求出定点的坐标，判断A，证明直线垂直，判断B，再结合判断C，D.

【详解】直线的方程可化为，

所以直线过定点，

直线的方程可化为，

所以直线过定点，

所以点的坐标为，点的坐标为，所以A错误，

由已知，

所以直线与直线垂直，即，B正确，

因为，所以，

故，

所以，当且仅当时等号成立，

C正确；

因为，故，

设点的坐标为，

则，

化简可得，

又点不是直线的交点，点在圆上，

故点的轨迹为圆除去点，D错误；

故选：BC.

12. 设中角，，所对应的边长度分别为，，，满足，则以下说法中正确的有（    ）

A. 为钝角三角形

B. 若确定，则的面积确定

C.

D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用给定条件结合三角形内角和定理、诱导公式、和角的正弦公式求出，再逐项分析即可作答.

【详解】在中，因，令，则，，

显然，若，即，因，，则，有，同理，，，矛盾，

于是得，即角A，B，C都为锐角，A不正确；

，

即有，亦即：，显然，都小于0，否则，矛盾，

则，即，而，

解得，，于是得，，C正确；

从而有，，

，因此，的内角，，是定值，若确定，即确定，其面积确定，B正确；

，D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设集合，，若，则实数________．

【答案】或4##4或-2

【解析】

【分析】化简集合A、集合B，再结合，确定直线与平行或直线过点，最后求实数a值.

【详解】集合A表示直线，即上的点，但除去点，

集合B表示直线上的点，

当时，

直线与平行或直线过点，

所以或，

解得或．

故答案：或4

14. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率是______.

【答案】

【解析】

【分析】利用古典概型的概率公式求解即可

【详解】解：由题意可得所求概率为

，

故答案为：

15. 已知圆：，圆：，M，N分别为圆和圆上的动点，P为直线l：上的动点，则的最小值为___________

【答案】##

【解析】

【分析】利用配方法求出圆的圆心坐标和半径，利用圆和直线的对称性，结合两圆位置关系进行转化求解即可．

【详解】解：圆的标准方程为，圆，

则圆心坐标，半径为1，圆心坐标，半径为2，

设关于对称的点的坐标为.

所以圆关于对称的点的坐标为圆，半径为1，

由对称性知问题转化为到，的距离之和的最小值，

由图象知当，，三点共线时，的距离最小，

此时最小值为，

故答案为：

16. 已知函数的图象关于对称，且对，，当且时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为________.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数的图象关于对称，得到是偶函数，再根据且时，恒成立，得到在上递减，在上递增，将对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立求解.

【详解】解：因为函数的图象关于对称，

所以函数的图象关于对称，

所以是偶函数，

又因为，当且时，恒成立，

所以在上递减，则在上递增，

因为对任意的恒成立，

所以对任意的恒成立，

所以对任意的恒成立，

当时，对任意的恒成立，

当时， 对任意的恒成立，

令 ，则 ，

当且仅当 ，即 时，等号成立，

所以 ，即 ，

则实数的取值范围为，

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余每小题12分共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知直线.

（1）当直线l在x轴上的截距是它在y上的截距3倍时，求实数a的值：

（2）当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出且，再求出直线l在x轴上的截距，在y上的截距，列出方程，求出a的值；

（2）考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，列出不等式组，求出实数a取值范围.

【小问1详解】

由条件知，且，

在直线l的方程中，令得，令得

∴，解得：，或，

经检验，，均符合要求.

【小问2详解】

当时，l的方程为：.即，此时l不通过第四象限；

当时，直线/的方程为：.

l不通过第四象限，即，解得

综上所述，当直线不通过第四象限时，a的取值范围为

18. 已知圆C：．

（1）若点，求过点的圆的切线方程；

（2）若点为圆的弦的中点，求直线的方程．

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出圆的圆心与半径，分过点的直线的斜率不存和存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径，即可求出切线方程；

（2）根据圆心与弦中点的连线垂直线，可求出直线的斜率，进而求出结果.

【小问1详解】

解：由题意知圆心的坐标为，半径，

当过点的直线的斜率不存在时，方程为．

由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切．

当过点的直线的斜率存在时，设方程为，

即．由题意知，

解得，∴方程为．

故过点的圆的切线方程为或．

【小问2详解】

解：∵圆心，，即，

又，

∴，则.

19. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是正方形，，点E为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）设与的交点为O，连接，则，由平面，可证得平面，则，而由正方形的性质可得，所以由线面垂直的判定可证得结论，

（2）以A为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【小问1详解】

证明：设与的交点为O，连接．

因为底面四边形为正方形，

所以．

又点E为的中点，

所以．

因为平面，平面，

所以，

所以,

因为平面，

所以平面，

又平面，

所以．

因为，平面，

所以平面．

小问2详解】

解：设，则．

以A为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，

可得．

由（1）知，平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量为，

则，取，可得，所以，

设平面与平面所成锐二面角为，

则，

因为，所以，

即平面与平面所成锐二面角的大小为．

20. 为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路进行分流，已知穿城公路自西向东到达城市中心点后转向东北方向（即）.现准备修建一条城市高架道路，在上设一出入口，在上设一出入口.假设高架道路在部分为直线段，且要求市中心与的距离为.

（1）求两站点，之间距离的最小值；

（2）公路段上距离市中心处有一古建筑群，为保护古建筑群，设立一个以为圆心，为半径的圆形保护区.在古建筑群和市中心之间设计入口，使高架道路所在直线不经过保护区（不包括临界状态），求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）过点O作于点E，则，设，则，，然后由，利用三角函数的性质求解.，

（2）以O为原点建立平面直角坐标系，得到圆C的方程为：，设直线AB的方程为：，根据题意由，且求解.

【小问1详解】

如图所示：

过点O作于点E，则，设，

则，，

所以，

而，

，

所以当时，，.

【小问2详解】

以O为原点建立平面直角坐标系，

则圆C的方程为：，

设直线AB的方程为：，，

由题意得：，且，

所以，代入，

化简得：，

解得或（舍去），

因为，所以，

所以，

当时，，又，

所以，

所以.

21. 已知函数

（1）若的最小正周期为，求，的单调区间

（2）将（1）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称.若对于任意的实数，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.

【答案】（1）在上单调递增,在上单调递减.   

（2）

【解析】

【分析】（1）使用降幂扩角公式和辅助角公式将化简为正弦型函数，再使用正弦函数的单调性性质求解；

（2）根据图像平移的知识得到，由为偶函数可得，进一步化简，对于，结合函数图像列不等式组求解.

【小问1详解】

的最小正周期为,

,

,

由,可得，在上单调递增,在上单调递减.

【小问2详解】

将(1)中的函数图像上所有的点向右平移得，，

图像关于对称,

，又，，

，

又对于任意的实数,函数与的公共点个数不少于6个且不多于10个，

设的周期为，则

.

所以正实数的取值范围.

22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，圆与x轴的负半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B．

（1）设直线QA，QB的斜率分别是，求的值：

（2）设AB中点为M，点，若，求的面积．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）由已知可得直线的斜率存在，设出直线方程，与圆的方程联立，由斜率公式结合根与系数的关系即可求得的值；

（2）设中点，由（1）知求得M的坐标，再由，得，把M的坐标代入，即可求得值，然后利用垂径定理求弦长，再求出Q到直线的距离，则的面积可求．

【详解】（1）当直线垂直于轴时，不合题意，设直线方程为，

联立，整理得，

设，则，

所以

即.

（2）设中点，由（1）知，，①

代入直线l的方程得，②

又由，得，

化简得：，

将①②代入上式，可得，

所以圆心到直线l的距离，所以，

Q到直线l的距离，

所以＝．

【点睛】解决直线与圆的位置关系的常见方法：

1、几何法：圆心到直线的距离与圆的半径比较大小，结合圆的性质，判断直线与圆的位置关系，这种方法的特点时计算量较小；

2、代数法：将直线方程与圆的方程联立方程组，转化为一元二次方程，结合一元二次方程解得个数，判断直线与圆的位置关系，特点是计算量较大，更适合直线与圆锥曲线的位置关系的判定问题；