高中数学1.4 充分条件与必要条件学案及答案

§1．4  充分条件与必要条件

导学目标：

1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．

2．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.

（预习教材P17~ P22，回答下列问题）

请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？

（1）若，则

（2）若，则

（3）若或，则

【知识点一】　充分条件与必要条件

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时我们就说，

由p可以推出q，记作        ，并且说，p是q的             ，q是p的              ．

【知识点二】　充要条件

如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有       ，又有      ，就记作       ．

此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．

自我检测1：

（1）根据以上充分必要条件的定义，请给出是的什么条件？

　　①若 ,但，则                             

　　②若，但，则                             

　　③若，且，则                             

　　④若，且，则                             

（2）在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：

                如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的            条件；

               如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的           条件；

                如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的            条件；

如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的               条件．

（3）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的(　　)

A．充分条件　　　　　　　　　B．必要条件

C．充要条件                  D．既不充分也不必要条件

【知识点三】充分条件、必要条件、充要条件的判断方法

1．定义法：分别判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．

2．等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．

3．集合法：利用集合间的包含关系进行判断．

4．传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断．

5．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．

自我检测2：

如图1，有一个圆，在其内又含有一个圆，请回答

p：红点在内，q：红点一定在内”中，则p是q的什么条件？

题型一　充分条件、必要条件、充要条件的判断

【例1】指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．

①p：若四边形的两组对角分别相等，q：这个四边形是平行四边形；

②p：a＝b，q：ac＝bc；

③p：x2＝9，q：x＝3；

④p：m<，q：一元二次方程x2＋x＋m＝0有实根；

⑤p：x，y为无理数，q：xy为无理数；

⑥p：且，q：且；

⑦p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；

⑧p：，q：或．

题型二　求条件(充分条件、必要条件和充要条件)

【例2】　判断使不等式成立的充分不必要条件是否唯一．

（必要不充分、充要条件呢）

题型三　条件和结论的传递性

【例3】　已知,都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则

   （1）是的什么条件？

   （2）是的什么条件？

   （3）是的什么条件？

题型四　充分条件、必要条件、充要条件的应用

【例4-1】关于的不等式: 的解集为的充要条件是             

【例4-2】已知，，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．

．

题型五　充要条件的证明

【例5】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．

1．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．

（1）“”是“”的                                        ；

（2）“四边形对角线相等”是“这个四边形是平行四边形”的                   ；

（3）“”是“”的                                    ；

（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”的                        ；

（5）“x－3＝0”是“(x－2)(x－3)＝0”的                                    ；

2．设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　)

A．充分不必要条件            B．必要不充分条件

C．充要条件                  D．既不充分也不必要条件

3．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的(　　)

A．充分必要条件              B．充分不必要条件

C．必要不充分条件            D．既不充分也不必要条件

4．　2x2－5x－3<0的必要不充分条件是(　　)

A．－<x<3                   B．0<x<2

C．－1<x<2                   D．－<x<4

5．若是的必要而不充分条件，是的充要条件，是的充分而不必要条件，

那么是的________．

6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是______         _．

【参考答案】

复习：（1）√（2）×（3）√

【自我检测1】（1）①p是q的充分不必要条件②p是q的必要不充分条件

③p是q的充要条件     ④p是q的既不充分也不必要条件

（2）充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要

（3）B

【自我检测2】充分不必要

【例1】指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．

①p：若四边形的两组对角分别相等，q：这个四边形是平行四边形；必要不充分条件

②p：a＝b，q：ac＝bc；充分不必要条件

③p：x2＝9，q：x＝3；必要不充分条件

④p：m<，q：一元二次方程x2＋x＋m＝0有实根；充要条件

⑤p：x，y为无理数，q：xy为无理数；必要不充分条件

⑥p：且，q：且；充要条件

⑦p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；充分不必要条件

⑧p：，q：或．充分不必要条件

【例2】　判断使不等式成立的充分不必要条件是否唯一．不唯一

（必要不充分、充要条件呢）

【例3】　已知,都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则

   （1）是的什么条件？充要条件

   （2）是的什么条件？充要条件

   （3）是的什么条件？必要不充分条件

【例4-1】关于的不等式: 的解集为的充要条件是

【例4-2】已知，，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．

【解析】　令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝；

由已知p⇒q且qp，得

∴或解得≤a<2或<a≤2，即≤a≤2，

即所求a的取值范围是．

【例5】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．

解析：(1)a＝0时，可得x＝－，符合题意．

(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，若方程有两个异号的实根，

则解得a<0；

若方程有两个负的实根，

则必须满足解得0<a≤1.

综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1.

反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．

因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1．

1．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．

（1）“”是“”的                      ；必要不充分条件

（2）“四边形对角线相等”是“这个四边形是平行四边形”的      ；充要条件

（3）“”是“”的                       ；充分不必要条件

（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”的             ；充分不必要条件

（5）“x－3＝0”是“(x－2)(x－3)＝0”的                         ；充分不必要条件

2．设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　)

A．充分不必要条件            B．必要不充分条件

C．充要条件                  D．既不充分也不必要条件

解析：C

3．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的(　　)

A．充分必要条件              B．充分不必要条件

C．必要不充分条件            D．既不充分也不必要条件

解析：C

4．　2x2－5x－3<0的必要不充分条件是(　　)

A．－<x<3                   B．0<x<2

C．－1<x<2                   D．－<x<4

解析：D

5．若是的必要而不充分条件，是的充要条件，是的充分而不必要条件，

那么是的________．

解析：充分不必要条件．

6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是______         _．

解析：对称轴x＝－≤0，即b≥0．