福建省宁德市寿宁县第一中学2023-2024学年高二上学期期初测试数学试题（含答案）

2023-2024学年福建省宁德市寿宁一中高二（上）期初数学试卷

一、单选题（共40分）

1．已知复数z满足（z+2i）（2﹣i）＝5，则z的共轭复数＝（　　）

A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i

2．如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，已知圆柱的底面直径AB＝16米，AD＝4米，圆锥的高PQ＝6米，则该蒙古包的侧面积约为（　　）

A．336π平方米 B．272π平方米 C．208π平方米 D．144π平方米

3．设x0为函数f（x）＝lnx+x﹣5的零点，则不等式x﹣x0＞2的最小整数解为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．5

4．某小区从2000户居民中随机抽取100户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW•h之间，进行适当的分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．则（　　）

A．小区用电量平均数为186.5，极差为300 

B．小区用电量中位数为171，众数为175 

C．可以估计小区居民月用电量的85%分位数约为262.5 

D．小区用电量不小于250kW•h的约有380户

5．已知函数，则下列说法错误的是（　　）

A．函数f（x）的最小正周期为π 

B．是函数f（x）的一条对称轴 

C．函数f（x）在区间上的最大值为2 

D．将函数f（x）向左平移个单位后得函数g（x），则g（x）为偶函数

6．函数在区间[﹣1，1]上单调递减，则a的取值范围为（　　）

A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．﹣3≤a≤﹣1 D．﹣3＜a＜﹣1

7．如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝2，△BCD为等边三角形，当点M在对角线AC上运动时，的最小值为（　　）

A．﹣2 B． C．﹣1 D．

8．△ABC中，AB＝2，，AC＝4，点O为△ABC的外心，若，则实数的值为（　　）

A．7 B． C． D．

二、多选题（共20分）

（多选）9．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，下列说法正确的是（　　）

A．若P∈a，P∈α，则a⊂α 

B．若a∩b＝P，b⊂β，则a⊂β 

C．若a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α，则b⊂α 

D．若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b

（多选）10．下列有关复数的说法正确的是（　　）

A．若复数z＝，则z∈R 

B．若z+＝0，则z是纯虚数 

C．若z是复数，则一定有|z|2＝z2 

D．若z1，z2∈C，则

（多选）11．一个袋子中有大小和质地相同的5个球（标号为1，2，3，4，5），从袋中有放回的抽出两球则下列说法正确的是（　　）

A．没有出现数字1的概率为 

B．两次都出现两个数字相同的概率为 

C．至少出现一次数字1的概率为 

D．两个数字之和为6的概率为

（多选）12．如图，点P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点，则（　　）

A．当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P﹣AA1D1D的体积不变 

B．当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是[，] 

C．使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为 

D．若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面B1CD1时，PF长度的最小值是

三、填空题（共20分）

13．方程x2+9＝0在复数范围内的根为 　      　．

14．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．元件1，元件2，元件3正常工作的概率分别为，则这个部件能正常工作的概率为 　                　．

15．已知，，，；若P是△ABC所在平面内一点，，则的最大值为 　      　．

16．已知正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为，侧棱长为2，则该正四棱锥相邻两个侧面所成二面角的余弦值为 　                 　；该正四棱锥的外接球的体积为 　                  　．

四、解答题（共70分）

17．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE＝2BE，点F是BC的中点．

（1）设，，用，表示，；

（2）已知ED⊥EF，求证：．

18．设函数f（x）＝lg（x2﹣1）的定义域为集合A，g（x）＝的定义域为集合B．

（1）当a＝1时，求（∁RA）∩B；

（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．

19．已知向量，函数．

（1）若f（α）＝2，α∈（0，π），求α的值；

（2）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）＝2，b＝1，△ABC的面积为，求的值．

20．2021年起，辽宁省将实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式．某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．

A等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；

B等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；

C等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；

D等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；

E等级排名占比2%，赋分分数区间是30～40．

现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：

（Ⅰ）求图中a的值；

（Ⅱ）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上（含C等级）？（结果保留整数）

（Ⅲ）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50）和[50，60）内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在[40，50）内的概率．

21．已知函数f（x）＝loga（10+x）﹣loga（10﹣x）（a＞0且a≠1）．

（1）求f（x）的定义域；

（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；

（3）求不等式f（x）＞0的解集．

22．如图所示，在等边△ABC中，AB＝6，M，N分别是AB，AC上的点，且AM＝AN＝4，E是BC的中点，AE交MN于点F．以MN为折痕把△AMN折起，使点A到达点P的位置（0＜∠PFE＜π），连接PB，PE，PC．

（1）证明：MN⊥PE；

（2）设点P在平面ABC内的射影为点Q，若二面角P﹣MN﹣B的大小为，求直线QC与平面PBC所成角的正弦值．

参考答案

一、单选题（共40分）

1．已知复数z满足（z+2i）（2﹣i）＝5，则z的共轭复数＝（　　）

A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i

【分析】利用复数的四则运算化简复数z，利用共轭复数的定义可得结果．

解：因为（z+2i）（2﹣i）＝5，则，

所以．

故选：B．

【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

2．如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，已知圆柱的底面直径AB＝16米，AD＝4米，圆锥的高PQ＝6米，则该蒙古包的侧面积约为（　　）

A．336π平方米 B．272π平方米 C．208π平方米 D．144π平方米

【分析】首先根据圆柱的侧面展开图为长方形求出圆柱的侧面积，再根据圆锥的侧面展开图为扇形求出圆锥的侧面积，进而得到蒙古包的侧面积．

解：依题意得，

圆柱的侧面积，∵DC＝AB＝16，∴，

在Rt△PQC中，，

∴圆锥的侧面积，

∴该蒙古包的侧面积S＝S1+S2＝64π+80π＝144π，

故选：D．

【点评】本题考查了圆柱和圆锥侧面积的计算，属于基础题．

3．设x0为函数f（x）＝lnx+x﹣5的零点，则不等式x﹣x0＞2的最小整数解为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．5

【分析】首先判断函数的单调性，根据零点存在性定理判断x0∈（3，4），再解不等式，即可得解．

解：因为函数f（x）＝lnx+x﹣5在（0，+∞）上单调递增，

又f（3）＝ln3+3﹣5＝ln3﹣2＜0，f（4）＝ln4+4﹣5＝ln4﹣1＞0，

即f（3）⋅f（4）＜0，所以x0∈（3，4），

不等式x﹣x0＞2，解得x＞2+x0，因为x0∈（3，4），所以2+x0∈（5，6），

所以不等式x﹣x0＞2的最小整数解为6．

故选：C．

【点评】本题考查函数的零点判断定理的应用，是基础题．

4．某小区从2000户居民中随机抽取100户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW•h之间，进行适当的分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．则（　　）

A．小区用电量平均数为186.5，极差为300 

B．小区用电量中位数为171，众数为175 

C．可以估计小区居民月用电量的85%分位数约为262.5 

D．小区用电量不小于250kW•h的约有380户

【分析】对于A，根据频率分布直方图中平均数与极差的算法计算即可；对于B，根据频率分布直方图中中位数与众数的算法计算即可；对于C，根据频率分布直方图中百分位数的算法判断即可；对于D，求出小区用电量不小于250kW•h的频率，进而得解．

解：对于A，极差为300，小区用电量平均数为

50×0.0024×75+50×0.0036×125+50×0.0060×175+50×0.0044×225

+50×0.0024×275+50×0.0012×325＝186，故A错误；

对于B，小区用电量众数为，

因为50×（0.0024+0.0036）＝0.3，50×（0.0024+0.0036+0.0060）＝0.6，

故小区用电量中位数在[150，200），设为m，

则0.3+（m﹣150）×0.0060＝0.5，解得，故B错误；

对于C，因为50×（0.0024+0.0036+0.0060+0.0044）＝0.82＜0.85，

50×（0.0024+0.0036+0.0060+0.0044+0.0024）＝0.94＞0.85，

故估计小区居民月用电量的85%分位数在[250，300），设为x，

则0.82+（x﹣250）×0.0024＝0.85，解得x＝262.5，故C正确；

对于D，样本中小区用电量不小于250kW•h的频率为0.0024×50+0.0012×50＝0.18，

所以小区用电量不小于250kW•h的约有2000×0.18＝360户，故D错误．

故选：C．

【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数、极差、中位数和百分位数的计算，属于中档题．

5．已知函数，则下列说法错误的是（　　）

A．函数f（x）的最小正周期为π 

B．是函数f（x）的一条对称轴 

C．函数f（x）在区间上的最大值为2 

D．将函数f（x）向左平移个单位后得函数g（x），则g（x）为偶函数

【分析】由题意，利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．

解：由于函数＝2sin（2x+），

故它的最小正周期为＝π，故A正确．

令x＝，求得f（x）＝﹣2，为最小值，可得它的图象关于直线x＝对称，故B正确．

在区间上，2x+∈[﹣，]，故函数f（x）的最大值为2，故C正确．

将函数f（x）向左平移个单位后得函数g（x）＝2sin（2x++）＝2sin（2x+）的图象，

显然，g（x）为非奇非偶函数，故D错误．

故选：D．

【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．

6．函数在区间[﹣1，1]上单调递减，则a的取值范围为（　　）

A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．﹣3≤a≤﹣1 D．﹣3＜a＜﹣1

【分析】根据题意，令t（x）＝7+2ax﹣x2，由题意可得t（x）需满足在区间[﹣1，1]上单调递减，且t（x）min≥0，由此列出不等式，求得答案．

解：根据题意，函数，

令t（x）＝7+2ax﹣x2，则，

由题意可得t（x）＝7+2ax﹣x2需满足在区间[﹣1，1]上单调递减，且t（x）min≥0，

而t（x）＝7+2ax﹣x2的图象开口向下，对称轴为x＝a，

故a≤﹣1且t（1）＝6+2a≥0，解可得﹣3≤a≤﹣1．

故选：C．

【点评】本题考查复合函数单调性的判定，注意函数的定义域，属于基础题．

7．如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝2，△BCD为等边三角形，当点M在对角线AC上运动时，的最小值为（　　）

A．﹣2 B． C．﹣1 D．

【分析】由题意，结合全等三角形的定义得到△ABC≌△ADC，根据向量的加法运算以及数量积的定义对进行整理，利用二次函数的性质进行求解即可．

解：已知∠A＝90°，AB＝AD＝2，

所以△ABD为等腰直角三角形，

此时∠ABC＝∠ADC＝45°+60°＝105°，

易知，

所以△ABC≌△ADC，

所以∠ACB＝∠ACD，

即AC平分∠BCD，

因为，

所以

＝，

当时，取得最小值，最小值为．

故选：B．

【点评】本题考查平面向量数量积的定义，考查了逻辑推理和运算能力．

8．△ABC中，AB＝2，，AC＝4，点O为△ABC的外心，若，则实数的值为（　　）

A．7 B． C． D．

【分析】在△ABC中，利用余弦定理求出cos∠BAC，再在两边同时乘以向量和，利用投影的定义计算出和的值，代入方程中计算，解出m和n，可得出答案．

解：由余弦定理可得

∵，∴，

又∵，

同理可得：，代入上式，

∴，解得：m＝，n＝，

所以，

故选：A．

【点评】考查三角形外心的定义，余弦定理，以及数量积的运算及其计算公式，余弦函数的定义，属于中档题．

二、多选题（共20分）

（多选）9．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，下列说法正确的是（　　）

A．若P∈a，P∈α，则a⊂α 

B．若a∩b＝P，b⊂β，则a⊂β 

C．若a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α，则b⊂α 

D．若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b

【分析】根据公理1以及直线在平面内的定义，逐一对四个结论进行分析，即可求解．

解：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，故A错；

当a∩β＝P时，B错；

如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，

∴由直线a和点P确定唯一平面α，

又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a和点P，

∴β与α重合，∴b⊂α，故C正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故D正确．

故选：CD．

【点评】本题考查了公理1及空间点、线、面的位置关系，属基础题．

（多选）10．下列有关复数的说法正确的是（　　）

A．若复数z＝，则z∈R 

B．若z+＝0，则z是纯虚数 

C．若z是复数，则一定有|z|2＝z2 

D．若z1，z2∈C，则

【分析】由共轭复数的概念及复数相等，判断A；应用特殊值法，令z＝＝0及z＝1+i，判断BC；利用共轭复数的概念及复数乘法判断D．

解：对于A，设z＝a+bi，（a，b∈R），则＝a﹣bi，

若z＝，则b＝0，∴z∈R，故A正确；

对于B，设z＝＝0时，z+＝0，而z不是纯虚数，故B错误；

对于C，当z＝1+i时，则|z|2＝2，zz2＝2im，

∴|z|2≠z2，故C错误；

对于D，令z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝m+ni（m，n∈R），

则z1•z2＝ma﹣nb+（mb+na）i，

＝ma﹣nb﹣（mb+na）i，

∵＝a﹣bi，＝m﹣ni，

∴＝（a﹣bi）（m﹣ni）＝ma﹣nb﹣（mb+na）i，

∴若z1，z2∈C，则，故D正确．

故选：AD．

【点评】本题考查复数的运算，考查复数的定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

（多选）11．一个袋子中有大小和质地相同的5个球（标号为1，2，3，4，5），从袋中有放回的抽出两球则下列说法正确的是（　　）

A．没有出现数字1的概率为 

B．两次都出现两个数字相同的概率为 

C．至少出现一次数字1的概率为 

D．两个数字之和为6的概率为

【分析】根据古典概型计算公式，结合逻辑推理，逐项运算判断即可；

解：没有出现数字1的概率为，选项A错误；

从袋中有放回的抽出两球共有：5×5＝25种结果，两次都出现两个数字相同的有5种结果，故两次都出现两个数字相同的概率为，选项B正确；

从反向思考，至少出现一次数字1的概率为，选项C正确；

两个数字之和为6的情况有：（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），5种，故两个数字之和为6的概率为，选项D错误．

故选：BC．

【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．

（多选）12．如图，点P是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一个动点，则（　　）

A．当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P﹣AA1D1D的体积不变 

B．当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是[，] 

C．使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为 

D．若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面B1CD1时，PF长度的最小值是

【分析】对于选项A，由点P到侧面ADD1A1的距离相等，故四棱锥P﹣AA1D1D的体积为定值，即可判断；

对于选项B，找到所求角为∠D1PA或其补角，根据正三角形△D1AC，即可判断；

对于选项C，分别求当点P在侧面BB1C1C，侧面CC1D1D上时（不包括正方形的边界）、在上底面A1B1C1D1上、点P在侧面AA1D1D，AA1BB上点P的轨迹长，即可判断；

对于选项D，取BC中点M，CD中点N，连结FM，FN，可证明平面FMN∥平面B1CD1，即可求得P的轨迹是MN，即可求得PF的最小值，进而判定选项．

解：对于选项A：因为平面BCC1B1∥平面AA1D1D，

所以点P到侧面ADD1A1的距离为定值，故四棱锥P﹣AA1D1D的体积为定值，故A正确；

对于选项B：因为A1C1∥AC，D1P与A1C1所成角是∠D1PA或其补角，

因为△D1AC是正三角形，所以D1P与A1C1成角的取值范围是[]，故B正确；​

对于选项C：①当点P在侧面CC1D1D上时（不包括正方形的边界），过点P作平面ABCD的垂线，垂足为H，连AH，

根据正方体易知PH⊥平面ABCD，则∠PAH为PA与平面ABCD所成的角，故∠PAH＝45°，所以PH＝AH，

在 Rt△ADH中，由AH＞AD＝2，但是PH＝AH＜2，矛盾，

故点P不能在侧面CC1D1D上（不包括正方形的边界），

同理，点P不在侧面BB1C1C上（不包括正方形的边界）．

②当点P在上底面A1B1C1D1上时，过点P作平面ABCD的垂线，垂足为G，连结A1P，AG，

根据正方体易知PG⊥平面ABCD，且四边形A1PGA为矩形，则∠PAG为PA与平面ABCD所成的角，故∠PAG＝45°，

所以PG＝AG＝2，所以A1P＝AG＝2，此时点P的轨迹是以A1为圆心，2为半径的四分之一圆，点P的轨迹长度为；

③当点P在侧面AA1D1D，AA1BB上时，根据正方体特征易知点P在线段AB1，AD1上，都符合题意，

此时点P的轨迹长为；由上知点P的轨迹长度为，故C选项正确；

对于选项D：取 BC中点M，CD中点N，连结FM，FN，

因为M、N是BC、CD的中点，可知MN∥BD且MN＝BD＝，

又BD∥B1D1，所以MN∥B1D1，又MN⊄平面B1CD1，B1D1⊂平面B1CD1，所以MN∥平面B1CD1，

因为F，N是A1B1、CD中点，根据正方体可得，四边形B1FNC是平行四边形，

所以FN∥B1C，FN⊄平面B1CD1，B1C⊂平面B1CD1，所以FN∥平面B1CD1，

又FN∩MN＝N，FN，MN⊂平面FMN，所以平面FMN∥平面平面B1CD1，

因为P在底面ABCD上运动，且PF∥平面B1CD1，所以PF⊂平面FMN，

因为平面FMN∩底面ABCD＝MN，所以点P在底面ABCD上的轨迹为MN，

根据正方体的棱长为2，结合勾股定理可得，，，所以FN2＝FM2+MN2，故MN⊥FM，

所以PF长度的最小值为，故D错误．

​

故选：ABC．

【点评】本题考查了棱锥的体积，直线与直线所成角，直线与平面所成角以及轨迹问题，属于较难题．

三、填空题（共20分）

13．方程x2+9＝0在复数范围内的根为 　±3i　．

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．

解：方程x2+9＝0，解得x＝±3i．

故答案为：±3i．

【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

14．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．元件1，元件2，元件3正常工作的概率分别为，则这个部件能正常工作的概率为 　　．

【分析】设“元件1正常工作”为事件A，“元件2正常工作”为事件B，“元件3正常工作”为事件C，

则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，再结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．

解：设“元件1正常工作”为事件A，“元件2正常工作”为事件B，“元件3正常工作”为事件C，

则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，

这个部件能正常工作的概率为P＝[1﹣P（）P（）]P（A）＝．

故答案为：．

【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

15．已知，，，；若P是△ABC所在平面内一点，，则的最大值为 　192　．

【分析】建立直角坐标系，由可得P的坐标，从而可得＝12t2，再结合t的范围即可求得它的最大值．

解：由题意建立如图所示的坐标系，

可得A（0，0），B（，0），C（0，t），

因为＝，所以P（0，4t），

所以＝（，﹣4t），＝（0，﹣3t），

所以＝﹣4t×（﹣3t）＝12t2，

因为，

所以的最大值为192．

故答案为：192．

【点评】本题考查平面向量的数量积与坐标运算，属于中档题．

16．已知正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为，侧棱长为2，则该正四棱锥相邻两个侧面所成二面角的余弦值为 　　；该正四棱锥的外接球的体积为 　　．

【分析】作出二面角的平面角，通过求解三角形．推出结果；求解外接球的半径，然后求解体积即可．

解：如图所示，连接AC，BD，相交于点O，连接OS．

∵四棱锥S﹣ABCD是正四棱锥，

∴OS⊥底面ABCD．作BE⊥SC，同理DE⊥SC，连接DE，

∴∠BED是相邻两个侧面所成二面角的平面角，

BD＝2，，可得BE＝＝，sin＝，

cos∠BED＝＝﹣．

SO＝＝＝，设外接球的半径为R，

可得，解得R＝，

正四棱锥的外接球的体积为：＝．

故答案为：；．

【点评】本题考查了正四棱锥的性质，二面角的求法，几何体的外接球的体积的求法．考查了推理能力与计算能力．

四、解答题（共70分）

17．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且AE＝2BE，点F是BC的中点．

（1）设，，用，表示，；

（2）已知ED⊥EF，求证：．

【分析】（1）利用平面向量基本定理以及三角形法则即可求解；（2）利用向量垂直的性质化简即可证明．

解：（1）因为AE＝2BE，则，

所以，

＝；

（2）证明：因为ED⊥EF，所以，

即（）＝，

即|，所以AB＝．

【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到向量垂直的性质，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．

18．设函数f（x）＝lg（x2﹣1）的定义域为集合A，g（x）＝的定义域为集合B．

（1）当a＝1时，求（∁RA）∩B；

（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．

【分析】（1）根据对数函数、指数函数性质求得集合A，B，再根据集合的运算进行求解即可；（2）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B⊆A，即可求得实数a的取值范围．

解：（1）由x2﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1，

所以集合A＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∁RA＝[﹣1，1]，

当a＝1时，由9x+1﹣3≥0，即32x+2≥3，

解得x≥，

所以集合B＝[﹣，+∞），

故（∁RA）∩B＝[﹣，1]，

（2）由（1）知A＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

由9x+a﹣3≥0，解得x﹣a，

所以B＝[﹣a，+∞），

因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，

所以B⊆A，

所以﹣a＞1，解得a，

故实数a的取值范围是（﹣∞，）．

【点评】本题主要考查了复合函数的定义域，集合的运算，充要条件的定义，属于基础题．

19．已知向量，函数．

（1）若f（α）＝2，α∈（0，π），求α的值；

（2）已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）＝2，b＝1，△ABC的面积为，求的值．

【分析】（1）由向量的数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，计算可得所求角；

（2）运用三角形的面积公式和三角形的正弦定理、余弦定理，计算可得所求值．

【解答】解（1）依题意得

＝

＝，

因为，

所以．

所以，即．

（2）因为f（A）＝2，A∈（0，π），由（1）得．

因为，

所以，即c＝2．

在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA

＝．

由，

得b＝2sinB，c＝2sinC，a＝2sinA，

所以．

【点评】本题主要考查平面向量的应用、正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性．

20．2021年起，辽宁省将实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式．某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．

A等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；

B等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；

C等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；

D等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；

E等级排名占比2%，赋分分数区间是30～40．

现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：

（Ⅰ）求图中a的值；

（Ⅱ）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上（含C等级）？（结果保留整数）

（Ⅲ）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50）和[50，60）内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在[40，50）内的概率．

【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质列方程，能求出a．

（Ⅱ）由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为85%，假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上，列方程能求出结果．

（Ⅲ）由题知得分在[40，50）和[50，60）内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，得分在[40，50）内的有2人，得分在[50，60）的有3人，记得分在[50，60）内的3位学生为a，b，c，得分在[40，50）内的2位学生为D，E，从5人中任选2人，利用列举法能求出这2人中恰有一人原始成绩在[40，50）内的概率．

解：（Ⅰ）由题意（0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1，所以a＝0.030．

（Ⅱ）由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为15%+35%+35%＝85%，

假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上，

则有（0.005+0.025+0.030+0.015）×10+（60﹣x）×0.015＝0.85，

解得x≈53.33（分），所以原始分不少于54分才能达到赋分后的C等级及以上．

（Ⅲ）由题知得分在[40，50）和[50，60）内的频率分别为0.1和0.15，

则抽取的5人中，得分在[40，50）内的有2人，得分在[50，60）的有3人，

记得分在[50，60）内的3位学生为a，b，c，得分在[40，50）内的2位学生为D，E，

则从5人中任选2人，样本空间可记为：

Ω＝{ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE}共包含10个样本，

用A表示“这2人中恰有一人得分在[40，50）内”，

则A＝{aD，aE，bD，bE，cD，cE}，即A包含6个样本，

所以这2人中恰有一人原始成绩在[40，50）内的概率为P（A）＝＝．

【点评】本题考查频率、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

21．已知函数f（x）＝loga（10+x）﹣loga（10﹣x）（a＞0且a≠1）．

（1）求f（x）的定义域；

（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；

（3）求不等式f（x）＞0的解集．

【分析】（1）由函数有意义所需条件，求f（x）的定义域；

（2）由函数奇偶性的定义，判断并证明f（x）的奇偶性；

（3）分类讨论，根据函数单调性求解不等式．

解：（1）要使函数有意义，则，解得﹣10＜x＜10，

所以函数f（x）的定义域为（﹣10，10）．

（2）f（x）是奇函数，理由如下：

由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，

f（﹣x）＝loga（10﹣x）﹣loga（10+x）＝﹣[loga（10+x）﹣loga（10﹣x）]＝﹣f（x），

即函数f（x）是奇函数；

（3）若f（x）＞0，则loga（10+x）﹣loga（10﹣x）＞0，即loga（10+x）＞loga（10﹣x），

若a＞1，则 y＝logax单调递增，则有，得，解得：0＜x＜10；

若0＜a＜1，则y＝logax单调递减 则有，得，解得：﹣10＜x＜0．

即当a＞1时，不等式的解集为（0，10），

当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣10，0）．

【点评】本题考查分类讨论求解不等式的解集的方法及函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．

22．如图所示，在等边△ABC中，AB＝6，M，N分别是AB，AC上的点，且AM＝AN＝4，E是BC的中点，AE交MN于点F．以MN为折痕把△AMN折起，使点A到达点P的位置（0＜∠PFE＜π），连接PB，PE，PC．

（1）证明：MN⊥PE；

（2）设点P在平面ABC内的射影为点Q，若二面角P﹣MN﹣B的大小为，求直线QC与平面PBC所成角的正弦值．

【分析】（1）折叠前MN⊥AE，折叠后MN⊥PF，MN⊥FE，从而MN⊥平面PFE，又PE⊂平面PFE，则MN⊥PE；

（2）易知二面角P﹣MN﹣B的平面角为∠PFE，另一方面平面ABC⊥平面PFE，从而可以确定Q的位置，建立空间直角坐标系即可求解．

【解答】（1）证明：因为△ABC是等边三角形，E是BC的中点，

所以AE⊥BC，

因为AM＝AN＝4，所以MN∥BC，所以MN⊥AE，

可得MN⊥PF，MN⊥FE，又PF∩FE＝F，

所以MN⊥平面PFE，

又PE⊂平面PFE，

所以MN⊥PE．

（2）解：因为MN⊥PF，MN⊥FE，

所以二面角P﹣MN﹣B的平面角为∠PFE，

所以，可得，

由第（1）问知，MN⊥平面PFE，MN⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PFE，

又因为平面PFE⋂平面ABC＝AE，

所以点P在平面ABC内的射影Q在AE上，

因为，所以，

过F作直线l∥PQ交PE于点K，以F为坐标原点，

以的方向分别为x，y，z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，

，，，

设平面PBC的法向量为，

则，

令z＝2，可得，

所以，

所以直线QC与平面PBC所成角的正弦值为．

【点评】本题主要考查空间中的垂直关系，线面角的相关计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．