专题1.8 特殊平行四边形章末九大题型总结（拔尖篇）-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

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专题1.8 特殊平行四边形章末九大题型总结（拔尖篇）【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc15069" 【题型1 四边形中的多解问题】  PAGEREF _Toc15069 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc7081" 【题型2 四边形中的动点问题】  PAGEREF _Toc7081 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc16304" 【题型3 四边形中的最值问题】  PAGEREF _Toc16304 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2316" 【题型4 四边形中的折叠问题】  PAGEREF _Toc2316 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc12949" 【题型5 矩形与等腰三角形】  PAGEREF _Toc12949 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc29521" 【题型6 菱形中的全等三角形的构造】  PAGEREF _Toc29521 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc20104" 【题型7 正方形中线段的和差倍分关系】  PAGEREF _Toc20104 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc9293" 【题型8 坐标系中的四边形】  PAGEREF _Toc9293 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc28076" 【题型9 四边形中存在性问题】  PAGEREF _Toc28076 \h 14【题型1 四边形中的多解问题】【例1】（2023春·辽宁鞍山·九年级校联考期中）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠ADB的平分线交AB于点E，交AC于点G．过点E作EF⊥BD于点F，∠EDM交AC于点M．下列结论：①AD=2+1AE；②四边形AEFG是菱形；③BE=2OG；④若∠EDM=45°，则GF=CM．其中正确的个数有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2023春·福建福州·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，AB=23，∠ABC=60°，点E为对角线BD上一动点（不与点B重合），且BE<12BD，连接CE交DA延长线于点F．  ①∠AFE=∠BAE；②当△AEF为直角三角形时，BE=2；③当△AEF为等腰三角形时，∠AFC=20°或者∠AFC=40°；④连接BF，当BE=CE时，FC平分∠AFB．以上结论正确的是 （填正确的序号）．【变式1-2】（2023春·山东青岛·九年级山东省青岛实验初级中学校考期末）如图，在矩形ABCD中，O是对角线的交点，AB=1，∠BOA=60°，过C作CE⊥BD于点E，EC的延长线与∠BAD的平分线相交于点H，AH与BC交于点F，与BD交于点M．给出下列四个结论：①BF=BO；②AC=CH；③BE=3DE；④S△ACF=32S△BMF；⑤AH=6+2．其中正确的结论有 （填写正确的序号）．  【变式1-3】（2023春·广西南宁·九年级统考期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究做出过贡献，特别是定理的证明，据说有400余种.如图是希腊著名数学家欧几里得证明这个定理使用的图形.以Rt△ABC(∠ABC=90°)的三边a,b,c为边分别向外作三个正方形：正方形ACED、正方形AFHB、正方形BCNM，再作CG⊥FH垂足为G，交AB于P，连接BD，CF.则结论：①∠DAB=∠CAF，②△DAB≌△CAF，③S正方形ACED = 2S△ADB，④S矩形AFGP = 2S△ACF.正确的结论有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型2 四边形中的动点问题】【例2】（2023春·广西钦州·九年级统考期中）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF=AE，连接DE、DF．  (1)求证DE⊥DF；(2)连接EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接BG．①依题意，补全图形：②求证BG=DG；③若∠EGB=45°，用等式表示线段BG、HG与AE之间的数量关系，并证明．【变式2-1】（2023春·福建福州·九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E为CD中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当四边形APQE周长最小时，BP的长为 ．  【变式2-2】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点M、N分别是边BC、CD上的两个动点，∠MAN=60°，连接MN．    (1)△AMN是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．(2)在M、N运动的过程中，△CMN的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存在，请说明理由．【变式2-3】（2023春·广西南宁·九年级校考期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=22，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点(点F不与点A，D重合)．将△AEF沿EF所在直线翻折，点A的对应点为A′，连接A′D，A′C．当△A′DC是等腰三角形时，AF的长为 ．    【题型3 四边形中的最值问题】【例3】（2023春·江苏南通·九年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=60°．E是对角线BD上的一个动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边作菱形AEFG，其中，点G位于直线AB的上方，且∠EAG=60°，点P是AD的中点，连接PG，则线段PG的最小值是 ．  【变式3-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为5，点E，F，G，H分别在正方形的四条边上，且GH∥EF，GH=EF，则四边形EFGH的周长的最小值是 ．  【变式3-2】（2023春·四川成都·九年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，OB=23，∠AOB=30°．  (1)如图1，点P为射线OB上的动点，连接PA，若△PAB是等腰三角形，求PA的长度；(2)如图2，是否在x轴上存在点E，在直线BC上存在点F，以O，B，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，点M是BC边上的动点，过点M作OB的垂线交直线OA于点N，求OM+MN+NB的最小值．【变式3-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=m，E、F分别在边BC、CD上，并且△AEF为等边三角形，则m的取值范围为 ，若点G是边AB上的一点，且GA=2，则随着m的变化，GE的最小值为 ．    【题型4 四边形中的折叠问题】【例4】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）通过对下面几何图形的？作探究，解决下列问题．  【操作发现】如图1，探究小组将矩形纸片ABCD沿对角线BD所在的直线折叠，点C落在点E处，DE与AB边交于点F，再将纸片沿直线DM折叠，使AD边落在直线DE上，点A与点N重合．（1）∠MDB=_______度．（2）若AB=6，AD=3，求线段DF的长．【迁移应用】（3）如图2，在正方形纸片ABCD中，点E为CD边上一点，探究小组将△ADE沿直线AE折叠得到△AFE，再将纸片沿过A的直线折叠，使AB与AF重合，折痕为AH，探究小组继续将正方形纸片沿直线EH折叠，点C的对应点恰好落在折痕AH上的点M处，EM与AF相交于点N，若BH=1，求△AEN的面积．【变式4-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．(1)求证：BG=DG；(2)求C′G的长；(3)如图2，再折叠一次，使点D与A重合，折痕EN交AD于M，求EM的长．【变式4-2】（2023春·浙江宁波·九年级校联考期中）问题原型(1)如图1，在菱形ABCD中，∠B=60°，AE⊥BC于E，F为CD中点，连结AF，EF．试猜想△AEF的形状，并说明理由．(2)如图2，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，F为CD中点，连结AF，EF．试猜想△AEF的形状，并说明理由．(3)如图3，在▱ABCD中，F为CD上一点，连结BF，将∠C沿BF折叠，点C的对应点为C′．连结DC′并延长交AB于G，若AG=C′F，求证：F为CD中点．(4)如图4，直角坐标系中有▱ABCD，点A与原点重合，点B在x轴正半轴上，CD与y轴交于点E．将其沿过A的直线折叠，点B对应点B′恰好落在y轴上，且折痕交BC于M，B′M交CD于点N．若▱ABCD的面积为48，AB=8，AD=35，求点M的坐标和阴影部分面积（直接写出结果）．【变式4-3】（2023春·江西宜春·九年级统考期末）课本再现：（1）如图1，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE=CF．要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？BE和AF的数量关系是：___________；BE和AF的位置关系是___________；（无需证明）知识应用：（2）如图2，ABCD是一个正方形草地，现要在内部修建两条路MN、EF，且MN⊥EF，①请问这两条路MN、EF还相等吗？为什么？②如图3，将边长为12的正方形纸片沿EF折叠，点D落在BC边上的点N处，若折痕EF的长为13，求此时DE的长；拓展延伸：（3）如图4，将边长为12的正方形纸片沿EF折叠，点D落在BC边上的点N处，DN与EF交于点P，取AD的中点M，连接PM、PC，则PM+PC的最小值为___________，此时EF的长度是___________．  【题型5 矩形与等腰三角形】【例5】（2023春·广东深圳·九年级统考期末）【问题背景】某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，在习题中发现了这样一个问题：如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC上的点，点P是底边BC上的点，且∠PDB=∠PEC=90°，过点B作BF⊥AC于点F，请写出线段PD、PE、BF之间满足的数量关系式．同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路：解决思路1：如图2，过点P作PG⊥BF于点G；解决思路2：如图3，过点B作BH⊥PE，交EP的延长线于点H；(1)上述两种解决思路都可以证明一组三角形全等，判定一个四边形为平行四边形，从而可证得线段PD、PE、BF之间满足的数量关系式为______________．【类比探究】(2)如图4，在等腰△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC上的点，点P是底边BC上的点，且∠PDB=∠PEC=α，过点B作BF∥PE交AC于点F，请写出线段PD、PE、BF之间满足的数量关系式，并说明理由．【拓展应用】(3)如图5，在△ACP与△BDP中，∠A=∠B=75°，∠APC=∠BPD=60°，点A、B、P在同一条直线上，若AB=6，PC=2，则PD=______________．【变式5-1】（2023春·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考期末）已知在矩形ABCD中，AD=9，AB=12，O为矩形的中心，在等腰Rt△AEF中，∠EAF=90°，AE=AF=6．则EF边上的高为 ；将△AEF绕点A按顺时针方向旋转一周，连接CE，取CE中点M，连接FM，则FM的最大值为 ．  【变式5-2】（2023春·北京东城·九年级期末）画一个四边形，使得该四边形的面积等于已知图形面积的一半．（1）如图1，已知等腰△ABC，D，E分别是AB，AC的中点，画四边形DBCE；（2）如图2，已知四边形ABCD，AC⊥BD．四边的中点分别为E，F，G，H，画四边形EFGH；（3）如图3，已知平行四边形ABCD，点E，G分别在AD，BC上，且EG∥AB．点F，H分别在AB，CD上，画四边形EFGH．以上三种画法中，所有正确画法的序号是（    ）  A．（1）（3） B．（2） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【变式5-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门外国语学校校考期末）如图①，在平面直角坐标系中，一次函数y=−34x+3分别与x轴和y轴交于点A、点B，四边形OACB为矩形．(1)如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C′重合．①求点F的坐标；②请直接写出直线FC′的解析式：______；(2)如图③，动点Px,y在一次函数y=2x−31.5