2019年重庆市中考数学试卷

2019年重庆市中考数学试卷

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）

1．下列各数中，比﹣1小的数是（　　）

A．2 B．1 C．0 D．﹣2

2．如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（　　）

A． B． C． D．

3．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（　　）

A．40° B．50° C．80° D．100°

5．下列命题正确的是（　　）

A．有一个角是直角的平行四边形是矩形     B．四条边相等的四边形是矩形 

C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形     D．对角线相等的四边形是矩形

6．估计（2+6）×的值应在（　　）

A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间

7．《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（　　）

A．      B． C．     D．

8．按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（　　）

A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝0 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝1

9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（　　）

A．16 B．20 C．32 D．40

10．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（　　）

（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米

11．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的分式方程﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）

A．0 B．1 C．4 D．6

12．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）

13．计算：（π﹣3）0+（）﹣1＝　   　．

14．今年五一节期间，重庆市旅游持续火爆，全市共接待境内外游客超过25600000人次，请把数25600000用科学记数法表示为　   　．

15．一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为　   　．

16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为　   　．（结果保留π）

17．某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是　   　米．

18．在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4：3：5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3：4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是　   　．

三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）

19．（10分）计算：

（1）（x+y）2﹣y（2x+y）

（2）（a+）÷

20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．

（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；

（2）求证：FB＝FE．

21．（10分）每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心秩首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100），下面给出了部分信息：

七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82

八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94

七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；

（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；

（3）该校七、八年级共730人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？

22．（10分）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数﹣“纯数”．

定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，

例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；

23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．

（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；

（2）求出不大于100的“纯数”的个数．

23．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．

结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．

（1）求这个函数的表达式；

（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象井写出这个函数的一条性质；

（3）已知函y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集．

24．（10分）某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．

（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？

（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少a%．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值．

25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．

（1）若DP＝2AP＝4，CP＝，CD＝5，求△ACD的面积．

（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD＝CM+2CE．

四、解答题：（本大题1个小题，共8分）

26．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．

（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；

（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．

2019年重庆市中考数学试卷答案

1． D．2． A．3． C．4． C．5． A．6． C．7． A．8． D．9． B．10． C．11． B．12． B．

13． 3．14． 2.56×107．15． ．16． 2﹣π．17． 6000．18． 3：20．

19．解：（1）（x+y）2﹣y（2x+y）＝x2+2xy+y2﹣2xy﹣y2＝x2；

（2）（a+）÷

＝

＝

＝

＝．

20．（1）解：∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABC，

∵∠C＝36°，

∴∠ABC＝36°，

∵BD＝CD，AB＝AC，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．

（2）证明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，

∵EF∥BC，

∴∠FEB＝∠CBE，

∴∠FBE＝∠FEB，

∴FB＝FE．

21．解：（1）a＝（1﹣20%﹣10%﹣）×100＝40，

∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平方数，

∴b＝＝94；

∵在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多，

∴c＝99；

（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的中位数和众数均高于七年级．

（3）参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数＝720×＝468人，

答：参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是468人．

22．解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，

理由：当n＝2019时，n+1＝2020，n+2＝2021，

∵个位是9+0+1＝10，需要进位，

∴2019不是“纯数”；

当n＝2020时，n+1＝2021，n+2＝2022，

∵个位是0+1+2＝3，不需要进位，十位是2+2+2＝6，不需要进位，百位为0+0+0＝0，不需要进位，千位为2+2+2＝6，不需要进位，

∴2020是“纯数”；

（2）由题意可得，

连续的三个自然数个位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时，不会产生进位，

当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，共三个，

当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，共九个，

当这个数是三位自然数是，只能是100，

由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3+9+1＝13，

即不大于100的“纯数”的有13个．

23．解：（1）∵在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1，

∴，得，

∴这个函数的表达式是y＝|x﹣3|﹣4；

（2）∵y＝|x﹣3|﹣4，

∴y＝，

∴函数y＝x﹣7过点（2，﹣4）和点（4，﹣1）；函数y＝﹣﹣1过点（0，﹣1）和点（﹣2，2）；

该函数的图象如右图所示，性质是当x＞2时，y随x的增大而增大；

（3）由函数图象可得，

不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集是1≤x≤4．

24．（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，由题意得：

2（50×2x+80x）＝90000，

解得 x＝250

答：该小区共有250套80平方米的住宅．

（2）参与活动一：

50平方米住宅每户所交物管费为100元，有500×40%＝200户参与活动一，

80平方米住宅每户所交物管费为160元，有250×20%＝50户参与活动一；

参与活动二：

50平方米住宅每户所交物管费为100（1﹣%）元，有200（1+2a%）户参与活动二；

80平方米住宅每户所交物管费为160（1﹣%）元，有50（1+6a%）户参与活动二．

由题意得100（1﹣%）•200（1+2a%）+160（1﹣%）•50（1+6a%）＝[200（1+2a%）×100+50（1+6a%）×160]（1﹣a%）

令t＝a%，化简得t（2t﹣1）＝0

∴t1＝0（舍），t2＝，

∴a＝50．

答：a的值为50．

25．（1）解：作CG⊥AD于G，如图1所示：

设PG＝x，则DG＝4﹣x，

在Rt△PGC中，GC2＝CP2﹣PG2＝17﹣x，

在Rt△DGC中，GC2＝CD2﹣GD2＝52﹣（4﹣x）2＝9+8x﹣x2，

∴17﹣x2＝9+8x﹣x2，

解得：x＝1，即PG＝1，

∴GC＝4，

∵DP＝2AP＝4，

∴AD＝6，

∴S△ACD＝×AD×CG＝×6×4＝12；

（2）证明：连接NE，如图2所示：

∵AH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，

∴∠AEB+∠NBF＝∠AEB+∠EAF＝∠AEB+∠MEC＝90°，

∴∠NBF＝∠EAF＝∠MEC，

在△NBF和△EAF中，，

∴△NBF≌△EAF（AAS），

∴BF＝AF，NF＝EF，

∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，FC＝AF＝BF，

∴∠ANE＝∠BCD＝135°，AD＝BC＝2AF，

在△ANE和△ECM中，，

∴△ANE≌△ECM（ASA），

∴CM＝NE，

又∵NF＝NE＝MC，

∴AF＝MC+EC，

∴AD＝MC+2EC．

26．解：（1）如图1

∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C

∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）

∵点D为抛物线的顶点，且＝＝1，＝＝﹣4

∴点D的坐标为D（1，﹣4）

∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，

由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6）

∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3

∴当m＝＝2时，NF 取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，

此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）

在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，

∴sin∠OCK＝，直线KC的解析式为：y＝，且点F（2，﹣2），

∴PJ＝PC，直线FJ的解析式为：y＝

∴点J（，）

∴FP+PC的最小值即为FJ的长，且|FJ|＝

∴|HF+FP+PC|min＝；

（2）由（1）知，点P（0，），

∵把点P向上平移个单位得到点Q

∴点Q（0，﹣2）

∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝AQ＝，此时，∠AQO＝∠GOQ

把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G

①如图2

G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q'

则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，

∵sin∠OAQ＝＝＝

∴sin∠IOQ'＝＝＝，解得：|IO|＝

∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝

∴点Q'的坐标为Q'（，﹣）；

②如图3，

当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（，）

③如图4

当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣，）

④如图5

当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣，﹣）

综上所述，所有满足条件的点Q′的坐标为：（，﹣），（，），（﹣，），（﹣，﹣）