江苏省南京市2019年中考数学试卷

2019年江苏省南京市中考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）

1．2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元．用科学记数法表示13000是（　　）

A．0.13×105 B．1.3×104 C．13×103 D．130×102

2．计算（a2b）3的结果是（　　）

A．a2b3 B．a5b3 C．a6b D．a6b3

3．面积为4的正方形的边长是（　　）

A．4的平方根 B．4的算术平方根 

C．4开平方的结果 D．4的立方根

4．实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（　　）

A． B． 

C． D．

5．下列整数中，与10﹣最接近的是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

6．如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，△A'B'C还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①④ B．②③ C．②④ D．③④

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

7．﹣2的相反数是　   　；的倒数是　   　．

8．计算﹣的结果是　   　．

9．分解因式（a﹣b）2+4ab的结果是　   　．

10．已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝　   　．

11．结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵　   　，∴a∥b．

12．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有　   　cm．

13．为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：

根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是　   　．

14．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝　   　．

15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长　   　．

16．在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是　   　．

三、解答题（本大题共11小题，共88分）

17．（7分）计算（x+y）（x2﹣xy+y2）

18．（7分）解方程：﹣1＝．

19．（7分）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．

20．（8分）如图是某市连续5天的天气情况．

（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；

（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．

21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．

（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？

（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是　   　．

22．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．

23．（8分）已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．

（1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围．

（2）当x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出k的取值范围．

24．（8分）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．

（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）

25．（8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

26．（9分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．

小明的作法

1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．

2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．

3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．

（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．

27．（11分）【概念认识】

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．

【数学理解】

（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝　   　．

②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是　   　．

（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．

（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．

【问题解决】

（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）

2019年江苏省南京市中考数学试卷答案

1． B．2． D．3． B．4． A．5． C．6． D．

7． 2，2．8． 0．9．（a+b）2．10． 1．11．∠1+∠3＝180°．12． 5．13． 7200．14． 219°．15． ．16． 4＜BC≤．17． x3+y3．

18．解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）去分母得，

x（x+1）﹣（x2﹣1）＝3，

即x2+x﹣x2+1＝3，

解得x＝2

检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝（2+1）（2﹣1）＝3≠0，

∴x＝2是原方程的解，

故原分式方程的解是x＝2．

19．证明：∵DE∥BC，CE∥AB，

∴四边形DBCE是平行四边形，

∴BD＝CE，

∵D是AB的中点，

∴AD＝BD，

∴AD＝EC，

∵CE∥AD，

∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，

∴△ADF≌△CEF（ASA）．

20．解：（1）这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是

＝＝24，＝＝18，

方差分别是

＝＝0.8，

＝＝8.8，

∴＜，

∴该市这5天的日最低气温波动大；

（2）25日、26日、27日的天气依次为大雨、中雨、晴，空气质量依次良、优、优，说明下雨后空气质量改善了．

21．解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，

∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为＝；

（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；

其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），

∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是；

故答案为：．

22．证明：连接AC，

∵AB＝CD，

∴＝，

∴+＝+，即＝，

∴∠C＝∠A，

∴PA＝PC．

23．解：（1）k＝﹣2时，y1＝﹣2x+2，

根据题意得﹣2x+2＞x﹣3，

解得x＜；

（2）当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，把（1，﹣2）代入y1＝kx+2得k+2＝﹣2，解得k＝﹣4，

当﹣4≤k＜0时，y1＞y2；

当0＜k≤1时，y1＞y2．

24．解：延长AB交CD于H，

则AH⊥CD，

在Rt△AHD中，∠D＝45°，

∴AH＝DH，

在Rt△AHC中，tan∠ACH＝，

∴AH＝CH•tan∠ACH≈0.51CH，

在Rt△BHC中，tan∠BCH＝，

∴BH＝CH•tan∠BCH≈0.4CH，

由题意得，0.51CH﹣0.4CH＝33，

解得，CH＝300，

∴EH＝CH﹣CE＝220，BH＝120，

∴AH＝AB+BH＝153，

∴DH＝AH＝153，

∴HF＝DH﹣DF＝103，

∴EF＝EH+FH＝323，

答：隧道EF的长度为323m．

25．解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，

依题意得：3x•2x•100+30（3x•2x﹣50×40）＝642000

解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．

所以3x＝90，2x＝60，

答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．

26．（1）证明：∵DE＝DG，EF＝DE，

∴DG＝EF，

∵DG∥EF，

∴四边形DEFG是平行四边形，

∵DG＝DE，

∴四边形DEFG是菱形．

（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝＝5，

则CD＝x，AD＝x，

∵AD+CD＝AC，

∴+x＝3，

∴x＝，

∴CD＝x＝，

观察图象可知：0≤CD＜时，菱形的个数为0．

如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．

∵DG∥AB，

∴＝，

∴＝，

解得m＝，

∴CD＝3﹣＝，

如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．

∵DG∥AB，

∴＝，

∴＝，

∴n＝，

∴CG＝4﹣＝，

∴CD＝＝，

观察图象可知：当0≤CD＜或＜CD≤时，菱形的个数为0，当CD＝或＜CD≤时，菱形的个数为1，当＜CD≤时，菱形的个数为2．

27．解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；

②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3，

∵0≤x≤2，

∴x+y＝3，

∴，

解得：，

∴B（1，2），

故答案为：3，（1，2）；

（2）假设函数的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，

根据题意，得，

∵x＞0，

∴，，

∴，

∴x2+4＝3x，

∴x2﹣3x+4＝0，

∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，

∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，

∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．

（3）设D（x，y），

根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|，

∵，

又x≥0，

∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，

∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．

（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，

设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．

理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G．

∵∠EFH＝45°，

∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，

同理d（O，P）＝OG，

∵OG≥OF，

∴d（O，P）≥d（O，E），

∴上述方案修建的道路最短