2019年江苏省常州市中考数学试卷与答案
展开1.﹣3的相反数是( )
A.B.C.3D.﹣3
2.若代数式有意义,则实数x的取值范围是( )
A.x=﹣1B.x=3C.x≠﹣1D.x≠3
3.如图是某几何体的三视图,该几何体是( )
A.圆柱B.正方体C.圆锥D.球
4.如图,在线段PA、PB、PC、PD中,长度最小的是( )
A.线段PAB.线段PBC.线段PCD.线段PD
5.若△ABC~△A′B'C′,相似比为1:2,则△ABC与△A'B′C'的周长的比为( )
A.2:1B.1:2C.4:1D.1:4
6.下列各数中与2+的积是有理数的是( )
A.2+B.2C.D.2﹣
7.判断命题“如果n<1,那么n2﹣1<0”是假命题,只需举出一个反例.反例中的n可以为( )
A.﹣2B.﹣C.0D.
8.随着时代的进步,人们对PM2.5(空气中直径小于等于2.5微米的颗粒)的关注日益密切.某市一天中PM2.5的值y1(ug/m3)随时间t(h)的变化如图所示,设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差(即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差),则y2与t的函数关系大致是( )
A.B.
C.D.
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分。不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
9.计算:a3÷a= .
10.4的算术平方根是 .
11.分解因式:ax2﹣4a= .
12.如果∠α=35°,那么∠α的余角等于 °.
13.如果a﹣b﹣2=0,那么代数式1+2a﹣2b的值是 .
14.平面直角坐标系中,点P(﹣3,4)到原点的距离是 .
15.若是关于x、y的二元一次方程ax+y=3的解,则a= .
16.如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的两点,∠AOC=120°,则∠CDB= °.
17.如图,半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切,连接OC,则tan∠OCB= .
18.如图,在矩形ABCD中,AD=3AB=3,点P是AD的中点,点E在BC上,CE=2BE,点M、N在线段BD上.若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等,则MN= .
三、解答题(本大题共10小题,共84分)
19.(8分)计算:
(1)π0+()﹣1﹣()2; (2)(x﹣1)(x+1)﹣x(x﹣1).
20.(6分)解不等式组并把解集在数轴上表示出来.
21.(8分)如图,把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠,点C落在点C′处,BC′与AD相交于点E.
(1)连接AC′,则AC′与BD的位置关系是 ;
(2)EB与ED相等吗?证明你的结论.
22.(8分)在“慈善一日捐”活动中,为了解某校学生的捐款情况,抽样调查了该校部分学生的捐款数(单位:元),并绘制成下面的统计图.
(1)本次调查的样本容量是 ,这组数据的众数为 元;
(2)求这组数据的平均数;
(3)该校共有600名学生参与捐款,请你估计该校学生的捐款总数.
23.(8分)将图中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.
(1)搅匀后从中摸出1个盒子,盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ;
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回),再从余下的2个盒子中摸出1个盒子,把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起,求拼成的图形是轴对称图形的概率.(不重叠无缝隙拼接)
24.(8分)甲、乙两人每小时共做30个零件,甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件?
25.(8分)如图,在▱OABC中,OA=2,∠AOC=45°,点C在y轴上,点D是BC的中点,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A、D.
(1)求k的值;
(2)求点D的坐标.
26.(10分)【阅读】
数学中,常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算,从而建立相等关系,我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理,是一种重要的数学思想.
【理解】
(1)如图1,两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积,并写出你发现的结论;
(2)如图2,n行n列的棋子排成一个正方形,用两种不同的方法计算棋子的个数,可得等式:n2= ;
【运用】
(3)n边形有n个顶点,在它的内部再画m个点,以(m+n)个点为顶点,把n边形剪成若干个三角形,设最多可以剪得y个这样的三角形.当n=3,m=3时,如图3,最多可以剪得7个这样的三角形,所以y=7.
①当n=4,m=2时,如图4,y= ;当n=5,m= 时,y=9;
②对于一般的情形,在n边形内画m个点,通过归纳猜想,可得y= (用含m、n的代数式表示).请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.
27.(10分)如图,二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣1,0),点D为OC的中点,点P在抛物线上.
(1)b= ;
(2)若点P在第一象限,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,PH与BC、BD分别交于点M、N.是否存在这样的点P,使得PM=MN=NH?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P的横坐标小于3,过点P作PQ⊥BD,垂足为Q,直线PQ与x轴交于点R,且S△PQB=2S△QRB,求点P的坐标.
28.(10分)已知平面图形S,点P、Q是S上任意两点,我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”.例如,正方形的宽距等于它的对角线的长度.
(1)写出下列图形的宽距:
①半径为1的圆: ;
②如图1,上方是半径为1的半圆,下方是正方形的三条边的“窗户形“: ;
(2)如图2,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,0)、B(1,0),C是坐标平面内的点,连接AB、BC、CA所形成的图形为S,记S的宽距为d.
①若d=2,用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示);
②若点C在⊙M上运动,⊙M的半径为1,圆心M在过点(0,2)且与y轴垂直的直线上.对于⊙M上任意点C,都有5≤d≤8,直接写出圆心M的横坐标x的取值范围.
2019年江苏省常州市中考数学试卷答案
1. C.2. D.3. A.4. B.5. B.6. D.7. A.8. B.
9. a2.10. 2.11. a(x+2)(x﹣2).12. 55.13. 5.14. 5.15. 1.16. 30.17. .18. 6.
19.解:(1)π0+()﹣1﹣()2=1+2﹣3=0;
(2)(x﹣1)(x+1)﹣x(x﹣1)=x2﹣1﹣x2+x=x﹣1;
20.解:解不等式x+1>0,得:x>﹣1,
解不等式3x﹣8≤﹣x,得:x≤2,
∴不等式组的解集为﹣1<x≤2,
将解集表示在数轴上如下:
21.解:(1)连接AC′,则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD,
故答案为:AC′∥BD;
(2)EB与ED相等.
由折叠可得,∠CBD=∠C'BD,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∴∠EDB=∠EBD,
∴BE=DE.
22.解:(1)本次调查的样本容量是6+11+8+5=30,这组数据的众数为10元;
故答案为:30,10;
(2)这组数据的平均数为=12(元);
(3)估计该校学生的捐款总数为600×12=7200(元).
23.解:(1)搅匀后从中摸出1个盒子,可能为A型(正方形)、B型(菱形)或C型(等腰直角三角形)这3种情况,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种,
∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是;
故答案为:;
(2)画树状图为:
共有6种等可能的情况,其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种:A和C,C和A,
∴拼成的图形是轴对称图形的概率为.
24.解:设甲每小时做x个零件,则乙每小时做(30﹣x)个零件,
由题意得:=,
解得:x=18,
经检验:x=18是原分式方程的解,
则30﹣18=12(个).
答:甲每小时做18个零件,则乙每小时做12个零件.
25.解:(1)∵OA=2,∠AOC=45°,
∴A(2,2),
∴k=4,
∴y=;
(2)四边形OABC是平行四边形OABC,
∴AB⊥x轴,
∴B的横纵标为2,
∵点D是BC的中点,
∴D点的横坐标为1,
∴D(1,4);
26.解:(1)有三个Rt△其面积分别为ab,ab和c2.
直角梯形的面积为(a+b)(a+b).
由图形可知:(a+b)(a+b)=ab+ab+c2
整理得(a+b)2=2ab+c2,a2+b2+2ab=2ab+c2,
∴a2+b2=c2.
故结论为:直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2=c2.
(2)n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2,每层棋子分别为1,3,5,7,…,2n﹣1.
由图形可知:n2=1+3+5+7+…+2n﹣1.
故答案为1+3+5+7+…+2n﹣1.
(3)①如图4,当n=4,m=2时,y=6,
如图5,当n=5,m=3时,y=9.
②方法1.对于一般的情形,在n边形内画m个点,第一个点将多边形分成了n个三角形,以后三角形内部每增加一个点,分割部分增加2部分,故可得y=n+2(m﹣1).
方法2.以△ABC的二个顶点和它内部的m个点,共(m+3)个点为顶点,可把△ABC分割成3+2(m﹣1)个互不重叠的小三角形.以四边形的4个顶点和它内部的m个点,共(m+4)个点为顶点,可把四边形分割成4+2(m﹣1)个互不重叠的小三角形.故以n边形的n个顶点和它内部的m个点,共(m+n)个点作为顶点,可把原n边形分割成n+2(m﹣1)个互不重叠的小三角形.故可得y=n+2(m﹣1).
故答案为:①6,3;②n+2(m﹣1).
27.解:(1)∵二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A(﹣1,0)
∴﹣1﹣b+3=
解得:b=2
故答案为:2.
(2)存在满足条件呢的点P,使得PM=MN=NH.
∵二次函数解析式为y=﹣x2+2x+3
当x=0时y=3,
∴C(0,3)
当y=0时,﹣x2+2x+3=0
解得:x1=﹣1,x2=3
∴A(﹣1,0),B(3,0)
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3
∵点D为OC的中点,
∴D(0,)
∴直线BD的解析式为y=﹣+,
设P(t,﹣t2+2t+3)(0<t<3),则M(t,﹣t+3),N(t,﹣t+),H(t,0)
∴PM=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,MN=﹣t+3﹣(﹣x+)=﹣t+,NH=﹣t+
∴MN=NH
∵PM=MN
∴﹣t2+3t=﹣t+
解得:t1=,t2=3(舍去)
∴P(,)
∴P的坐标为(,),使得PM=MN=NH.
(3)过点P作PF⊥x轴于F,交直线BD于E
∵OB=3,OD=,∠BOD=90°
∴BD==
∴cs∠OBD=
∵PQ⊥BD于点Q,PF⊥x轴于点F
∴∠PQE=∠BQR=∠PFR=90°
∴∠PRF+∠OBD=∠PRF+∠EPQ=90°
∴∠EPQ=∠OBD,即cs∠EPQ=cs∠OBD=
在Rt△PQE中,cs∠EPQ=
∴PQ=PE
在Rt△PFR中,cs∠RPF=
∴PR=PF
∵S△PQB=2S△QRB,S△PQB=BQ•PQ,S△QRB=BQ•QR
∴PQ=2QR
设直线BD与抛物线交于点G
∵﹣+=﹣x2+2x+3,解得:x1=3(即点B横坐标),x2=﹣
∴点G横坐标为﹣
设P(t,﹣t2+2t+3)(t<3),则E(t,﹣t+)
∴PF=|﹣t2+2t+3|,PE=|﹣t2+2t+3﹣(﹣t+)|=|﹣t2+t+|
①若﹣<t<3,则点P在直线BD上方,如图2,
∴PF=﹣t2+2t+3,PE=﹣t2+t+
∵PQ=2QR
∴PQ=PR
∴PE=•PF,即6PE=5PF
∴6(﹣t2+t+)=5(﹣t2+2t+3)
解得:t1=2,t2=3(舍去)
∴P(2,3)
②若﹣1<t<﹣,则点P在x轴上方、直线BD下方,如图3,
此时,PQ<QR,即S△PQB=2S△QRB不成立.
③若t<﹣1,则点P在x轴下方,如图4,
∴PF=﹣(﹣t2+2t+3)=t2﹣2t﹣3,PE=﹣t+﹣(﹣t2+2t+3)=t2﹣t﹣
∵PQ=2QR
∴PQ=2PR
∴PE=2•PF,即2PE=5PF
∴2(t2﹣t﹣)=5(t2﹣2t﹣3)
解得:t1=﹣,t2=3(舍去)
∴P(﹣,﹣)
综上所述,点P坐标为(2,3)或(﹣,﹣).
28.解:(1)①半径为1的圆的宽距离为1,故答案为1.
②如图1,正方形ABCD的边长为2,设半圆的圆心为O,点P是⊙O上一点,连接OP,PC,OC.
在Rt△ODC中,OC===
∴OP+OC≥PC,
∴PC≤1+,
∴这个“窗户形“的宽距为1+.
故答案为1+.
(2)①如图2﹣1中,点C所在的区域是图中正方形AEBF,面积为2.
②如图2﹣2中,当点M在y轴的右侧时,连接AM,作MT⊥x轴于T.
∵AC≤AM+CM,又∵5≤d≤8,
∴当d=5时.AM=4,
∴AT==2,此时M(2﹣1,2),
当d=8时.AM=7,
∴AT==2,此时M(2﹣1,2),
∴满足条件的点M的横坐标的范围为2﹣1≤x≤2﹣1.
当点M在y轴的左侧时,满足条件的点M的横坐标的范围为﹣2+1≤x﹣2+1.
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