湖北省荆州市沙市中学2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题（Word版附答案）
展开2023—2024学年度上学期2022级
9月月考数学试卷
考试时间：2023年9月14日
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，其中某一个体“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（ ）
A．、 B．、
C．、 D．、
2．已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，元件通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是
A．0.729 B．0.8829
C．0.864 D．0.9891
6．同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件“点数之和为7”，事件“点数之和为3的倍数”，则（ ）
A．为不可能事件 B．与为互斥事件
C．为必然事件 D．与为对立事件
7．袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球上数字是1”，表示事件“第二次取出的球上数字是2”，表示事件“两次取出的球上数字之和是5”，表示事件“两次取出的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出（ ）
A．B与D相互独立 B．A与D相互独立
C．B与C相互独立 D．C与D相互独立
8．在边长为1的菱形ABCD中，，将沿对角线AC折起得三棱锥. 当三棱锥体积最大时，此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若空间中的O，A，B，C，满足，则A，B，C，三点共线
B．空间中三个向量，，，若，则，，共面
C．对空间任意一点和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D．设是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底
10．已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
11．如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点为侧面内 （不含边界）的动点，则（ ）
A．
B．存在一点，使得
C．三棱锥的体积为
D．若，则面积的最小值为
12．已知长方体的棱，，点满足：，、、，下列结论正确的是（ ）
A．当，时，到的距离为
B．当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为
C．当时，点的到平面的距离的最大值为1
D．当，时，四棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，若点P在平面ABC内，且，则实数 ．
14．如图，在二面角中，且，垂足分别为A，B，已知，=12，则二面角所成平面角为 ．
15．如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为 ．
16．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.
(1)求B；
(2)若，且的面积为，是的中线，求的长.
18．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数；
(2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差.
19．为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（），且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
(1)求p和q的值；
(2)求甲、乙两人共答对3道题的概率．
20．我省从2021年开始，高考不分文理科，实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门。已知福建医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门。
(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率；
(2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率.
21．如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．
(1)证明：；
(2)若为上的动点，与平面所成最大角的正弦值为，求二面角的余弦值.
22．如图，在矩形ABCD中，，，M是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点A到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影E落在线段BC上.
(1)当点M与端点D重合时，证明：平面；
(2)求三棱锥的体积的最大值；
2023-2024学年度高中数学9月月考卷
1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】C
8．【答案】C 9．【答案】ABC 10．【答案】BCD 11．【答案】ACD 12．【答案】BD
【详解】A：，则，即，故在上运动，
所以到的距离为，即棱与的距离，错；
B：，则，故在上运动，
根据长方体的结构易知：当与重合时，直线与面所成角正切值的最大值为，对；C：，则，故在底面上运动，
所以，当在上时，的到平面的距离最大，
而，面，面，则面，
所以，由长方体结构特征，最大值问题化为到的距离，，则，错；
D：，则，故为中点，
如下图，，，
所以的底面为矩形，顶点在的投影为底面中心，即的交点，故外接球的球心一定在直线上，令球体半径为R，
所以，，且，
可得，则外接球的表面积为，对.故选：CD
13．【答案】． 14．【答案】120° 15．【答案】/-0.125
【详解】连接，如图，因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB，则平面PAB，又平面PAB，即有，
因M是AC的中点，则，又，
，当且仅当取“=”，
所以的最小值为.故答案为：
16．【答案】
17．【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
即，即，
又因为，所以，所以.又因为，所以，
所以，所以.
（2）因为，所以得，由余弦定理得：.
又，所以，
得，故的长为.
18．【答案】(1)32.25，第80百分位数为37.5(2)10
【详解】（1）设这20人的平均年龄为，则
.
设第80百分位数为，由，解得.
（2）由频率分布直方图得各组人数之比为，
故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取人和人，
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
则，，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.
19．【答案】(1)，(2)
【详解】（1）设A：甲同学答对第一题，B：乙同学答对第一题，则，．
设C：甲、乙两人均答对第一题，D：甲、乙两人恰有一人答对第一题，
则，．
∵甲、乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，
∴A与B相互独立，与互斥，
∴,．
由题意得解得或∵，∴，．
（2）设：甲同学答对了i道题，:乙同学答对了i道题，．
由题意得，，，．
设E：甲、乙两人共答对3道题，则，
∴，∴甲、乙两人共答对3道题的概率为．
20．【答案】(1)(2)
【详解】（1）用a，b分别表示“选择物理”“选择历史”，用c，d，e，f分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，则所有选科组合的样本空间，∴，
设“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，
则，∴，∴.
（2）设甲、乙、丙三人每人的选科组合符合医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别是，，，
由题意知事件，，相互独立由（1）知.
记“甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，
则易知事件，，两两互斥，
根据互斥事件概率加法公式得
.
21．【答案】(1) 详见解析；（2）.
试题解析：(1)证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．
因为为的中点，所以又，因此因为平面，平面，所以而平面，平面且
所以平面．又平面所以. (3分)
(2)解：设，为上任意一点，连接．由(1)知平面
所以为与平面所成的角在中，，
所以当最短时，最大，即当时，最大．
因为，此时
因此．又，所以，所以． (5分)
解法一：因为平面，平面所以平面平面过作于，则平面过作于，连接，则为二面角的平面角 (7分)
在中，，又是的中点，在中，又在中， 即所求二面角的余弦值为． (10分)
22．【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）当点M与端点D重合时，由可知，由题意知上平面，平面，所以，又，，平面，平面，
所以平面，又平面，可知，平面，
平面，所以平面
（2）矩形中作，垂足为点O，折起后得，
由平面，平面，可得，所
平面，，所以平面，
平面，可得，所以A，O，E三点共线，
因此与相似，满足，
设，所以，，，，，
要使点射影落在线段上，则，所以，所以，当时，.
（3）过点做交于，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，由（2）可知平面，平面，所以平面平面，
作，垂足为，平面平面，平面，可得平面，
连接，是直线与平面所成的角，即，
由题意可得，，因为，，所以是二面角平面角，即，，
，当且仅当时“＝”成立，
湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题（Word版附答案）： 这是一份湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高二数学上学期9月月考试题（Word版附答案），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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