初中数学浙教版八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理习题

第2章　特殊三角形

2.4　等腰三角形的判定定理

基础过关全练

知识点1　等腰三角形的判定

1.【新情境·平板保护套】(2023浙江嘉兴桐乡六中教育集团三校联考)将一平板保护套展开放置在水平桌面上,其侧面示意图如图所示,若∠ABC=∠ACB,AB=10 cm,则AC的长为(　　)

A.10 cm　　　　B.11 cm　　　　C.12 cm　　　　D.13 cm

2.【教材变式·P64T4】如图,在△ABC中,∠A=80°,∠C=40°,∠ABC的平分线交AC于点D,点E为AB上一点,且∠AED=60°,BE=3,则DE的长为(　　)

A.4　　　　B.3　　　　C.5　　　　D.1.5

3.【分类讨论思想】(2023浙江杭州上城丁兰实验中学期中)在△ABC中,∠B=20°,∠A=110°,点P在△ABC的三边上运动,当△PAC是等腰三角形时,顶角的度数为　　　 　.

知识点2　等边三角形的判定

4.【新情境·衣架】由于木质衣架没有柔性,所以在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图,衣架杆OA=OB=18 cm,当衣架收拢时,∠AOB=60°,则此时A,B两点之间的距离是(　　)

A.9 cm　　　　B.16 cm　　　　C.18 cm　　　　D.20 cm　　

5.(2023浙江温州龙港期中)如图,上午8时,渔船从A处出发,以

20海里/小时的速度向正西方向航行,9时30分到达B处.从A处测得灯塔C在南偏西30°方向上,距A处30海里,则B处到灯塔C的距离是(　　)

A.20海里　　　　B.25海里　　　　C.30海里　　　　D.35海里

能力提升全练

6.【一题多变】(2023浙江温州瑞安六校联考,13,★★☆)如图,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=6 cm,则CD的长为　　　　cm. 

[变式1]　(2022浙江杭州拱墅期中,14,★★☆)如图,∠ABC的平分线BF与△ABC的外角∠ACG的平分线CF相交于F,过F作DF∥BC,交AB于D,交AC于E,若BD=8 cm,CE=5 cm,则DE的长为　　　　. 

[变式2]　如图,在△ABC中,BC=5 cm,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长是　　　　.

7.【构造等腰三角形】(2023浙江杭州拱墅期中,15,★★☆)如图,已知点D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若AC=6,BC=4,则BD的长为　　　　.

8.【角平分线+平行模型】(2022浙江温州中考,20,★★☆)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC交AB于点E,连结BD.

(1)求证:∠EBD=∠EDB;

(2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.

9.【一题多解】(2022湖南怀化中考,22,★★☆)如图,在等边三角形ABC中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,连结MN交AC于点P,MH⊥AC于点H.

(1)求证:MP=NP;

(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).

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10.【抽象能力】(2023浙江温州乐清荆山公学月考)如图,△ABC中,AB=BC,点D为AB的中点,且CD⊥AB.点P在线段BC上以

a cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上以b cm/s的速度由C点向A点运动,连结PD,DQ.

(1)求证:∠A=∠B;

(2)在点P、Q运动的过程中,当△PBD≌△DAQ时,求的值;

(3)设△ADQ的面积为S1,△BPD的面积为S2,在点P、Q运动的过程中,当点C、D关于直线PQ对称时,求的值.

答案全解全析

基础过关全练

1.A　∵∠ABC=∠ACB,AB=10 cm,∴AC=AB=10 cm.故选A.

2.B　∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∠A=80°,∠C=40°,

∴∠ABC=180°-80°-40°=60°,∵∠AED=60°,

∴∠AED=∠ABC,∴DE∥BC,∴∠EDB=∠DBC,

∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠EBD,∴∠EDB=∠EBD,

∴DE=BE=3.故选B.

3.答案　110°或50°或80°

解析　∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°-∠A-∠B=50°.当点P在AB边上,PA=AC时,△PAC的顶角∠A=110°.当点P在BC边上,AC=PC时,△PAC的顶角∠C=50°.当点P在BC边上,PA=AC时,∠APC=∠C=50°,∴△PAC的顶角∠PAC=180°-2×50°=80°.当点P在AC边上时,不存在.综上,当△PAC是等腰三角形时,顶角的度数为110°或50°或80°.

4.C　∵OA=OB,∠AOB=60°,∴△AOB为等边三角形,∴A、B两点之间的距离=OA=OB=18 cm.故选C.

5.C　如图,连结BC,

根据题意可得∠1=30°,AB=20×=30(海里),

∴∠BAC=90°-∠1=60°,∵AC=30海里,∴AB=AC,

∴△ABC是等边三角形,∴BC=AC=30海里.故选C.

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6.答案　6

解析　∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC,又∵CD∥OB,

∴∠C=∠BOC,∴∠C=∠AOC,∴CD=OD=6 cm.

[变式1]　答案　3 cm

解析　∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG,∴∠DBF=∠CBF,

∠FCE=∠FCG,∵DE∥BC,∴∠DFB=∠CBF,∠EFC=∠FCG,

∴∠DBF=∠DFB,∠FCE=∠EFC,

∴FD=BD=8 cm,EF=CE=5 cm,∴DE=FD-EF=8-5=3(cm).

[变式2]　答案　5 cm

解析　∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,

∴∠ABP=∠DBP,∠ACP=∠ECP,

∵PD∥AB,PE∥AC,∴∠ABP=∠DPB,∠ACP=∠EPC,

∴∠DPB=∠DBP,∠EPC=∠ECP,∴BD=PD,CE=PE,

∴BC=BD+DE+CE=PD+DE+PE,

∵BC=5 cm,∴△PDE的周长=PD+DE+PE=5 cm.

7.答案　1

解析　延长BD交AC于点E,如图所示,∵CD平分∠ACB,

∴∠BCD=∠ECD,∵BD⊥CD,∴∠BDC=∠EDC,

在△BCD与△ECD中,

∴△BCD≌△ECD,∴BD=ED,EC=BC=4,

∴AE=AC-EC=6-4=2,∵在△ABE中,∠A=∠ABD,

∴BE=AE=2,∴BD=BE=1.

8.解析　(1)证明:∵BD是△ABC的角平分线,

∴∠CBD=∠EBD.

∵DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB.

(2)CD=ED.理由如下:

∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.

∵DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC,

∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,

∴AC-AD=AB-AE,即CD=BE.

由(1)得∠EBD=∠EDB,∴BE=ED,∴CD=ED.

9.解析　解法一(作平行):(1)证明:如图所示,过点M作MQ∥CN

交AC于点Q,

∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠ACB=60°,

∵MQ∥CN,∴∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,

∴∠AMQ=∠AQM=∠A=60°,

∴△AMQ为等边三角形,∴MQ=AM=CN,

又∵MQ∥CN,∴∠QMP=∠CNP,

在△MQP与△NCP中,

∴△MQP≌△NCP,∴MP=NP.

(2)∵△AMQ为等边三角形,且MH⊥AC,

∴AH=HQ,∵△ABC为等边三角形,∴AC=AB=a,

由(1)知,△MQP≌△NCP,∴PQ=PC,

∴PH=HQ+PQ=a.

解法二(作垂直):(1)证明:如图所示,过点N作NQ⊥AC交AC的延长线于点Q,

∵MH⊥AC,NQ⊥AQ,

∴∠MHA=∠MHP=∠NQC=90°,

∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ACB=60°,

∵∠NCQ=∠ACB=60°,∴∠A=∠NCQ,

在△AMH和△CNQ中,

∴△AMH≌△CNQ,∴MH=NQ,

在△MPH和△NPQ中,

∴△MPH≌△NPQ,∴MP=NP.

(2)由(1)知,△AMH≌△CNQ,

∴AH=CQ,∴HQ=HC+CQ=HC+AH=AC,

∵△ABC是等边三角形,

∴AC=AB=a,∴HQ=AC=a,

由(1)知,△MPH≌△NPQ,

∴PH=PQ=a.

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10.解析　(1)证明:∵点D为AB的中点,CD⊥AB,

∴AC=BC,∴∠A=∠B.

(2)由题意得BP=at cm,CQ=bt cm,设AB=4x cm,则BC=5x cm,

∵AC=BC,点D为AB的中点,

∴AQ=(5x-bt)cm,AD=BD=2x cm,

∵△PBD≌△DAQ,∴BP=AD,BD=AQ,

∴解得3at=2bt,∴.

(3)∵点C、D关于直线PQ对称,

∴PQ垂直平分CD,∴CQ=DQ,∴∠QDC=∠QCD,

∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,

∴∠A+∠ACD=180°-90°=90°=∠ADQ+∠CDQ,

∴∠A=∠ADQ,∴AQ=DQ,∴AQ=CQ,

∴S1=S△ACD=S△ACB,

同理S2=S△ABC,∴=1.