安徽省太和一中2021届高三二模数学（文）试题 Word版含答案

太和一中2020-2021学年度高三二模

文科数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则

A.  B.  C.  D.

2.命题“，的否定是

A. ，   B. ，

C. ，  D. ，

3.已知函数，则

A.  B.  C.  D.

4.若，，，则，，的大小关系为

A.  B.  C.  D.

5.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进79米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为

A.65米 B.74米 C.83米 D.92米

6.已知在四边形中，，，，则

A.4 B.3 C.2 D.1

7.若函数的极值为1，则实数的值为

A.  B.2 C.  D.1

8.函数的图象大致为

        A.          B.                  C.                  D.

9.若，，则

A.  B.0 C.  D. 或0

10.已知函数的零点位于区间，上，则

A.  B.  C.  D.

11. 若，为正实数，且，则的最小值为

A.  B.  C.2 D.4

12.数学中一般用表示，中的较小值.关于函数有如下四个命题：

①的最小正周期为；②的图象关于直线对称；

③的值域为；④在区间上单调递增.

其中是真命题的是

A.②④ B.①② C.①③ D.③④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若变量，满足约束条件，则的最大值为____________.

14.已知向量，，若，则____________.

15.已知函数为上的奇函数，当时，，且曲线在点处的切线斜率为2，则____________.

16.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积是，则____________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

已知等比数列的前项和为，，是和的等差中项.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和.

18.（12分）

为了加快恢复疫情过后的经济，各地旅游景点相继推出各种优惠政策，刺激旅游消费.8月份某景区一纪念品超市随机调查了180名游客到该超市购买纪念品的情况，整理数据，得到下表：

（Ⅰ）估计8月份游客到该超市购买纪念品不少于90元的概率；

（Ⅱ）估计8月份游客到该超市购买纪念品金额的平均值（结果精确到0.1，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（Ⅲ）完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.5％的把握认为购买纪念品的金额与年龄有关.

附： ，.

19.（12分）

如图，在四棱锥中，，，，，为的中点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求点到平面的距离.

20.（12分）

已知函数.

（Ⅰ）若，讨论的单调性；

（Ⅱ）若有两个零点，求实数的取值范围

21.（12分）

已知椭圆的长轴长为4，上顶点为，左、右焦点分别为，，且，为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程.

（Ⅱ）设点，为椭圆上的两个动点，若，问：点到直线的距离是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由.

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

已知在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和的普通方程；

（Ⅱ）设曲线与曲线相交于，两点，求的值.

23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）

已知函数.

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若的最小值为，且实数，满足，求的最小值.

太和一中2020-2021学年度高三二模

文科数学·答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.

1.C 2.D 3.B 4.A 5.B

6.C 7.D 8.B 9.A 10.D

11.B 12.A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.6 14.1或3 15.-2 16.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.【命题意图】本题考查等差、等比数列的性质，数列的前项和.

【解析】（Ⅰ）设数列的公比为.

因为是和的等差中项，所以，……………………………………………………（1分）

即，

整理得，解得.………………………………………………………………（3分）

所以，…………………………………………………………………………………………（4分）

所以.………………………………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.…………………………………………………………………………（7分）

所以①，

②，………………………………………………………………………（9分）

由①-②，可得，

所以.…………………………………………………………………………………………（12分）

18.【命题意图】本题考查用样本估计总体，独立性检验的应用.

【解析】（Ⅰ）估计8月份游客到该超市购买纪念品不少于90元的概率为.………（3分）

（Ⅱ）估计8月份游客到该超市购买纪念品金额的平均值为

.…………………………（6分）

（Ⅲ）填写2×2列联表，如下：

…………………………………………………………………………………………………………………（8分）

则，…………………………………………（11分）

因此，有99.5％的把握认为购买纪念品的金额与年龄有关.……………………………………………（12分）

19.【命题意图】本题考查线面平行的证明，三棱锥的体积，点到平面的距离.

【解析】（Ⅰ）取的中点，连接，.

因为为的中点，所以.……………………………………………………………………（1分）

因为，所以.…………………………………………………………………………（2分）

又，，所以四边形是矩形，所以.………………………………（3分）

因为，，所以平面.……………………………（5分）

因为，所以.……………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）因为为的中点，所以点到平面的距离是点到平面距离的.…………（7分）

因为，，，所以.所以.

所以.…………………………………………（9分）

在中，，，

所以.……………………………………………………………………（10分）

设点到平面的距离为，

则，解得.……………………………………………………………（11分）

所以点到平面的距离是.……………………………………………………………………（12分）

20.【命题意图】本题考查导数及其应用，考查根据函数的零点个数求参数取值范围.

【解析】（Ⅰ）当时，，

.…………………………………………………………………………………（1分）

令，解得.……………………………………………………………………（2分）

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

综上在上单调递减，在上单调递增.………………………………………（4分）

（Ⅱ）.

当时，，单调递减，此时仅有1个零点，不满足题意.…………………（6分）

当时，令，解得.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以.…………………………………………………（8分）

因为有两个零点，所以，即，解得.…………………………（9分）

当时，，

而，.

令，当时，

，则，

故存在两个零点. ………………………………………………………………………………………（11分）

所以实数的取值范围是.…………………………………………………………………………（12分）

21.【命题意图】本题考查椭圆的性质以及应用，直线与椭圆的位置关系，定值问题.

【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，由已知可得，解得.………………………………（1分）

因为，

易得在中，，，，

.

所以，解得.…………………………………………………………………（3分）

所以椭圆的方程为.…………………………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，.

由可得.

结合椭圆的对称性，可设，，则.……………………………………………（5分）

将点代入椭圆的方程，得，

解得，所以.………………………………………………………………………（6分）

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

此时点到直线的距离，即.………………………………………………（7分）

设，，由

可得，

则，得.

所以，.………………………………………………………………（8分）

所以

.………………………………………………（9分）

又因为，所以，

即，解得.…………………………………………………………（10分）

所以，得.………………………………………………………………………………（11分）

综上所述，点点到直线的距离是，是定值.……………………………………………（12分）

22.【命题意图】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根与系数关系的应用.

【解析】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，即.………………（2分）

曲线的参数方程为（为参数），

消去参数，可得的普通方程为.………………………………………………（4分）

（Ⅱ）曲线的参数方程可写为（为参数），………………………………………（6分）

代入曲线的普通方程，得，整理得.………………………（7分）

设，所对应的参数分别为，，则………………………………………………（8分）

所以.…………………………………………………………………（10分）

23.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想.

【解析】（Ⅰ）…………………………………………（2分）

由，可得或或……………………………………（3分）

解得或或.………………………………………………………………………（4分）

所以不等式的解集为.…………………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）易求得，即.……………………………………（6分）

所以，即.………………………………………………………………（7分）

因为点到直线的距离，…………………………（9分）

所以的最小值为.………………………………………………………………（10分）