广东省广州市2020届高三二模考试数学（文）试题 Word版含解析

这是一份广东省广州市2020届高三二模考试数学（文）试题 Word版含解析，共25页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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2020年广州市高考数学二模试卷（文科）
一、选择题（共12小题）．
1.若集合A＝{x|2﹣x≥0}，B＝{x|0≤x≤1}，则A∩B＝（ ）
A. [0，2] B. [0，1] C. [1，2] D. [﹣1，2]
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出集合A，再利用交集定义求出A∩B．
【详解】解：∵集合A＝{x|2﹣x≥0}＝{x|x≤2}，B＝{x|0≤x≤1}，
∴A∩B＝{x|0≤x≤1}＝[0，1]．
故选：B．
【点睛】本题考查交集的概念及运算，属于基础题.
2.已知i为虚数单位，若，则（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件，结合复数的运算可得，由模长公式可得答案．
【详解】∵，
∴，
故.
故选：B．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的相关概念，考查计算能力，属于基础题.
3.已知角的项点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，若点在角的终边上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用任意角的三角函数的定义求解即可．
【详解】∵点在角的终边上，∴，
故选：C．
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.
4.若实数x，y满足，则的最小值是（ ）
A. 2 B. C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
由实数x，y满足，作出可行域，将目标函数转化为，平移直线，当直线在y轴上截距最大，目标函数取得最小值.
【详解】由实数x，y满足，作出可行域如图阴影部分：

将目标函数转化为，平移直线，
当直线经过点，在y轴上截距最大，
此时，目标函数取得最小值，最小值为
故选：B．
【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想与方法，属于基础题.
5.已知函数f（x）＝1+x3，若a∈R，则f（a）+f（﹣a）＝（ ）
A. 0 B. 2+2a3 C. 2 D. 2﹣2a3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由函数的解析式求出f（a）与f（﹣a）的表达式，进而计算可得答案．
【详解】解：根据题意，函数f（x）＝1+x3，
则f（a）＝1+a3，f（﹣a）＝1+（﹣a）3＝1﹣a3，
则有f（a）+f（﹣a）＝2；
故选：C．
【点睛】本题考查了利用函数解析式求函数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
6.若函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（　　）

A. 是函数图象的一个对称中心
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到
【答案】A
【解析】
【分析】
先由图象可知，再把点代入函数解析式，结合，可求得，从而确定函数的解析式为．然后根据正弦函数的对称中心、对称轴和单调性以及平移变换法则逐一判断每个选项即可．
【详解】由图可知，，
函数的图象经过点，，
，即，
，，，，
令，则，
当时，对称中心为，即A正确；
令，则，
不存在使其对称轴为，即B错误；
令，
则，
当时，函数的单调递增区间为，即C错误；
的图象向左平移个单位得到，即D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查利用三角函数图象求函数解析式，同时也考查了正弦型函数的对称性、单调性以及三角函数图象变换，考查推理能力，属于中等题.
7.《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r，正方形的边长为a（0＜a＜r），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p，则圆周率π的值为（　　）

A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算圆形钱币的面积和正方形的面积，利用几何概型的概率公式求出p，则π可求．
【详解】圆形钱币的半径为rcm，面积为S圆＝π•r2；
正方形边长为acm，面积为S正方形＝a2．
在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是
p1，
所以π．
故选：A．
【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是棱AB的中点，动点F是侧面ACC1A1（包括边界）上一点，若EF//平面BCC1B1，则动点F的轨迹是（ ）
A. 线段 B. 圆弧
C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分
【答案】A
【解析】
【分析】
分别取AC，A1C1，A1B1的中点N，F，M，连接ME，MF，NE，EF，证明N，E，M，F共面，利用线面平行证明EF∥平面BCC1B1，则轨迹可求
【详解】如图所示：

分别取AC，A1C1，A1B1的中点N，F，M，连接ME，MF，NE，EF，
因为E为AB的中点，所以NE∥BC且NE，FM∥B1C1，MFB1C1，
所以N，E，M，F共面，
所以ME∥BB1，NE∥BC，
所以ME∥平面BCC1B1，NE∥平面BCC1B1
而NE∩ME＝E，BC∩BB1＝B，
所以面NEMF∥平面BCC1B1，而EF面MN，
所以EF∥平面BCC1B1，
所以要使EF∥平面BCC1B1，则动点F的轨迹为线段FN．
故选：A．
【点睛】本题主要考查线线平行，线面平行，面面平行的转化，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.
9.已知函数，则的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用函数的单调性，分类讨论求得x的范围．
【详解】∵函数，则f（x）＜f（x+1），
∴当x≤0时，则x+1≤1，则不等式f（x）＜f（x+1），即x2﹣1＜（x+1）2﹣1，求得x≤0．
当01，则不等式f（x）＜f（x+1），
此时f（x）=x2﹣1＜0＜f（x+1）=log2（x+1），∴0 当x＞1时，不等式f（x）＜f（x+1），即 log2x＜log2（x+1），求得x＞1．
综上可得，不等式的解集为（，+∞），
故选：C．
【点睛】本题主要考查分段函数与不等式的综合，涉及到二次函数、对数函数的单调性及值域的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题．
10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB＝6,c＝3,B＝2C,则cosC的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得，进而根据余弦定理即可求解的值．
【详解】解：，，，
由正弦定理,可得,可得，
，设的外接圆半径为，
由正弦定理可得，
又，可得，
可得，，可得，
，则为锐角，解得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意确定合适的三角函数公式互化求解，属于中档题.
11.若关于x的不等式2lnx≤ax2+（2a﹣2）x+1恒成立，则a的最小整数值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件先参变分离得：，令g（x），问题转化为 ，再对求导判断其单调性，求解，从而得到a的最小整数值.
【详解】若关于x的不等式2lnx≤ax2+（2a﹣2）x+1恒成立，
问题等价于a在（0，+∞）恒成立，
令g（x），则g′（x），
令h（x）x﹣lnx，（x＞0），
则h′（x）0，
故h（x）在（0，+∞）递减，
又，，
所以存在，使得，即，
所以x∈（1，x0）时，g′（x）＞0，g（x）递增，
x∈（x0，2）时，g′（x）＜0，g（x）递减，
∴g（x）max＝g（x0），
又，
所以g（x）max＝g（x0），
又1＜x0＜2，
∴，
∴a≥1，a的最小整数值是1.
故选：B．
【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围问题，解题关键在于若能参变分离先分离，分离之后转化为利用导数求函数的最值问题，考查运算和分析转化能力，属于中档题.
12.过双曲线C：1（a＞0，b＞0）右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，与双曲线交于点A，若 ，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. y＝±x B. y＝±x C. y＝±2x D. y＝±x
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题意画出图形，不妨设一条渐近线方程为，求得直线F2P：y,与已知渐近线方程联立求得点P的坐标，再由向量等式求得A的坐标，代入双曲线方程整理即可求得双曲线C的渐近线方程．
【详解】如图，不妨设双曲线的一条渐近线方程为，

则F2P所在直线的斜率为，直线F2P的方程为：y，
联立，解得P（），
设A（x0，y0），由，得（，）＝3（x0﹣c，y0），
所以 ，
解得： ，即A（，），
代入1，得，
整理得：，
解得：，所以，
∴双曲线C的渐近线方程为y．
故选：A．
【点睛】本题考查双曲线的性质、渐近线方程的求法，考查向量关系的坐标表示，考查计算能力和分析转化能力，属于中档题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知向量，，若与共线，则实数的值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据向量共线的坐标表示，列出方程求解，即可得出结果.
【详解】根据题意，向量，，
若与共线，则有，解得；
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.
14.已知等比数列{an}是单调递增数列，Sn为{an}的前n项和，若a2＝4，a1+a3＝10，则S4＝_____．
【答案】30
【解析】
【分析】
设等比数列{an}的公比为q，由a2＝4，a1+a3＝10，及等比数列{an}是单调递增数列解得q，再利用求和公式即可得出．
【详解】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2＝4，a1+a3＝10，
∴4q＝10，化为：2q2﹣5q+2＝0，
解得q＝2或．
∵等比数列{an}是单调递增数列，，
∴q＝2．
∴a12．
则S430．
故答案为：30．
【点睛】本题考查求等比数列的前项和，方法是基本量法，即求出数列的首项和公比，然后由公式直接计算．
15.斜率为的直线过抛物线的焦点，若直线与圆相切，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】
求出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求解即可．
【详解】解：斜率为的直线过抛物线的焦点，
直线的方程为，即，
直线与圆相切，圆心为，半径为，
，解得或（舍去）.
故答案为：.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查抛物线的焦点坐标，解题时由抛物线焦点坐标写出直线方程，由圆心到直线距离等于半径即可求解．
16.正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2,侧棱长为2,过点A作一个与侧棱PC垂直的平面α,则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为_____,平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为_____.
【答案】 (1). (2). （或2）
【解析】
【分析】
由已知得△PAC为正三角形,取PC的中点G,得AG⊥PC,且AG.然后证明AG⊥EF,且求得AG与EF的长度,可得截面四边形的面积；再求出四棱锥P﹣AEGF的体积与原正四棱锥的体积,则平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值可求.
【详解】解：如图,

在正四棱锥P﹣ABCD中,由底面边长为2,侧棱长为,
可得△PAC为正三角形,取PC的中点G,得AG⊥PC,且AG.
设过AG与PC垂直的平面交PB于E,交PD于F,连接EF,
则EG⊥PC,FG⊥PC,可得Rt△PGE≌Rt△PGF,得GE＝GF,PE＝PF,
在△PAE与△PAF中,由PA＝PA,PE＝PF,∠APE＝∠APF,得AE＝AF.
∴AG⊥EF.
在等腰三角形PBC中,由PB＝PC＝2,BC＝2,得cos∠BPC,
则在Rt△PGE中,得.
同理PF,则EF∥DB,得到.
∴；
则.
又,
∴平面α将此正四棱锥分成的上下两部分体积的比为.
故答案为：；（或2）.
【点睛】本题主要考查了锥体中的截面计算问题,需要根据线面垂直的性质求出截面四边形,再根据三角形中的关系求解对应的边长以及面积等.属于难题.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn＝n（n+2）（n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn,求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】（1）an＝2n+1；（2）Tn.
【解析】
【分析】
（1）由n＝1时求得a1,当n≥2时,由Sn＝n（n+2）（n∈N*）① ,
可得Sn﹣1＝（n﹣1）（n+1）② ,由①﹣②得an＝2n+1,再检验当n＝1时是否适合,求得an；
（2）由（1）求得bn再利用错位相减法求其前n项和Tn即可.
【详解】解：（1）由题知：当n＝1时,有S1＝1×3＝3＝a1；
当n≥2时,由Sn＝n（n+2）（n∈N*）① ,
可得Sn﹣1＝② ,由①﹣② 得an＝2n+1,
又n＝1时也适合,故an＝2n+1；
（2）由（1）知bn,
∵Tn＝357×（）3+…+（2n+1）•（）n③,
∴35×（）3+…+（2n+1）④,
由③﹣④可得：

,
所以Tn.
【点睛】本题主要考查了根据数列的前项和求解通项公式的方法,同时也考查了错位相减求和的方法,属于中档题.
18.如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，．

（1）求证：；
（2）若，，三棱锥的体积为，且点在侧面上的投影为点，求三棱锥的表面积．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由侧面为菱形，得，再由，为的中点，得，利用直线与平面垂直的判定可得平面，从而得到；
（2）点在侧面上的投影为点，即平面，设，由三棱锥的体积为求解，再求解三角形可得三棱锥的表面积．
【详解】（1）证明：∵侧面菱形，∴，
又，为的中点，∴，
而，∴平面，得；
（2）解：点在侧面上的投影为点，即平面，
在菱形中，∵，∴为等边三角形，
又，设，则，
，
则，即．
在平面中，过作，连接，
可得OE，则．
∴，同理可得．
则三棱锥的表面积为．

【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求三棱锥的表面积问题，属于常考题型.
19.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数（百分制）随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健康指数的数据模糊不清（用x表示），已知这30名职工的健康指数的平均数为76.2．

（1）根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；
（2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率；
（3）经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据（即剔除x）健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差（结果精确到0.1）．
【答案】（1）众数是76，中位数是81；（2）；（3）平均数为69，方差约为174.2．
【解析】
【分析】
（1）根据茎叶图中数据，计算样本中男职工健康指数的众数和中位数即可；
（2）根据分层抽样原理求出抽取的男、女职工人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值即可；
（3）根据题意求出x的值，再计算健康指数的平均数和方差．
【详解】（1）根据茎叶图，得到样本中男职工健康指数的众数是，
中位数是；
（2）根据茎叶图，按男女用分层抽样从这名职工中随机抽取人，
抽样比
男职工抽（人），记为，女职工人，记为，
从这人中随机抽取人，所有的基本事件是、、、、、
、、、、共种，
抽取的人都是男职工的事件为、、，
故所求的概率为P；
（3）由题意知: ，解得；
所以样本中所有女职工的健康指数平均数为，
方差为.
【点睛】本题第一问考查众数和中位数，第二问考查古典概型，第三问考查方差和平均数，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.
20.已知椭圆：过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意得,再由离心率求出，进而得出，即可得到椭圆的方程．
（2）设直线的方程：，，，联立直线与椭圆的方程得到关于的一元二次方程，由韦达定理可得，，的值和，即①，根据线段中点，写出线段的垂直平分线的方程为，将点代入，得，代入①式即可得到的取值范围．
【详解】（1）因为椭圆过点，
且离心率为，
所以椭圆的方程为：．
（2）设直线的方程：，，，
联立直线与椭圆的方程联立得：
.

整理得：①
，，
.
因为线段中点，
所以线段的垂直平分线的方程为，
又因为线段的垂直平分线过点，
所以，即，
所以，
代入①式得：，
整理得：，即
解得或，
所以的取值范围为：．
【点睛】本题第一问考查椭圆的方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，属于较难题.
21.已知函数f（x）＝lnx﹣sinx,记f（x）的导函数为f'（x）.
（1）若h（x）＝axf'（x）是（0,+∞）上的单调递增函数,求实数a的取值范围；
（2）若x∈（0,2π）,试判断函数f（x）极值点个数,并说明理由.
【答案】（1）a≥1；（2）函数f（x）在（0,2π）上有且仅有唯一的极大值点,无极小值点；理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）只需h′（x）≥0在（0,+∞）恒成立,借助于三角函数的有界性,问题可解决.
（2）分x∈（0,1）,,,四种情形分别研究f（x）的单调性,进而得出结论.
【详解】解：（1）∵,
∴ax+cosx,因为h（x）是（0,+∞）上的单调递增函数,
∴h′（x）＝a﹣sinx≥0（x＞0）恒成立,因为sinx∈[﹣1,1],
故a≥1时,h′（x）≥0恒成立,且导数为0时不连续.
故a≥1即为所求.
（2）由（1）知,,
①当x∈（0,1]时,f′（x）≥1﹣cosx＞0,
此时函数f（x）单调递增,无极值点；
②当时,则,
∵,而由三角函数的性质可知,,
∴,
此时函数f（x）单调递增,无极值点；
③当时,cosx＜0,则,
此时函数f（x）单调递增,无极值点；
④当时,令,则,
∴函数g（x）单调递减,
又,
∴存在唯一的,使得g（x0）＝0,
且当时,g（x）＝f′（x）＞0,f（x）单调递增,
当x∈（x0,2π）时,g（x）＝f′（x）＜0,f（x）单调递减,
故x0是函数f（x）的极大值点,
综上所述,函数f（x）在（0,2π）上有且仅有唯一的极大值点,无极小值点.
【点睛】本题主要考查了根据函数的单调区间求解参数范围的问题,需要根据题意求导分析在区间上恒成立的问题,同时也考查了利用导数求解函数极值点个数的问题,需要根据题意分情况讨论导数的正负以及原函数的单调区间,再利用零点存在定理求解.属于难题.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）写出曲线C1和C2的直角坐标方程；
（2）已知P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，切点为A，求|PA|的最大值．
【答案】（1）C1的直角坐标方程为；C2的直角坐标方程为；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由（为参数），消去参数，可得曲线C1的直角坐标方程．由，得ρ2+3ρ2sin2θ＝4，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C2的直角坐标方程；
（2）由P为曲线C2上的动点，设P（2cosα，sinα），则P与圆的圆心的距离，利用二次函数求最值，再由勾股定理求|PA|的最大值．
【详解】解：（1）由（为参数），消去参数，可得．
∴曲线C1的直角坐标方程为；
由，得ρ2+3ρ2sin2θ＝4，
即x2+y2+3y2＝4，即．
∴曲线C2的直角坐标方程为；
（2）∵P为曲线C2上的动点，又曲线C2的参数方程为
∴设P（2cosα，sinα），
则P与圆C1的圆心的距离
．
要使|PA|最大值，则d最大，当sinα时，d有最大值为．
∴|PA|的最大值为．
【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
23.已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣2|的最大值为M，正实数a，b满足a+b＝M．
（1）求2a2+b2的最小值；
（2）求证：aabb≥ab．
【答案】（1）；（2）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）去绝对值得分段函数：，由单调性易求函数f（x）的最大值，即有M的值，再由柯西不等式，即可得到所求最小值；
（2）应用分析法证明，考虑两边取自然对数，结合因式分解和不等式的性质、对数的性质，即可得证.
【详解】解：（1）函数，
∴在（−∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，
当x＝1时，f（x）取得最大值，
即M＝2，
正实数a，b满足a+b＝2，
由柯西不等式可得（2a2+b2）（1）≥（ab）2，
化为2a2+b2，
所以当，即b，a时，2a2+b2取得最小值；
（2）证明：因为a+b＝2，a，b＞0，要证aabb≥ab，即证alna+blnb≥lna+lnb，
即证（a﹣1）lna≥（1﹣b）lnb，
即证（a﹣1）lna≥（a﹣1）ln（2﹣a），
即证（1﹣a）ln（1）≥0，
当0＜a＜1时，1＞1，所以ln（1）＞0，
由1﹣a＞0，可得（1﹣a）ln（1）＞0；
当a＝1时，（1﹣a）ln（1）＝0；
当1＜a＜2时，01＜1，所以ln（1）＜0，
因为1﹣a＜0，所以（1﹣a）ln（1）＞0，
综上所述，（1﹣a）ln（1）≥0成立，即aabb≥ab.
【点睛】本题考查含绝对值的函数最值的求解，考查柯西不等式的应用以及分析法证明不等式，考查学生计算能力与分析能力，是中档题.