上海市崇明区2020届高三二模考试数学试题 Word版含解析(1)

www.ks5u.com2020届上海市崇明区高三数学二模试卷

一、填空题

1.行列式的值等于____________

【答案】

【解析】

【分析】

根据行列式定义直接计算得到答案.

【详解】.

故答案为：.

【点睛】本题考查了行列式的计算，属于简单题.

2.设集合，，则        .

【答案】

【解析】

解：因为集合，，则

3.已知复数z满足，i为虚数单位，则z=____________

【答案】1-2i

【解析】

【分析】

化简得到，计算得到答案.

【详解】，故.

故答案为：.

【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.

4.已知函数，其反函数为，则____________

【答案】1

【解析】

【分析】

取，解得，得到答案.

【详解】，取，解得，故.

故答案为：.

【点睛】本题考查了反函数的性质，意在考查学生对于反函数性质的灵活运用.

5.已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于____________

【答案】

【解析】

【分析】

根据体积公式直接计算得到答案.

【详解】由于正视图是边长为2的等边三角形，∴圆锥的高为，底面半径为1，

∴.

故答案为：.

【点睛】本题考查了圆锥的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

6.的展开式中含项的系数是____________（用数字作答）

【答案】32

【解析】

【分析】

直接利用二项式定理计算得到答案.

【详解】展开式的通项为：，

取得到项的系数是.

故答案为：.

【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

7.若，则____________

【答案】

【解析】

【分析】

化简得到，再利用二倍角公式计算得到答案.

【详解】，.

故答案为：.

【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.

8.已知数列是无穷等比数列，其前n项和为，若，则____________

【答案】8

【解析】

【分析】

计算得到，，故，再计算极限得到答案.

【详解】，，解得，，

故，故.

故答案为：.

【点睛】本题考查了等比数列求和，数列极限，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.

9.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的任意，的最小值是，则的最小值是____________

【答案】

【解析】

【分析】

，不妨取，，，得到答案.

【详解】根据题意：，，不妨取，，

取，故，即

故，最小值为，故当时，的最小值是.

故答案为：.

【点睛】本题考查了三角函数平移，三角函数的最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

10.已知样本数据的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是____________

【答案】7

【解析】

【分析】

不妨设，则，依次验证得到答案.

【详解】根据题意：，，

不妨设，则，

当时，，，

则必有一个数为，验证知无解，故不成立；

当时，，，

取，，满足条件.

故答案为：.

【点睛】本题考查了平均值和方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.

11.在中，，则面积的最大值是____________

【答案】

【解析】

【分析】

计算，得到答案.

【详解】

，

当时等号成立.此时，即时，满足题意.

故答案为：.

【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

12.对于函数，其定义域为D，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数定义域为，值域为，则函数是“不严格单调增函数”的概率是_____________

【答案】

【解析】

【分析】

考虑有4个函数值相同，有3个函数值相同，各有2个函数值相同三种情况，计算概率得到答案.

【详解】当有4个函数值相同时：共有，满足条件的有种；

当有3个函数值相同，另外有2个函数值相同时，共有，满足条件的有种；

当各有2个函数值相同时，共有，满足条件的有1种.

故.

故答案为：.

【点睛】本题考查了概率的计算，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.

二、选择题

13.若矩阵是线性方程组的系数矩阵，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

直接根据系数矩阵的定义得到答案.

【详解】矩阵是线性方程组的系数矩阵，则.

故选：.

【点睛】本题考查了系数矩阵，属于简单题.

14.若抛物线焦点F与双曲线的一个焦点重合，则n的值为（    ）

A.  B. 1 C. 2 D. 13

【答案】B

【解析】

【分析】

计算抛物线焦点为，计算得到答案.

【详解】抛物线的焦点，故，.

故选：.

【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的焦点，属于简单题.

15.设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的周长，则“数列为等差数列”的充要条件是（    ）

A. 是等差数列

B. 或是等差数列

C. 和都是等差数列

D. 和都是等差数列，且公差相同

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，为等差数列，得到为定值，得到答案.

【详解】根据题意：，为等差数列，

故为定值，故为定值.

则和都是等差数列，且公差相同.反之也成立.

故选：.

【点睛】本题考查了等差数列的判断，充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.

16.已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设，代入集合得到，讨论和两种情况，得到无解，计算得到答案.

【详解】都不是空集，设，则；，则.

当时：方程的解为 此时，满足；

当时：的解为或

，则或

，则无解，

综上所述：，

故选

【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.

三、解答题

17.如图所示，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点.

（1）求直线BE与平面ABCD所成的角的大小；

（2）求点C到平面的距离.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）确定为直线BE与平面ABCD所成的角，计算得到答案.

（2）根据平行得到点C到平面的距离等于到平面的距离，根据等体积法计算得到答案.

【详解】（1）如图所示：连接，正方体，故平面，

故为直线BE与平面ABCD所成的角，，

故直线BE与平面ABCD所成的角的大小为.

（2），故平面，

故点C到平面的距离等于到平面的距离，

，

中：，，，

根据余弦定理：，故，

，故，

故点C到平面的距离为.

【点睛】本题考查了线面夹角，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

18.已知函数

（1）判断在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；

（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.

【答案】（1）在其定义域上是增函数，证明见解析 （2）当时，函数是奇函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数，见解析

【解析】

【分析】

（1）设，计算，得到答案.

（2）讨论和两种情况，根据函数奇偶性的定义判断得到答案.

【详解】（1）函数单调递增，

设，则，

易知，，故，，函数单调递增.

（2），，

当时，，函数为奇函数；

当时，，函数不是奇函数，

，，，函数不是偶函数，故为非奇非偶函数.

综上所述：当时，函数是奇函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数.

【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.

19.某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB与AD的长都是2千米，∠BAD=60°，∠BCD=120°.

（1）如果∠ADC=105°，求BC的长（结果精确到0.001千米）；

（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材?（不计损耗，结果精确到0.001千米）

【答案】（1）约1.633千米（2）约6.309千米

【解析】

【分析】

（1）如图所示：连接，则为等边三角形，，根据正弦定理计算得到答案.

（2）设，根据正弦定理得到，计算得到 答案.

【详解】（1）如图所示：连接，则为等边三角形，，

在中：，故.

（2）设，则，

故，，

，

当时，等号成立，故至多需要.

【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.

20.已知椭圆的右焦点为F，直线与该椭圆交于点A、B（点A位于轴上方），轴上一点C（2,0），直线AF与直线BC交于点P.

（1）当时，求线段AF的长；

（2）求证：点P在椭圆上；

（3）求证：.

【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）计算，得到距离

（2）计算：，：，消去得到，得到证明

（3）设点、，设直线的方程为，联立方程得到，，，设，根据函数单调性得到答案.

【详解】（1），代入椭圆方程得到，，故.

（2）计算得到，，

故：，：，消去得到，

代入方程得到：，化简得到，故点P在椭圆上.

（3）设点、，设直线的方程为，

联立，得，

由韦达定理得，，

，

令，则，

函数在上单调递减，则.

当时，等号成立.

【点睛】本题考查了线段长度，点与椭圆的位置关系，面积问题，意在考查学生的计算能力和和综合应用能力.

21.在无穷数列中，，且，记的前n项和为.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值；

（3）证明：中必有一项为1或3.

【答案】（1）37（2）5（3）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）计算数列前9项，再计算和得到答案.

（2）讨论为偶数，为偶数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数四种情况，计算得到答案.

（2）设中最小的奇数为，则，，讨论为奇数，为偶数两种情况，计算得到答案.

【详解】（1），故，故.

（2）当为偶数，为偶数时，，无整数解；

当为偶数，为奇数时，，解得，验证不成立；

当为奇数，为偶数时，，解得，验证成立；

当为奇数，为奇数时，，无整数解；

综上所述：.

（3）设中最小的奇数为，则，，

若为奇数，则，解得；

若为偶数，则，，为奇数，解得；

又，∴中必有一项为1或3.

综上所述：，故中必有一项为1或3.

【点睛】本题考查了数列求和，证明数列中项，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.