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湖北省武汉外国语学校美加分校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
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这是一份湖北省武汉外国语学校美加分校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖北省武汉外国语学校美加分校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（解析版）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5，1
2．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2+4＝0 B．4x2﹣4x+1＝0 C．x2+x+3＝0 D．x2+2x﹣1＝0
3．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0．下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝19 B．（x﹣2）2＝7 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝7
4．（3分）若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A．4或﹣6 B．4 C．6或4 D．﹣6
5．（3分）二次函数y＝x2+6x+4图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝4
6．（3分）若将抛物线y＝2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x﹣3）2 D．y＝2（x+3）2
7．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13（ ）
A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支
8．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
9．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值﹣5，则c的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．3
10．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为x＝1，过（﹣2，0）2c3＞0；②b+2a＝0；③方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝4；④9a+c＞3b，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）写出一个大于3的正无理数是 ．
12．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x．根据题意 ．
13．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面宽度增加 m．
14．（3分）若二次函数y＝﹣ax2+3ax+5的图象上有三个不同的点A（x1，m）、B（x1+x2，n）、C（x2，m），则n的值为 ．
15．（3分）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝ ．
16．（3分）AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°，BC＝b，AC＝4 ．
三、解答题：（共8题，共72分）
17．（8分）解一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10
18．（8分）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有 个人患流感．
19．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1、x2是方程的两根，且+＝1，求m的值．
20．（8分）如图，△ABC的顶点均为格点，AC与网格线交于点D．仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图结果用实线表示．
（1）如图1，画出△ABC的角平分线CE；
（2）如图1，平移AB至DN，使点A的对应点为点D；
（3）如图2，在AB上找一点G，使DG+CG最小；
（4）如图3，AB与网格线交于点E，过点E作EQ⊥AC于Q．
21．（8分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与交y轴负半轴于C点，直线y＝kx+2交抛物线于E、F两点（E点在F点左边），使△CEF被y轴分成的两部分面积差为5
22．（10分）某商店销售一种销售成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）（元/件）满足一次函数关系，并且当x＝20时，当x＝25时，y＝950．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）求出商店销售该商品每天获得的最大利润；
（3）如果该商店要使每天的销售利润不低于13750元，且每天的总成本不超过20000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
23．（10分）（1）问题背景．
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，他的结论应是 ．
（2）猜想论证．
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由，试写出相应的结论并给出你的证明．
（3）拓展应用．
如图3，在四边形ABCD中，∠BDC＝45°，AB：AC：BC＝3：4：5，AD＝4 ．
24．（12分）抛物线y＝mx2﹣4mx+3与x轴的交点为A（1，0），B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线第一象限上的一点，若∠PAC＝45°，求点P的坐标；
（3）M为抛物线在点B右侧上的一点，M与N两点关于抛物线的对称轴对称，AN，点D，求OE﹣OD的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5，1
【分析】先化成一般形式，即可得出答案．
【解答】解：5x2﹣7＝4x，
5x8﹣4x﹣1＝2，
二次项的系数和一次项系数分别是5、﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：说项的系数带着前面的符号．
2．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2+4＝0 B．4x2﹣4x+1＝0 C．x2+x+3＝0 D．x2+2x﹣1＝0
【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，根据Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；Δ＝0，方程有两个相等的实数根；Δ＜0，方程没有实数根，进行判断．
【解答】解：A、Δ＝﹣16＜0；
B、Δ＝0；
C、Δ＝2﹣12＝﹣11＜0；
D、Δ＝4+2＝8＞0．
故选：D．
【点评】此题考查了用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况的方法．
3．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0．下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝19 B．（x﹣2）2＝7 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝7
【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴x2﹣4x＝3，
则x2﹣6x+4＝3+7，即（x﹣2）2＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
4．（3分）若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A．4或﹣6 B．4 C．6或4 D．﹣6
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【解答】解：∵x2+2（m+6）x+25是一个完全平方式，
∴m+1＝±5，
解得：m＝7或m＝﹣6，
故选：A．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．（3分）二次函数y＝x2+6x+4图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝4
【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+6x+2＝（x+3）2﹣7，
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．（3分）若将抛物线y＝2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x﹣3）2 D．y＝2（x+3）2
【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2x2向上平移4个单位可得到函数y＝2x2+7，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13（ ）
A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支
【分析】设每个支干长出x个小分支，利用主干、支干和小分支的总数是13列方程得到1+x+x•x＝13，整理得x2+x﹣12＝0，再利用因式分解法解方程求出x，然后检验即可得到x的值．
【解答】解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意得1+x+x•x＝13，
整理得x2+x﹣12＝6，
解得x1＝3，x4＝﹣4（舍去）．
答：每个支干长出3个小分支．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【分析】求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．
【解答】解：y＝ax2﹣2ax+7（a＜0），
对称轴是直线x＝﹣＝1，
即二次函数的开口向下，对称轴是直线x＝1，
即在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
A点关于直线x＝4的对称点是D（3，y1），
∵5＜3＜4，
∴y7＞y1＞y3，
故选：D．
【点评】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
9．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值﹣5，则c的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】首先把二次函数y＝﹣x2﹣2x+c转化成顶点坐标式，找到其对称轴，然后根据在﹣3≤x≤2内有最小值，判断c的取值．
【解答】解：把二次函数y＝﹣x2﹣2x+c转化成顶点坐标式为y＝﹣（x+7）2+c+1，
又知二次函数的开口向下，对称轴为x＝﹣7，
故当x＝2时，二次函数有最小值为﹣5，
故﹣8+c+1＝﹣5，
故c＝7．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单．
10．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为x＝1，过（﹣2，0）2c3＞0；②b+2a＝0；③方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝4；④9a+c＞3b，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；②利用对称轴可对②进行判断；观察图形与x轴的交点的横坐标与对称性可对③进行判断；找图形中x＝﹣3时对应的y的值即可对④进行判断．
【解答】解：①∵开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，a、b异号，
∴b＜0，
∴b3＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴c2＜0，
∴ab2c5＜0，故①错误；
②∵对称轴x＝﹣＝4，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝5，故②正确；
③根据对称性可知抛物线与x轴另一交点为（4，0），
∴方程ax5+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣8，x2＝4，故③正确；
④由图象得：x＝﹣5时，y＞0，
∴9a﹣7b+c＞0，
∴9a+c＞7b，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，且两交点为抛物线上的对称点．熟练掌握二次函数图象与系数的关系．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）写出一个大于3的正无理数是 ．
【分析】将3化解成根号形式，再列出大于它的无理数，比如，注意根号下面不可以是平方数．
【解答】解：∵3＝，
∴可以是、等等．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了学生整数化解根号形式的能力．
12．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x．根据题意 500（1+x）2＝800 ．
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据“2018年平均亩产×（1+增长率）2＝2020年平均亩产”即可列出关于x的一元二次方程．
【解答】解：水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝800，
故答案为：500（6+x）2＝800．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
13．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面宽度增加 （2﹣4） m．
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，可求出OA和OB为AB的一半2米，2），
设顶点式y＝ax4+2，代入A点坐标（﹣2，
得：a＝﹣6.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.8x2+2，
把y＝﹣4代入抛物线解析式得出：
﹣1＝﹣0.7x2+2，
解得：x＝±，
所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了5，
故答案为：（2﹣4）．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
14．（3分）若二次函数y＝﹣ax2+3ax+5的图象上有三个不同的点A（x1，m）、B（x1+x2，n）、C（x2，m），则n的值为 5 ．
【分析】先根据点A，C的坐标，求出x1+x2＝3，代入二次函数解析式即可得出结论．
【解答】解：∵y＝﹣ax2+3ax+8＝﹣a（x2﹣3x+﹣）+5＝﹣a（x﹣）2++5，
∵A（x1，m）、C（x8，m）在二次函数y＝﹣ax2+3ax+4的图象上，
∴＝，
∴x8+x2＝3，
∵B（x4+x2，n）在二次函数y＝﹣ax2+7ax+5的图象上，
∴n＝﹣a（3﹣）2++5＝6，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特点，二次函数的对称性，求出x1+x2＝3是解本题的关键．
15．（3分）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝ 8 ．
【分析】根据m+n＝﹣＝﹣2，m•n＝﹣5，即可解题．
【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣7＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣6，
∵m2+2m﹣3＝0
∴m2＝4﹣2m
m2﹣mn+3m+n＝（5﹣2m）﹣（﹣3）+3m+n
＝10+m+n
＝10﹣2
＝8
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．
16．（3分）AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°，BC＝b，AC＝4 4 ．
【分析】如图，过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE，首先证明a2+b2＝16，再证明a＝b时，a+b的值最大即可．
【解答】解：如图，过点C作EC⊥DC于点C，连接DE，
∵∠DCB＝30°，
∴∠3＝60°，
∵BC＝EC，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝EC，∠2＝60°，
∴∠ABD+∠2＝∠2+∠1，
即∠DBE＝∠ABC，
∵在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC＝ED，
在Rt△DCE中，
DC7+CE2＝DE2，
∴DC6+BC2＝AC2，
∴a3+b2＝16，
∵（a+b）2＝a4+b2+2ab＝16+4ab，
∵以a，b，4为边的三角形是直角三角形，a，
∴S△＝ab，
易知当a＝b时，三角形的面积最大，
ab＝8，
∴（a+b）3的最大值为32，
∴a+b的最大值为4．
【点评】本题考查相似变换，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题：（共8题，共72分）
17．（8分）解一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10
【分析】（1）公式法求解可得；
（2）因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0
∵a＝1、b＝﹣5，
∴Δ＝4﹣4×3×（﹣1）＝8＞6，
则x＝＝1±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）x（2x﹣5）＝6x﹣10
（2x﹣5）（x﹣5）＝0，
∴2x﹣8＝0或x﹣2＝2，
∴x1＝，x2＝2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（8分）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有 1331 个人患流感．
【分析】设第一个人传染了x人，根据两轮传染后共有121人患了流感；列出方程，求解，然后求出三轮之后患流感的人数．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，
由题意得：1+x+x（1+x）＝121，
解得：x8＝10，x2＝﹣12，
∵x＞0，
∴x8＝﹣12不合题意，舍去，
∴x＝10，
答：每轮传染中平均一个人传染10个人．
（2）则第三轮的患病人数为：（10+1）3＝1331．
故答案为：1331．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解．
19．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1、x2是方程的两根，且+＝1，求m的值．
【分析】（1）根据根的判别式求出m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可以求得方程的两根的和与积，将+＝1转化为关于m的方程，求出m的值并检验．
【解答】解：（1）根据题意，知（2m﹣3）5﹣4m2＞8，
解得m＜；
（2）由题意知x5+x2＝﹣（2m﹣7）＝3﹣2m，x4•x2＝m2，
由+＝1，即＝8，
解得：m＝1（舍去）或m＝﹣3，
所以m的值是﹣8．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝，此题难度不大．
20．（8分）如图，△ABC的顶点均为格点，AC与网格线交于点D．仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图结果用实线表示．
（1）如图1，画出△ABC的角平分线CE；
（2）如图1，平移AB至DN，使点A的对应点为点D；
（3）如图2，在AB上找一点G，使DG+CG最小；
（4）如图3，AB与网格线交于点E，过点E作EQ⊥AC于Q．
【分析】（1）如图1中，取格点T，构造菱形ACBT，连接CT交AB于点E，线段CE即为所求作．
（2）如图1中，取格点M，构造平行四边形ABMC，取BM的中点N，连接DN，线段DN即为所求作．
（3）如图2中，作点D关于直线AB的对称点K，连接CK交AB于点G，点G即为所求作．
（4）如图3中，取格点M，N，连接MN，取MN的中点F，连接EF交AC于点Q，直线EQ即为所求作．
【解答】解：（1）如图1中，线段CE即为所求作．
（2）如图1中，线段DN即为所求作．
（3）如图3中，点G即为所求作．
（4）如图3中，直线EQ即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，菱形的性质，三角形的中线，高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与交y轴负半轴于C点，直线y＝kx+2交抛物线于E、F两点（E点在F点左边），使△CEF被y轴分成的两部分面积差为5
【分析】过点E作EA⊥y轴于E，过点F作FB⊥y轴于B，先求出点C（0，﹣3），点M（0，2），则MC＝5，设点E，F的横坐标为m，n，则m，n是方程x2﹣2x﹣3＝kx+2的两个实数根，EA＝﹣m，FB＝n，根据一元二次方程根与系数的关系得m+n＝k+2，然后由|S△MCF﹣S△MCE|＝5得|2.5n+2.5m|＝5，据此得|k+2|＝2，据此可求出k的值．
【解答】解：过点E作EA⊥y轴于E，过点F作FB⊥y轴于B
对于y＝x2﹣2x﹣4，当x＝0时，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
对于y＝kx+2，当x＝0时，
∴点M的坐标为（5，2），
∴MC＝2﹣（﹣8）＝5，
设抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝kx+2的交点E，F的横坐标为m，n，
则m，n是方程x2﹣2x﹣3＝kx+6得两个实数根，EA＝﹣m，
将方程x2﹣2x﹣4＝kx+2整理为：x2﹣（k+8）x﹣5＝0，
∴m+n＝k+7，
∴S△MCE＝MC•EA＝，S△MCF＝MC•FB＝，
∵△CEF被y轴分成的两部分面积差为5，
∴|S△MCF﹣S△MCE|＝5，
∴|2.8n+2.5m|＝8，
即：2.5|m+n|＝2，
∴|m+n|＝2，
∴|k+2|＝3，
当k+2＝2时，k＝6，
当k+2＝﹣2时，k＝﹣6．
综上所述：k的值为0或﹣4．
【点评】此题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的交点及一元二次方程之间的关系是解答此题的关键．，
22．（10分）某商店销售一种销售成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）（元/件）满足一次函数关系，并且当x＝20时，当x＝25时，y＝950．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）求出商店销售该商品每天获得的最大利润；
（3）如果该商店要使每天的销售利润不低于13750元，且每天的总成本不超过20000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
【分析】（1）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
（3）每天的销售利润不低于20000元，根据二次函数与不等式的关系求出x的取值范围，再根据每天的总成本不超过7000元，以及65≤x≤95，列不等式组即可．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，
将当x＝20时，y＝1000，y＝950代入得：
，，
y＝﹣10x+1200．
（2）设销售利润为W元
W＝（x﹣40）（﹣10x+1200）
＝﹣10x2+1600x﹣48000
＝﹣10（x﹣80）2+16000
∵a＝﹣10＜8，抛物线开口向下，
∴当x＝80时，Wmax＝16000，
答：销商店销售该商品每天获得的最大利润是16000元．
（3）当W＝13750时，
﹣10（x﹣80）2+16000＝13750，
解得：x1＝65，x5＝95，
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴W≥13750时解集为：65≤x≤95，
由每天的总成本不超过20000元，
得40（﹣10x+1200）≤20000，
解得：x≥70，
∴70≤x≤95，
答：销售单价应该控制在70元至95元之间．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用．数学建模题，借助二次函数以及不等式解决实际问题．
23．（10分）（1）问题背景．
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，他的结论应是 EF＝BE+DF ．
（2）猜想论证．
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由，试写出相应的结论并给出你的证明．
（3）拓展应用．
如图3，在四边形ABCD中，∠BDC＝45°，AB：AC：BC＝3：4：5，AD＝4 ．
【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG（SAS），可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF（SAS），可得EF＝FG，即可解题；
（2）在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．
（3）如图3中，如图3中，过点D作DH⊥AB交AB的延长线于H，DK⊥AC交AC的延长线于K，DJ⊥BC于J．证明四边形AHDK是正方形即可解决问题．
【解答】解：延长FD到点G．使DG＝BE，
∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADF+∠ADG＝180°，
∴∠ADG＝∠B，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+FD不成立，结论：EF＝BE﹣FD．
理由如下：证明：如图2中，在BE上截取BG，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝∠DAF+∠GAD＝∠GAF．
∵∠BAD＝7∠EAF，
∴∠GAF＝2∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
（3）如图3中，如图4中，DK⊥AC交AC的延长线于K．
∵AB：AC：BC＝3：4：3，
∴可以假设AB＝3k，AC＝4k，
∴AB7+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵∠H＝∠K＝90°，
∴四边形AHDK是矩形，
∴∠HDK＝90°，
∵∠BDC＝45°，
∴∠BDH+∠CDK＝45°，
∵∠ABD+∠CBD＝180°，∠ABD+∠DBH＝180°，
∴∠DBH＝∠DBC，
∵∠H＝∠DJB＝90°，DB＝DB，
∴△BDH≌△BDJ（AAS），
∴DH＝DJ，∠BDH＝∠BDJ，
∵∠BDJ+∠CDJ＝45°，∠BHH+∠CDK＝∠BDJ+∠CDK＝45°，
∴∠CDJ＝∠CDK，
∵∠K＝∠DJC＝90°，CD＝CD，
∴△CDK≌△CDJ（AAS），
∴DJ＝DK，CJ＝CK，
∴DH＝DK，
∴四边形AHDK是正方形，
∴BH+CK＝BJ+CJ＝2k，
∴AH+AK＝12k，
∴AK＝KD＝6k，
∵AD＝4，
∴AK＝DK＝7＝6k，
∴k＝，
∴AC＝，
∴S△ACD＝•AC•DK＝•＝．
故答案为．
【点评】本题考查了四边形综合题，三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．
24．（12分）抛物线y＝mx2﹣4mx+3与x轴的交点为A（1，0），B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线第一象限上的一点，若∠PAC＝45°，求点P的坐标；
（3）M为抛物线在点B右侧上的一点，M与N两点关于抛物线的对称轴对称，AN，点D，求OE﹣OD的值．
【分析】（1）把A点坐标代入y＝mx2﹣4mx+3中求出m的值即可得到抛物线的解析式；
（2）先确定C（0，3），过点C作CG⊥AC交PA于点G，过点G作GH⊥y轴于点H，证明△HGC≌△OCA（AAS），由全等三角形的性质得出GH＝OC＝3，CH＝OA＝1，求出直线AP的解析式为y＝2x﹣2，再解方程组即可得到P点坐标；
（3）设M（t，t2﹣4t+3），利用对称性得到N（4﹣t，t2﹣4t+3），再利用待定系数法分别求出直线AM的解析式为y＝（t﹣3）x+3﹣t和直线AN的解析式为y＝（1﹣t）x+t﹣1，从而得到D点和E点坐标，然后可计算出OE﹣OD的值．
【解答】解：（1）把A（1，0）代入y＝mx8﹣4mx+3得m﹣8m+3＝0，
解得m＝6，
所以抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2；
（2）当x＝0时，y＝x2﹣3x+3＝3，则C（2，
过点C作CG⊥AC交PA于点G，过点G作GH⊥y轴于点H，
由（1）可知A（1，0），
∴AO＝5，OC＝3，
∵∠PAC＝45°，
∴∠AGC＝∠CAG，
∴CG＝CA，
∵∠GCH+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠GCH＝∠CAO，
∴△HGC≌△OCA（AAS），
∴GH＝OC＝3，CH＝OA＝7，
∴OH＝OC+CH＝4，
∴G（3，2），
设直线AP的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
解得，
∴直线AP的解析式为y＝2x﹣5，
∴，
解得，，
∴P（5，3）；
（3）设M（t，t2﹣4t+6），
∵M与N两点关于抛物线的对称轴对称，
∴N（4﹣t，t2﹣3t+3），
设直线AM的解析式为y＝kx+b，
把A（1，7），t2﹣4t+6）代入得，
解得，
∴直线AM的解析式为y＝（t﹣3）x+3﹣t，
∴D（7，3﹣t），
同样可得直线AN的解析式为y＝（1﹣t）x+t﹣8，
∴E（0，t﹣1），
∴OE﹣OD＝t﹣3﹣（t﹣3）＝2．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和全等三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用勾股定理计算线段的长；理解坐标与图形的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
湖北省武汉外国语学校美加分校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（解析版）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5，1
2．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2+4＝0 B．4x2﹣4x+1＝0 C．x2+x+3＝0 D．x2+2x﹣1＝0
3．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0．下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝19 B．（x﹣2）2＝7 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝7
4．（3分）若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A．4或﹣6 B．4 C．6或4 D．﹣6
5．（3分）二次函数y＝x2+6x+4图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝4
6．（3分）若将抛物线y＝2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x﹣3）2 D．y＝2（x+3）2
7．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13（ ）
A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支
8．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
9．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值﹣5，则c的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．3
10．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为x＝1，过（﹣2，0）2c3＞0；②b+2a＝0；③方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝4；④9a+c＞3b，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）写出一个大于3的正无理数是 ．
12．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x．根据题意 ．
13．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面宽度增加 m．
14．（3分）若二次函数y＝﹣ax2+3ax+5的图象上有三个不同的点A（x1，m）、B（x1+x2，n）、C（x2，m），则n的值为 ．
15．（3分）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝ ．
16．（3分）AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°，BC＝b，AC＝4 ．
三、解答题：（共8题，共72分）
17．（8分）解一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10
18．（8分）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有 个人患流感．
19．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1、x2是方程的两根，且+＝1，求m的值．
20．（8分）如图，△ABC的顶点均为格点，AC与网格线交于点D．仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图结果用实线表示．
（1）如图1，画出△ABC的角平分线CE；
（2）如图1，平移AB至DN，使点A的对应点为点D；
（3）如图2，在AB上找一点G，使DG+CG最小；
（4）如图3，AB与网格线交于点E，过点E作EQ⊥AC于Q．
21．（8分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与交y轴负半轴于C点，直线y＝kx+2交抛物线于E、F两点（E点在F点左边），使△CEF被y轴分成的两部分面积差为5
22．（10分）某商店销售一种销售成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）（元/件）满足一次函数关系，并且当x＝20时，当x＝25时，y＝950．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）求出商店销售该商品每天获得的最大利润；
（3）如果该商店要使每天的销售利润不低于13750元，且每天的总成本不超过20000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
23．（10分）（1）问题背景．
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，他的结论应是 ．
（2）猜想论证．
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由，试写出相应的结论并给出你的证明．
（3）拓展应用．
如图3，在四边形ABCD中，∠BDC＝45°，AB：AC：BC＝3：4：5，AD＝4 ．
24．（12分）抛物线y＝mx2﹣4mx+3与x轴的交点为A（1，0），B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线第一象限上的一点，若∠PAC＝45°，求点P的坐标；
（3）M为抛物线在点B右侧上的一点，M与N两点关于抛物线的对称轴对称，AN，点D，求OE﹣OD的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5，1
【分析】先化成一般形式，即可得出答案．
【解答】解：5x2﹣7＝4x，
5x8﹣4x﹣1＝2，
二次项的系数和一次项系数分别是5、﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：说项的系数带着前面的符号．
2．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2+4＝0 B．4x2﹣4x+1＝0 C．x2+x+3＝0 D．x2+2x﹣1＝0
【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，根据Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；Δ＝0，方程有两个相等的实数根；Δ＜0，方程没有实数根，进行判断．
【解答】解：A、Δ＝﹣16＜0；
B、Δ＝0；
C、Δ＝2﹣12＝﹣11＜0；
D、Δ＝4+2＝8＞0．
故选：D．
【点评】此题考查了用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况的方法．
3．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0．下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝19 B．（x﹣2）2＝7 C．（x﹣2）2＝1 D．（x+2）2＝7
【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴x2﹣4x＝3，
则x2﹣6x+4＝3+7，即（x﹣2）2＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
4．（3分）若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A．4或﹣6 B．4 C．6或4 D．﹣6
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【解答】解：∵x2+2（m+6）x+25是一个完全平方式，
∴m+1＝±5，
解得：m＝7或m＝﹣6，
故选：A．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．（3分）二次函数y＝x2+6x+4图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝4
【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+6x+2＝（x+3）2﹣7，
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．（3分）若将抛物线y＝2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x﹣3）2 D．y＝2（x+3）2
【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2x2向上平移4个单位可得到函数y＝2x2+7，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13（ ）
A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支
【分析】设每个支干长出x个小分支，利用主干、支干和小分支的总数是13列方程得到1+x+x•x＝13，整理得x2+x﹣12＝0，再利用因式分解法解方程求出x，然后检验即可得到x的值．
【解答】解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意得1+x+x•x＝13，
整理得x2+x﹣12＝6，
解得x1＝3，x4＝﹣4（舍去）．
答：每个支干长出3个小分支．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【分析】求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．
【解答】解：y＝ax2﹣2ax+7（a＜0），
对称轴是直线x＝﹣＝1，
即二次函数的开口向下，对称轴是直线x＝1，
即在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
A点关于直线x＝4的对称点是D（3，y1），
∵5＜3＜4，
∴y7＞y1＞y3，
故选：D．
【点评】本题考查了学生对二次函数图象上点的坐标特征的理解和运用，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
9．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值﹣5，则c的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】首先把二次函数y＝﹣x2﹣2x+c转化成顶点坐标式，找到其对称轴，然后根据在﹣3≤x≤2内有最小值，判断c的取值．
【解答】解：把二次函数y＝﹣x2﹣2x+c转化成顶点坐标式为y＝﹣（x+7）2+c+1，
又知二次函数的开口向下，对称轴为x＝﹣7，
故当x＝2时，二次函数有最小值为﹣5，
故﹣8+c+1＝﹣5，
故c＝7．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单．
10．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为x＝1，过（﹣2，0）2c3＞0；②b+2a＝0；③方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝4；④9a+c＞3b，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；②利用对称轴可对②进行判断；观察图形与x轴的交点的横坐标与对称性可对③进行判断；找图形中x＝﹣3时对应的y的值即可对④进行判断．
【解答】解：①∵开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，a、b异号，
∴b＜0，
∴b3＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴c2＜0，
∴ab2c5＜0，故①错误；
②∵对称轴x＝﹣＝4，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝5，故②正确；
③根据对称性可知抛物线与x轴另一交点为（4，0），
∴方程ax5+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣8，x2＝4，故③正确；
④由图象得：x＝﹣5时，y＞0，
∴9a﹣7b+c＞0，
∴9a+c＞7b，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，且两交点为抛物线上的对称点．熟练掌握二次函数图象与系数的关系．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）写出一个大于3的正无理数是 ．
【分析】将3化解成根号形式，再列出大于它的无理数，比如，注意根号下面不可以是平方数．
【解答】解：∵3＝，
∴可以是、等等．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了学生整数化解根号形式的能力．
12．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x．根据题意 500（1+x）2＝800 ．
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据“2018年平均亩产×（1+增长率）2＝2020年平均亩产”即可列出关于x的一元二次方程．
【解答】解：水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝800，
故答案为：500（6+x）2＝800．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
13．（3分）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面宽度增加 （2﹣4） m．
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，可求出OA和OB为AB的一半2米，2），
设顶点式y＝ax4+2，代入A点坐标（﹣2，
得：a＝﹣6.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.8x2+2，
把y＝﹣4代入抛物线解析式得出：
﹣1＝﹣0.7x2+2，
解得：x＝±，
所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了5，
故答案为：（2﹣4）．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
14．（3分）若二次函数y＝﹣ax2+3ax+5的图象上有三个不同的点A（x1，m）、B（x1+x2，n）、C（x2，m），则n的值为 5 ．
【分析】先根据点A，C的坐标，求出x1+x2＝3，代入二次函数解析式即可得出结论．
【解答】解：∵y＝﹣ax2+3ax+8＝﹣a（x2﹣3x+﹣）+5＝﹣a（x﹣）2++5，
∵A（x1，m）、C（x8，m）在二次函数y＝﹣ax2+3ax+4的图象上，
∴＝，
∴x8+x2＝3，
∵B（x4+x2，n）在二次函数y＝﹣ax2+7ax+5的图象上，
∴n＝﹣a（3﹣）2++5＝6，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特点，二次函数的对称性，求出x1+x2＝3是解本题的关键．
15．（3分）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝ 8 ．
【分析】根据m+n＝﹣＝﹣2，m•n＝﹣5，即可解题．
【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣7＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣6，
∵m2+2m﹣3＝0
∴m2＝4﹣2m
m2﹣mn+3m+n＝（5﹣2m）﹣（﹣3）+3m+n
＝10+m+n
＝10﹣2
＝8
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．
16．（3分）AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，△ABD是等边三角形，∠DCB＝30°，BC＝b，AC＝4 4 ．
【分析】如图，过点C作EC⊥DC于点C，使EC＝BC，连接DE，BE，首先证明a2+b2＝16，再证明a＝b时，a+b的值最大即可．
【解答】解：如图，过点C作EC⊥DC于点C，连接DE，
∵∠DCB＝30°，
∴∠3＝60°，
∵BC＝EC，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝BE＝EC，∠2＝60°，
∴∠ABD+∠2＝∠2+∠1，
即∠DBE＝∠ABC，
∵在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC＝ED，
在Rt△DCE中，
DC7+CE2＝DE2，
∴DC6+BC2＝AC2，
∴a3+b2＝16，
∵（a+b）2＝a4+b2+2ab＝16+4ab，
∵以a，b，4为边的三角形是直角三角形，a，
∴S△＝ab，
易知当a＝b时，三角形的面积最大，
ab＝8，
∴（a+b）3的最大值为32，
∴a+b的最大值为4．
【点评】本题考查相似变换，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题：（共8题，共72分）
17．（8分）解一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0
（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10
【分析】（1）公式法求解可得；
（2）因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0
∵a＝1、b＝﹣5，
∴Δ＝4﹣4×3×（﹣1）＝8＞6，
则x＝＝1±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）x（2x﹣5）＝6x﹣10
（2x﹣5）（x﹣5）＝0，
∴2x﹣8＝0或x﹣2＝2，
∴x1＝，x2＝2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（8分）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有 1331 个人患流感．
【分析】设第一个人传染了x人，根据两轮传染后共有121人患了流感；列出方程，求解，然后求出三轮之后患流感的人数．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，
由题意得：1+x+x（1+x）＝121，
解得：x8＝10，x2＝﹣12，
∵x＞0，
∴x8＝﹣12不合题意，舍去，
∴x＝10，
答：每轮传染中平均一个人传染10个人．
（2）则第三轮的患病人数为：（10+1）3＝1331．
故答案为：1331．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解．
19．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1、x2是方程的两根，且+＝1，求m的值．
【分析】（1）根据根的判别式求出m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可以求得方程的两根的和与积，将+＝1转化为关于m的方程，求出m的值并检验．
【解答】解：（1）根据题意，知（2m﹣3）5﹣4m2＞8，
解得m＜；
（2）由题意知x5+x2＝﹣（2m﹣7）＝3﹣2m，x4•x2＝m2，
由+＝1，即＝8，
解得：m＝1（舍去）或m＝﹣3，
所以m的值是﹣8．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝，此题难度不大．
20．（8分）如图，△ABC的顶点均为格点，AC与网格线交于点D．仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图结果用实线表示．
（1）如图1，画出△ABC的角平分线CE；
（2）如图1，平移AB至DN，使点A的对应点为点D；
（3）如图2，在AB上找一点G，使DG+CG最小；
（4）如图3，AB与网格线交于点E，过点E作EQ⊥AC于Q．
【分析】（1）如图1中，取格点T，构造菱形ACBT，连接CT交AB于点E，线段CE即为所求作．
（2）如图1中，取格点M，构造平行四边形ABMC，取BM的中点N，连接DN，线段DN即为所求作．
（3）如图2中，作点D关于直线AB的对称点K，连接CK交AB于点G，点G即为所求作．
（4）如图3中，取格点M，N，连接MN，取MN的中点F，连接EF交AC于点Q，直线EQ即为所求作．
【解答】解：（1）如图1中，线段CE即为所求作．
（2）如图1中，线段DN即为所求作．
（3）如图3中，点G即为所求作．
（4）如图3中，直线EQ即为所求作．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，菱形的性质，三角形的中线，高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与交y轴负半轴于C点，直线y＝kx+2交抛物线于E、F两点（E点在F点左边），使△CEF被y轴分成的两部分面积差为5
【分析】过点E作EA⊥y轴于E，过点F作FB⊥y轴于B，先求出点C（0，﹣3），点M（0，2），则MC＝5，设点E，F的横坐标为m，n，则m，n是方程x2﹣2x﹣3＝kx+2的两个实数根，EA＝﹣m，FB＝n，根据一元二次方程根与系数的关系得m+n＝k+2，然后由|S△MCF﹣S△MCE|＝5得|2.5n+2.5m|＝5，据此得|k+2|＝2，据此可求出k的值．
【解答】解：过点E作EA⊥y轴于E，过点F作FB⊥y轴于B
对于y＝x2﹣2x﹣4，当x＝0时，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
对于y＝kx+2，当x＝0时，
∴点M的坐标为（5，2），
∴MC＝2﹣（﹣8）＝5，
设抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝kx+2的交点E，F的横坐标为m，n，
则m，n是方程x2﹣2x﹣3＝kx+6得两个实数根，EA＝﹣m，
将方程x2﹣2x﹣4＝kx+2整理为：x2﹣（k+8）x﹣5＝0，
∴m+n＝k+7，
∴S△MCE＝MC•EA＝，S△MCF＝MC•FB＝，
∵△CEF被y轴分成的两部分面积差为5，
∴|S△MCF﹣S△MCE|＝5，
∴|2.8n+2.5m|＝8，
即：2.5|m+n|＝2，
∴|m+n|＝2，
∴|k+2|＝3，
当k+2＝2时，k＝6，
当k+2＝﹣2时，k＝﹣6．
综上所述：k的值为0或﹣4．
【点评】此题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的交点及一元二次方程之间的关系是解答此题的关键．，
22．（10分）某商店销售一种销售成本为40元/件的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）（元/件）满足一次函数关系，并且当x＝20时，当x＝25时，y＝950．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）求出商店销售该商品每天获得的最大利润；
（3）如果该商店要使每天的销售利润不低于13750元，且每天的总成本不超过20000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
【分析】（1）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
（3）每天的销售利润不低于20000元，根据二次函数与不等式的关系求出x的取值范围，再根据每天的总成本不超过7000元，以及65≤x≤95，列不等式组即可．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，
将当x＝20时，y＝1000，y＝950代入得：
，，
y＝﹣10x+1200．
（2）设销售利润为W元
W＝（x﹣40）（﹣10x+1200）
＝﹣10x2+1600x﹣48000
＝﹣10（x﹣80）2+16000
∵a＝﹣10＜8，抛物线开口向下，
∴当x＝80时，Wmax＝16000，
答：销商店销售该商品每天获得的最大利润是16000元．
（3）当W＝13750时，
﹣10（x﹣80）2+16000＝13750，
解得：x1＝65，x5＝95，
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴W≥13750时解集为：65≤x≤95，
由每天的总成本不超过20000元，
得40（﹣10x+1200）≤20000，
解得：x≥70，
∴70≤x≤95，
答：销售单价应该控制在70元至95元之间．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用．数学建模题，借助二次函数以及不等式解决实际问题．
23．（10分）（1）问题背景．
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，他的结论应是 EF＝BE+DF ．
（2）猜想论证．
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由，试写出相应的结论并给出你的证明．
（3）拓展应用．
如图3，在四边形ABCD中，∠BDC＝45°，AB：AC：BC＝3：4：5，AD＝4 ．
【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG（SAS），可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF（SAS），可得EF＝FG，即可解题；
（2）在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．
（3）如图3中，如图3中，过点D作DH⊥AB交AB的延长线于H，DK⊥AC交AC的延长线于K，DJ⊥BC于J．证明四边形AHDK是正方形即可解决问题．
【解答】解：延长FD到点G．使DG＝BE，
∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADF+∠ADG＝180°，
∴∠ADG＝∠B，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+FD不成立，结论：EF＝BE﹣FD．
理由如下：证明：如图2中，在BE上截取BG，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝∠DAF+∠GAD＝∠GAF．
∵∠BAD＝7∠EAF，
∴∠GAF＝2∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
（3）如图3中，如图4中，DK⊥AC交AC的延长线于K．
∵AB：AC：BC＝3：4：3，
∴可以假设AB＝3k，AC＝4k，
∴AB7+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵∠H＝∠K＝90°，
∴四边形AHDK是矩形，
∴∠HDK＝90°，
∵∠BDC＝45°，
∴∠BDH+∠CDK＝45°，
∵∠ABD+∠CBD＝180°，∠ABD+∠DBH＝180°，
∴∠DBH＝∠DBC，
∵∠H＝∠DJB＝90°，DB＝DB，
∴△BDH≌△BDJ（AAS），
∴DH＝DJ，∠BDH＝∠BDJ，
∵∠BDJ+∠CDJ＝45°，∠BHH+∠CDK＝∠BDJ+∠CDK＝45°，
∴∠CDJ＝∠CDK，
∵∠K＝∠DJC＝90°，CD＝CD，
∴△CDK≌△CDJ（AAS），
∴DJ＝DK，CJ＝CK，
∴DH＝DK，
∴四边形AHDK是正方形，
∴BH+CK＝BJ+CJ＝2k，
∴AH+AK＝12k，
∴AK＝KD＝6k，
∵AD＝4，
∴AK＝DK＝7＝6k，
∴k＝，
∴AC＝，
∴S△ACD＝•AC•DK＝•＝．
故答案为．
【点评】本题考查了四边形综合题，三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．
24．（12分）抛物线y＝mx2﹣4mx+3与x轴的交点为A（1，0），B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线第一象限上的一点，若∠PAC＝45°，求点P的坐标；
（3）M为抛物线在点B右侧上的一点，M与N两点关于抛物线的对称轴对称，AN，点D，求OE﹣OD的值．
【分析】（1）把A点坐标代入y＝mx2﹣4mx+3中求出m的值即可得到抛物线的解析式；
（2）先确定C（0，3），过点C作CG⊥AC交PA于点G，过点G作GH⊥y轴于点H，证明△HGC≌△OCA（AAS），由全等三角形的性质得出GH＝OC＝3，CH＝OA＝1，求出直线AP的解析式为y＝2x﹣2，再解方程组即可得到P点坐标；
（3）设M（t，t2﹣4t+3），利用对称性得到N（4﹣t，t2﹣4t+3），再利用待定系数法分别求出直线AM的解析式为y＝（t﹣3）x+3﹣t和直线AN的解析式为y＝（1﹣t）x+t﹣1，从而得到D点和E点坐标，然后可计算出OE﹣OD的值．
【解答】解：（1）把A（1，0）代入y＝mx8﹣4mx+3得m﹣8m+3＝0，
解得m＝6，
所以抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+2；
（2）当x＝0时，y＝x2﹣3x+3＝3，则C（2，
过点C作CG⊥AC交PA于点G，过点G作GH⊥y轴于点H，
由（1）可知A（1，0），
∴AO＝5，OC＝3，
∵∠PAC＝45°，
∴∠AGC＝∠CAG，
∴CG＝CA，
∵∠GCH+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠GCH＝∠CAO，
∴△HGC≌△OCA（AAS），
∴GH＝OC＝3，CH＝OA＝7，
∴OH＝OC+CH＝4，
∴G（3，2），
设直线AP的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
解得，
∴直线AP的解析式为y＝2x﹣5，
∴，
解得，，
∴P（5，3）；
（3）设M（t，t2﹣4t+6），
∵M与N两点关于抛物线的对称轴对称，
∴N（4﹣t，t2﹣3t+3），
设直线AM的解析式为y＝kx+b，
把A（1，7），t2﹣4t+6）代入得，
解得，
∴直线AM的解析式为y＝（t﹣3）x+3﹣t，
∴D（7，3﹣t），
同样可得直线AN的解析式为y＝（1﹣t）x+t﹣8，
∴E（0，t﹣1），
∴OE﹣OD＝t﹣3﹣（t﹣3）＝2．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和全等三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用勾股定理计算线段的长；理解坐标与图形的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
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