重庆市綦江区古南中学2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷

这是一份重庆市綦江区古南中学2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

重庆市綦江区古南中学2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷（解析版）
一、选择题。（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目右侧正确答案所在的方框涂黑.
1．（4分）在平面直角坐标系中，点A（1，2）在第（　　）
A．一 B．二 C．三 D．四
2．（4分）下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是（　　）
A．了解某班学生的视力情况
B．调查“神舟十五号”载人飞船零部件的安全性能
C．调查某市中小学生每天体育锻炼的时间
D．疫情期间，对火车站的旅客进行体温检测
3．（4分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝125°（　　）
​

A．55° B．45° C．35° D．25°
4．（4分）若一个关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为（　　）
​

A．﹣1＜x＜3 B．﹣1≤x＜3 C．﹣1≤x≤3 D．﹣1＜x≤3
5．（4分）下列各式正确的是（　　）
A．＝±3 B．＝±3 C．＝3 D．＝﹣9
6．（4分）在平面直角坐标系中，点P1（0，2），P2（1，6），P3 （2，12），P4（3，20），…，用你发现的规律确定P8的坐标为（　　）
A．（7，56） B．（7，72） C．（8，56） D．（8，72）
7．（4分）下列命题为假命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C．垂线段最短
D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
8．（4分）已知a＜b，下列不等式的变形错误的是（　　）
A．a﹣2＜b﹣2 B．2a＜2b C．a+c＜b+c D．ac＜bc
9．（4分）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，设用x张制盒身，y张制盒底（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）对于x，y定义一种新运算F，规定F（x，y）（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：F（0，0），若F（1，2）＝﹣3，F（2，﹣1），下列结论正确的个数为（　　）
①F（3，4）＝﹣5；
②若F（m，n）﹣2F（﹣m，n）＝27，n有且仅有4组正整数解；
③若F（kx，y）＝F（x，ky）对任意实数x，则k＝1．
A．3 B．2 C．1 D．0
​二、填空题。（本大题共7个小题，每小题4分，共28分.）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
11．（4分）＝　 　．
12．（4分）如图，∠DCE是由∠AOB经过平移得到的，OA交CE于点F，则∠AFC＝　 　．
​

13．（4分）已知是方程mx+ny＝5的解，则代数式4m+6n﹣1的值为 　 　．
14．（4分）已知点A（a﹣1，a+3）在x轴上，那么点A的坐标是 　 　．
15．（4分）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，那么他至少答对　 　道题．
16．（4分）如图，已知AB∥CD，E是射线BA上一点（不包括端点B），DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，∠B＝66°，则∠FDE＝　 　．
​

17．（4分）若整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数有且只有4个整数解，则符合条件的所有m的和为 　 　．
三、解答题。（本大题共7个小题，18-24题各10分，25题每小题10分，共82分.）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
18．（10分）解下列方程组：
（1）；
（2）．
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）解不等式（组）：
（1）解不等式，并在数轴上表示解集；
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
21．（10分）如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，若∠AFE+∠DCB＝180°，∠A＝∠AEF
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC+　 　①＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠AFE+∠DCB＝180°（已知），
∴∠AFE＝∠ABC （ 　 　②）；
∴EF∥　 　③（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AEF＝　 　④（两直线平行，同位角相等），
∵AB∥CD （已知），
∴∠A＝∠DCA（ 　 　⑤），
∵∠A＝∠AEF（已知），
∴∠DCA＝∠ACB（等量代换）．

22．（10分）某区正在创建全国文明城区，某校七年级开展创文知识竞赛活动，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析
七年级抽取部分学生成绩的频率分布表
成绩x/分
频数
频率
75≤x＜80
2
0.04
80≤x＜85
6
0.12
85≤x＜90
10
0.20
90≤x＜95
a
0.36
95≤x≤100
14
b
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为多少？
（2）写出表中a、b的值，请补全频数分布直方图；
（3）已知七年级有600名学生参加这次竞赛，且成绩在90分以上的成绩为优秀，估计该年级学生成绩为优秀的有多少人？
七年级抽取部分学生成绩的频数分布直方图
​
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC中任意一点P（x0，y0） 经平移后对应点为P1（x0+4，y0+3），将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1，已知点A的坐标为（﹣3，3），点B的坐标为（﹣6，﹣4），点C的坐标为（2，0）．
（1）写出 A1，B1，C1 的坐标；
（2）画出△A1B1C1，并求出△AB1C的面积．
​​

24．（10分）如图，点E，F分别在直线AB，连接AD，CE，AD分别与CE，BF相交于点G，H，∠AEC＝∠BFD．
（1）求证：BF∥CE；
（2）求证：∠BAD＝∠ADC．

25．（12分）每年五、六月份是我国冬小麦的收割时间．某农业合作社租用中型收割机和小型收割机进行冬小麦收割．已知1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩．
（1）求每台中型收割机和每台小型收割机平均每天各收割小麦多少亩？
（2）每台中型收割机和每台小型收割机每天的租金分别为1800元和1000元，该合作社种植了冬小麦5350亩，合作社计划租用两型收割机共8台，要使租用收割机的总金额不超过65000元，试求出所有满足条件的租用方案．并指出最经济的方案

参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目右侧正确答案所在的方框涂黑.
1．（4分）在平面直角坐标系中，点A（1，2）在第（　　）
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点（1，2）第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．（4分）下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是（　　）
A．了解某班学生的视力情况
B．调查“神舟十五号”载人飞船零部件的安全性能
C．调查某市中小学生每天体育锻炼的时间
D．疫情期间，对火车站的旅客进行体温检测
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．了解某班学生的视力情况，故本选项不合题意；
B．调查“神舟十五号”载人飞船零部件的安全性能，故本选项不合题意；
C．调查某市中小学生每天体育锻炼的时间，故本选项符合题意；
D．疫情期间，适合进行普查；
故选：C．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．（4分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝125°（　　）
​

A．55° B．45° C．35° D．25°
【分析】先根据平角的定义求出∠BOC的度数，再根据垂线的定义得出∠COD＝90°，从而求出∠BOD的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝125°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣125°＝55°，
∵OC⊥OD．
∴∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣55°＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线的定义，平角的定义，理解互相垂直的意义是解题的关键．
4．（4分）若一个关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为（　　）
​

A．﹣1＜x＜3 B．﹣1≤x＜3 C．﹣1≤x≤3 D．﹣1＜x≤3
【分析】根据数轴写出解集，再判断求解．
【解答】解：根据数轴表示得：﹣1＜x≤3，
故选：D．
【点评】本题考查了在数轴上表示解集，掌握数轴的特点是解题的关键．
5．（4分）下列各式正确的是（　　）
A．＝±3 B．＝±3 C．＝3 D．＝﹣9
【分析】根据二次根式的性质，平方根，立方根的意义进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、±＝±3；
B、＝3；
C、不能再化简；
D、＝5；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，平方根，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（4分）在平面直角坐标系中，点P1（0，2），P2（1，6），P3 （2，12），P4（3，20），…，用你发现的规律确定P8的坐标为（　　）
A．（7，56） B．（7，72） C．（8，56） D．（8，72）
【分析】解出横纵坐标组成数列的规律即可．
【解答】解：由点的横坐标：0，1，6，3，…，得规律为n﹣1，
由点的纵坐标：2，6，12，…，得规律n2+n，
∴P3的坐标为（7，72）．
故选：B．
【点评】本题考查了点的规律的探究，数列规律的探究是解题关键．
7．（4分）下列命题为假命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C．垂线段最短
D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】根据对顶角相等、平行线的性质、垂线段最短、平行公理判断即可．
【解答】解：A、对顶角相等，不符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，故本选项说法是假命题；
C、垂线段最短，不符合题意；
D、同一平面内，是真命题；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．（4分）已知a＜b，下列不等式的变形错误的是（　　）
A．a﹣2＜b﹣2 B．2a＜2b C．a+c＜b+c D．ac＜bc
【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可．
【解答】解：A．因为a＜b，故本选项不符合题意，
B．因为a＜b，故本选项不符合题意，
C．因为a＜b，故本选项不符合题意，
D．因为a＜b，ac≥bc．
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．
9．（4分）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，设用x张制盒身，y张制盒底（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据本题中的相等关系（1）盒身的个数×2＝盒底的个数；（2）制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数＝36，列方程组即可．
【解答】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，
根据题意得．
故选：C．
【点评】此题考查二元一次方程组问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：“一个盒身与两个盒底配成一套盒”．
10．（4分）对于x，y定义一种新运算F，规定F（x，y）（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：F（0，0），若F（1，2）＝﹣3，F（2，﹣1），下列结论正确的个数为（　　）
①F（3，4）＝﹣5；
②若F（m，n）﹣2F（﹣m，n）＝27，n有且仅有4组正整数解；
③若F（kx，y）＝F（x，ky）对任意实数x，则k＝1．
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】依据题意，首先根据F（1，2）＝﹣3，F（2，﹣1）＝4求出a，b的值，然后再对各个结论逐一判断即可得解．
【解答】解：由题意得，，
∴．
∴F（x，y）＝x﹣2y．
∴对于①，F（3．
∴①正确．
对于②，由题意得，
∴5m+2n＝27．
∴3m+8n＝27正整数解为，，，，共4组．
∴②正确．
对于③，显然当k＝5时，y）＝F（x，
∴③正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题时需要熟练掌握并理解．
​二、填空题。（本大题共7个小题，每小题4分，共28分.）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
11．（4分）＝　﹣5　．
【分析】根据立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：∵（﹣5）3＝﹣125，
∴＝﹣5，
故答案为：﹣5
【点评】本题考查立方根的定义，解题的关键是正确理解立方根的定义，本题属于基础题型．
12．（4分）如图，∠DCE是由∠AOB经过平移得到的，OA交CE于点F，则∠AFC＝　150°　．
​

【分析】根据平移的性质得CE∥OB，所以∠AFE＝∠AOB＝30°，再根据邻补角的性质得∠AFC＝180°﹣∠AFE＝150°．
【解答】解：∵∠DCE是由∠AOB经过平移得到的，
∴CE∥OB，
∴∠AFE＝∠AOB＝30°，
∴∠AFC＝180°﹣∠AFE＝150°．
故答案为：150°．
【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是关键．
13．（4分）已知是方程mx+ny＝5的解，则代数式4m+6n﹣1的值为 　9　．
【分析】把代入方程mx+ny＝5得出2m+3n＝5，变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：把代入方程mx+ny＝7得：
2m+3n＝2，
所以4m+6n﹣3＝2（2m+7n）﹣1＝2×8﹣1＝9．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，能求出2m+3n＝5是解此题的关键．
14．（4分）已知点A（a﹣1，a+3）在x轴上，那么点A的坐标是 　（﹣4，0）　．
【分析】根据x轴上点的纵坐标等于零，可得a的值，根据a的值，可得答案．
【解答】解：由点A（a﹣1，a+3）在x轴上
a+8＝0．
解得a＝﹣3，
∴a﹣7＝﹣3﹣1＝﹣8，
点A的坐标为（﹣4，0），
故答案为：（﹣3，0）．
【点评】本题考查了点的坐标，x轴上点的纵坐标等于零，y轴上点的纵坐标等于零．
15．（4分）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，那么他至少答对　12　道题．
【分析】设小明答对了x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，根据得分＝10×答对题目数﹣5×答错或不答题目数，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：设小明答对了x道题，则答错或不答（20﹣x）道题，
依题意得：10x﹣5（20﹣x）≥80，
解得：x≥12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
16．（4分）如图，已知AB∥CD，E是射线BA上一点（不包括端点B），DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，∠B＝66°，则∠FDE＝　46°　．
​

【分析】设∠CDF＝α，则∠AEF＝2α，过点F作FH∥AB，由平行线的性质得∠EFH＝∠AEF＝2α，∠HFD＝∠CDF＝α，进而得∠EFD＝3α，再由翻折的性质得：∠EFD＝∠B＝66°，∠FED＝∠BED，据此可求出α＝22°，进而得∠BEF＝136°，∠FED＝68°，∠AED＝112°，然后再根据两直线平行同旁内角互补得∠CDE＝68°，据此可得∠FDE的度数．
【解答】解：设∠CDF＝α，
∵∠AEF＝2∠CDF，
∴∠AEF＝2α，
过点F作FH∥AB，
 
∵AB∥CD，
∴AB∥FH∥CD，
∴∠EFH＝∠AEF＝2α，∠HFD＝∠CDF＝α，
∴∠EFD＝∠EFH+∠HFD＝3α，
由翻折的性质得：∠EFD＝∠B＝66°，∠FED＝∠BED，
∴3α＝66°，
解得：α＝22°，
∴∠CDF＝α＝22°，∠AEF＝7α＝44°，
∴∠BEF＝180°﹣∠AEF＝180°﹣44°＝136°，
∴，
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝44°+68°＝112°，
∵AB∥CD，
∴∠AED+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝180°﹣∠AED＝180°﹣112°＝68°，
∴∠FDE＝∠CDE﹣∠CDF＝68°﹣22°＝46°．
故答案为：46°．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及性质，平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的翻折变换的性质，理解两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．
17．（4分）若整数m使得关于x，y的二元一次方程组的解为整数有且只有4个整数解，则符合条件的所有m的和为 　34　．
【分析】先求出不等式组的解集，根据一元一次不等式组的整数解得出关于m的不等式组，求出m的取值范围，根据m为整数得出m为14，15，16，17，18，19，求出方程组的解，再根据方程组有整数解得出答案即可．
【解答】解：解不等式组，得：，
∵关于x的不等式组有且只有4个整数解，
∴4个整数解为6，6，4，3，
∴8＜≤5，
解得：13＜m≤19，
∴整数m为14，15，17，19，
解方程组，得：，
∵方程组的解是整数，
∴m＝15或19，
15+19＝34，
故答案为：34．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，能求出m的范围是解此题的关键．
三、解答题。（本大题共7个小题，18-24题各10分，25题每小题10分，共82分.）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
18．（10分）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先用代入消元法求出y的值，再把y的值代入即可得出x的值；
（2）先用加减消元法求出y的值，再用代入消元法求出x的值即可．
【解答】解：（1），
把②代入①得，6y﹣7﹣y＝13，
解得y＝4；
把y＝3代入②得，x＝6×4﹣4＝17，
故方程组的解为；
（2），
①×3﹣②×6得，6x+15y﹣6x﹣4y＝24﹣10，
解得y＝，
把y＝代入②得＝5，
解得x＝，
故方程组的解为．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用二次根式的性质，算术平方根的意义和立方根的意义化简运算即可；
（2）利用绝对值的意义，算术平方根的意义化简运算即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣4+（﹣7）
＝3﹣4﹣2
＝﹣3；
（2）原式＝5+6﹣2+﹣4
＝+3．
【点评】本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，二次根式的性质，算术平方根的意义和立方根的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
20．（10分）解不等式（组）：
（1）解不等式，并在数轴上表示解集；
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1），
3（2+x）≥7（2x﹣1）+7，
6+3x≥7x﹣2+6，
5x﹣4x≥﹣2﹣8+6，
﹣x≥﹣2，
x≤5，
将不等式解集表示在数轴上如下：
；
（2）解不等式x﹣3（x﹣2）≤5，得：x≥1，
解不等式1+3x＞3（x﹣1），得：x＜2，
则不等式组的解集为1≤x＜4，
所以其整数解为6、2、3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（10分）如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，若∠AFE+∠DCB＝180°，∠A＝∠AEF
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC+　∠DCB　①＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠AFE+∠DCB＝180°（已知），
∴∠AFE＝∠ABC （ 　同角的补角相等　②）；
∴EF∥　BC　③（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AEF＝　∠ACB　④（两直线平行，同位角相等），
∵AB∥CD （已知），
∴∠A＝∠DCA（ 　两直线平行，内错角相等　⑤），
∵∠A＝∠AEF（已知），
∴∠DCA＝∠ACB（等量代换）．

【分析】根据题目已知条件及现有步骤结合平行线的判定和性质定理，即可得到答案．
【解答】证明：AB∥CD（已知），
∴∠ABC+∠DCB＝180°（两直线平行同旁内角互补），
又∵∠AFE+∠DCB﹣180°（已知），
∴∠AFE＝∠ABC（同角的补角相等）；
∴EF∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AEF＝∠ACB（两直线平行，同位角相等），
∵AB∥CD（已知），
∴∠A＝∠DCA（两直线平行，内错角相等），
∴∠A＝∠AEF（已知），
∴∠DCA＝∠ACB（等量代换）
故答案为：①∠DCB；②同角的补角相等；④∠ACB，内错角相等．
【点评】本题考查平行线的性质与判定，根据题意找到正确的角度关系是解题的关键．
22．（10分）某区正在创建全国文明城区，某校七年级开展创文知识竞赛活动，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析
七年级抽取部分学生成绩的频率分布表
成绩x/分
频数
频率
75≤x＜80
2
0.04
80≤x＜85
6
0.12
85≤x＜90
10
0.20
90≤x＜95
a
0.36
95≤x≤100
14
b
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为多少？
（2）写出表中a、b的值，请补全频数分布直方图；
（3）已知七年级有600名学生参加这次竞赛，且成绩在90分以上的成绩为优秀，估计该年级学生成绩为优秀的有多少人？
七年级抽取部分学生成绩的频数分布直方图
​
【分析】（1）用“75≤x＜80”的频数除以它的频率0.04可得样本容量；
（2）根据频数分布表中的数据，依据频数、频率、数据总数之间的关系可得a、b的值，根据a的值可以将频数分布直方图补充完整；
（3）用七年级的人数乘样本中成绩为优秀的学生所占比例即可．
【解答】解：（1）2÷0.04＝50，
答：本次调查的样本容量为50；
（2）a＝50×8.36＝18，b＝14÷50＝0.28，
补全频数分布直方图如下：

（3）600×（0.36+3.28）＝384（人），
答：估计该年级学生成绩为优秀的大约有384人．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC中任意一点P（x0，y0） 经平移后对应点为P1（x0+4，y0+3），将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1，已知点A的坐标为（﹣3，3），点B的坐标为（﹣6，﹣4），点C的坐标为（2，0）．
（1）写出 A1，B1，C1 的坐标；
（2）画出△A1B1C1，并求出△AB1C的面积．
​​

【分析】（1）利用点P和P1的坐标特征确定平移的方向与距离，利用此平移规律写出 A1，B1，C1 的坐标；
（2）利用（1）中 A1，B1，C1 的坐标描点即可，然后用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积即可．
【解答】解：（1）A1（1，4），B1（﹣2，﹣3），C1 （6，3）；
（2）如图，△A1B1C7，△AB1C的面积＝4×6﹣×7×1﹣×7×3＝8.3．

【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
24．（10分）如图，点E，F分别在直线AB，连接AD，CE，AD分别与CE，BF相交于点G，H，∠AEC＝∠BFD．
（1）求证：BF∥CE；
（2）求证：∠BAD＝∠ADC．

【分析】（1）由∠1＝∠2，∠2＝∠AHB，可得BF∥CE，
（2）由（1）可得出∠AEC＝∠B．再结合∠AEC＝∠BFD可得∠B＝∠BFD，即可得出AB∥CD，从而得出∠BAD＝∠ADC．
【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2，∠5＝∠AHB，
∴∠1＝∠AHB，
∴BF∥CE（同位角相等，两直线平行），
（2）由（1）可得出∠AEC＝∠B，
∵∠AEC＝∠BFD，
∴∠B＝∠BFD，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAD＝∠ADC．
【点评】本题考查平行线的性质和判断，熟练掌握平行线的性质和判断是解题关键．
25．（12分）每年五、六月份是我国冬小麦的收割时间．某农业合作社租用中型收割机和小型收割机进行冬小麦收割．已知1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩．
（1）求每台中型收割机和每台小型收割机平均每天各收割小麦多少亩？
（2）每台中型收割机和每台小型收割机每天的租金分别为1800元和1000元，该合作社种植了冬小麦5350亩，合作社计划租用两型收割机共8台，要使租用收割机的总金额不超过65000元，试求出所有满足条件的租用方案．并指出最经济的方案
【分析】（1）设每台中型收割机平均每天收割小麦x亩，每台小型收割机平均每天收割小麦y亩，根据“1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设租用m台中型收割机，则租用（8﹣m）台小型收割机，根据“恰好用5天时间将小麦全部收割，且租用收割机的总费用不超过65000元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租用方案，分别计算各租用方案的租金进行比较即可．
【解答】解：（1）设每台中型收割机平均每天收割小麦x亩，每台小型收割机平均每天收割小麦y亩，
由题意得：，
解得：，
∴每台中型收割机平均每天收割小麦160亩，每台小型收割机平均每天收割小麦90亩，
答：每台中型收割机平均每天收割小麦160亩，每台小型收割机平均每天收割小麦90亩；
（2）设租用m台中型收割机，则租用（8﹣m）台小型收割机，
由题意得：，
解得：2≤m≤，
又∵m为正整数，
∴m可以为5或3，
∴共有2种租用方案，
方案1、租用2台中型收割机；
方案2、租用6台中型收割机；
方案3租金为：1800×5×5+1000×2×3＝60000（元），
方案2租金为：1800×3×6+1000×5×6＝64000（元），
∵60000＜64000，
∴最经济的方案为：方案1：租用5台中型收割机，5台小型收割机．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．