山东省威海市2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

高一数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据并集的定义求解即可.

【详解】，,

.

故选：B.

2. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】通过求出的范围，再通过充分性和必要性的概念得答案.

【详解】由得或，

因为可推出或，满足充分性，

或不能推出，不满足必要性.

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

3. 某学校组织高一学生参加数学测试，现将学生成绩整理并做出频率分布直方图如图所示，其中数据的分组依次为，，，．若高于60分的人数是350，则高一学生人数为（    ）

A. 1000 B. 750 C. 500 D. 250

【答案】C

【解析】

【分析】先由频率分布直方图得高于60分的人数所占频率，再根据比例计算可得高一学生人数.

【详解】由频率分布直方图得高于60分的人数所占频率为，

所以高一学生人数为人

故选：C.

4. 已知正实数满足，则的最小值为（    ）

A. 8 B. 17 C. 20 D. 25

【答案】D

【解析】

【分析】利用，展开后通过基本不等式求最小值.

【详解】

，

当且仅当，即时等号成立.

故选：D.

5. 函数单调递减区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断规则来得答案.

【详解】对于有，

解得函数的定义域为，

又，

对于，其在上单调递增，在上单调递减，

又在上单调递增，

由复合函数单调性的规则：同增异减得

函数的单调递减区间为.

故选：A.

6. 一种电路控制器在出厂时，每4件一等品装成一箱．工人装箱时，不小心将2件二等品和2件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，需要对该箱中的产品逐件进行测试．假设检测员不知道该箱产品中二等品的具体数量，则测试的第2件产品是二等品的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由条件进行分析，结合古典概型计算公式，即可得到结果.

【详解】只考虑测试的第2件产品，它可以是箱中的4件产品中的任何一件，因此有四种结果，并且这4中结果的出现是等可能的，

测试的第2件产品是二等品的结果有2种，因此，测试的第2件产品是二等品的概率为

故选:D

7. 在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：mol/L，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：mol/L，记作）的乘积等于常数，已知pH的定义为，若某人血液中的，则其血液的pH约为（参考数据：）（    ）

A. 7.2 B. 7.3 C. 7.4 D. 7.5

【答案】B

【解析】

【分析】由题可得，再利用，化简对数相关运算即可得出结果.

【详解】由题意得，，

又，，

则，，

则

.

故选：B

8. 已知函数若，，，则（    ）

A. c＜b＜a B. b＜a＜c C. a＜c＜b D. a＜b＜c

【答案】D

【解析】

【分析】由题可得 在R上单调递增，后由函数单调性结合，，

大小可得答案.

【详解】令，知其在上单调递增.

令，知其在上单调递增，又，

得 在R上单调递增.

因函数均在上单调递增，

则.

又，

，则.

故，又由函数 在R上单调递增，

则，即a＜b＜c.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知，则下列选项中能使成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.

【详解】对于A：，，，，故A正确；

对于B：，，，，故B错误；

对于C：，，故C正确；

对于D：，，，，故D错误；

故选：AC.

10. 某社区通过公益讲座来普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则（    ）

A. 讲座前问卷答题的正确率的第60%分位数为75%

B. 讲座前问卷答题的正确率的平均数大于70%

C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差

D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】BC

【解析】

【分析】由图表信息，结合百分位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

【详解】讲座前的第60%分位数为,所以错；

讲座前问卷答题的正确率分别为60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,平均数为74.5%,所以B对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C对；

讲座后问卷答题的正确率的极差为，

讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.

故选:BC.

11. 已知函数，则（    ）

A. 为奇函数 B. 的值域为

C. 若，则 D. 若，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】结合函数的奇偶性、单调性对选项逐一分析即可.

【详解】函数的定义域为R，且，

则为奇函数，故A正确；

，则，则，故B正确；

即，即，得，故C错误；

在R上单调递增且，则在R上单调递减，

故在R上单调递减，又奇函数，

则，即；

解得，故D正确；

故选：ABD.

12. 若是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（    ）

A. 在上单调递减 B.

C. 在上恰有5个零点 D. 是偶函数

【答案】AD

【解析】

【分析】由函数的奇偶性得出函数的周期，即可得出函数在一个周期内的图象，从而结合函数的性质逐个判断.

【详解】由是定义在上的奇函数得，

由偶函数得，即关于对称，

结合是奇函数可得关于对称，

∴，∴ ，∴函数的周期为8.

当时，，则在（1个周期）的图象如图所示.

对A，由图易得，在上单调递减，A对；

对B，由函数的奇偶性、周期性可得，B错；

对C，由图易得，在上恰有7个零点，C错；

对D，因为函数关于对称，所以，故是偶函数，D对.

故选：AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. ______．

【答案】##

【解析】

【分析】根据指数对数的运算性质计算即可.

【详解】.

故答案为：.

14. 已知函数的定义域为，则的定义域为______．

【答案】

【解析】

【分析】通过函数的定义域可得中，解出即可.

【详解】由函数的定义域为得，

对于有，

，即的定义域为.

故答案为：.

15. 据统计某市学生的男女生人数比为，为了调查该市学生每天睡眠时长的情况，按照男女生人数比用分层抽样的方法抽取样本．根据样本数据计算得男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时，方差为2，女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，方差为1.9，则可估计该市学生每天睡眠时长的平均数为______小时，方差为______．

参考公式：分层抽样中，假设第一层有m个数，平均数为，方差为；第二层有n个数，平均数为，方差为．则样本方差．

【答案】    ①. 7    ②. 2

【解析】

【分析】设男、女生人数分别为：，由平均数的定义和题中方差公式即可得出答案.

【详解】由题意可得：，，

因为该市学生的男女生人数比为，所以设男、女生人数分别为：，

所以该市学生每天睡眠时长的平均数为：，

该市学生每天睡眠时长的方差为，

由题中方差公式可得：

故答案为：7；2.

16. 已知函数若关于x的方程有六个不等的实数根，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】作出函数的图象，令，分析可知关于的方程在内有两个不同实数根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解之即可.

【详解】画出

函数的图象如下图所示，

令，则方程可化为.

由图可知：当时，与有个交点，

要使关于的方程恰好有六个不同的实数解，

则方程在内有两个不同实数根，所以，，

解得，因此，实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：利用转化法、换元法，结合数形结合思想、一元二次方程根的分布性质是解题的关键.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知集合，集合．

（1）当时，求；

（2）当时，若，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）代入，求出集合AB中元素范围，再根据交集和补集的定义求解即可；

（2）求出集合AB中元素范围，再根据列不等式求实数的取值范围．

【小问1详解】

当a＝1时, 或，

，

，

；

【小问2详解】

当时，或，

，，

，

解得.

18. 已知幂函数（其中m为实数）在上单调递减．

（1）若，求的值；

（2）解关于x的不等式．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先通过幂函数的定义求出，再代入，求出，平方后求出，再平方即可求出；

（2）将代入，解不等式即可.

【小问1详解】

幂函数（其中为实数）在上单调递减，

，解得，

，

，即，

，得，即，

，得，

即；

【小问2详解】

由（1）得，即，

解得不等式解集为.

19. 某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立．

（1）求参加活动的选手没有获得奖金的概率；

（2）现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，分第一关没有通过和第一关通过第二关没有通过两种情况求解即可；

（2）甲、乙两位选手有一人获得一等奖，一人获得二等奖，进而根据独立事件概率的乘法公式求解即可.

【小问1详解】

解：设选手闯第一关成功为事件，闯第二关成功为事件，闯第三关成功为事件，

所以，，

设参加活动的选手没有获得奖金为事件，

所以.

【小问2详解】

解：设选手闯关获得奖金300元为事件，选手闯关获得奖金800元为事件，

所以，，，

设两人最后所得奖金总和为1100元为事件，

所以，甲、乙两位选手有一人获得一等奖，一人获得二等奖，

所以

20. 某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池．其平面图如图所示，每个育苗池的底面积为200平方米，深度为2米，育苗池的四周均设计为2米宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x米（），甬路的面积为S平方米．

（1）求S与x之间的函数关系式；

（2）已知育苗池四壁的造价为200元/平方米，池底的造价为600元/平方米，甬路的造价为100元/平方米，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低造价．

【答案】（1），   

（2）米时，总造价最低，最低总造价为459200元.

【解析】

【分析】（1）根据题意得到养殖室的总面积，从而表达出函数关系式；

（2）在第（1）问的基础上，表达出总造价关于的函数关系式，并利用基本不等式求出最小值.

【小问1详解】

由题意可得每个育苗池另一边长为米，

则，；

【小问2详解】

设总造价为元，则

，，

其中，

当且仅当，即时，等号成立，

故，

所以米时，总造价最低，最低总造价为459200元.

21. 已知函数．

（1）若在上单调递增，求实数k的取值范围；

（2）令，若对任意，恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，分与讨论，列出不等式即可得到结果；

（2）根据题意，转化题意为恒成立，由二次函数的性质可得到结果.

【小问1详解】

当，即时，，则在上单调递增恒成立；

当时，要使在上单调递增，

则，解得

综上，的取值范围为

【小问2详解】

因为，

令，则，要使恒成立，

当，即时，，符合题意；

当，即时，若要使恒成立，

由二次函数的图象与性质可得该函数图象开口朝上，即，

此时对称轴为，在上单调递增，

则只需，解得；

综上，的取值范围为.

22. 已知函数与的图象关于直线对称．

（1）若函数是偶函数，求实数m的值；

（2）若关于x的方程有实数解，求实数的取值范围；

（3）已知实数a，b满足，，求的值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由题知，进而得，再根据函数的奇偶性求解即可；

（2）由题知关于的方程有实数解，再分和两种情况讨论求解即可；

（3）根据题意变形得，，进而根据函数在上单调递增得，即，再计算即可.

【小问1详解】

解：因为函数与的图象关于直线对称，所以，

所以，

因为函数是偶函数，

所以，，

整理得，

所以，，解得.

所以，当时，函数是偶函数.

【小问2详解】

解：因为，

所以，关于x的方程有实数解等价于有实数解，

整理得，关于的方程有实数解，

所以，当时，，解得；

当时，，解得，且，

综上，实数的取值范围为

【小问3详解】

解：因实数a，b满足，，

所以，，，即，

所以，，，即，

令，

设，则，

所以，，即，

所以，函数在上单调递增，

因为方程等价于，

所以，，即，

所以，