山东省潍坊市四县2023届高三数学下学期5月高考模拟试题（Word版附解析）

这是一份山东省潍坊市四县2023届高三数学下学期5月高考模拟试题（Word版附解析），共25页。

2023年全国普通高考模拟试题
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知i为虚数单位，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求解.
【详解】解：由，
得，
故选：B
2. 已知集合，，则集合B中所有元素之和为（ ）
A. 0 B. 1 C. －1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列式求得的值，即可得出答案.
【详解】根据条件分别令，解得，
又，所以，，
所以集合B中所有元素之和是，
故选：C．
3. 已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥内切球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥与内切球的轴截面图，列出等量关系，即可求解.
【详解】圆锥与内切球的轴截面图如图所示，
设点为球心，内切球半径为，为切点，，
由条件可知，，所以，
中，，即，解得，
所以圆锥内切球表面积.

故选：B
4. 函数在区间上的零点个数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】函数在区间上的零点的个数，转化为方程在区间上的根的个数.
【详解】求函数在区间上的零点个数，
转化为方程在区间上的根的个数.
由，得或，
解得：或或，
所以函数在区间上的零点个数为3.
故选：A.
5. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图所示，这是一个“阿基米德多面体”花岗岩石凳，它是将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到．已知此石凳的体积为，则此石凳的棱长（单位：cm）为（ ）

A. 15 B. C. 20 D.
【答案】B
【解析】
【分析】设正方体的棱长为，则石凳的棱长为，根据石凳的体积得到方程，求出的值，即可得解.
【详解】设正方体的棱长为，则石凳的棱长为，
因为由正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得到的，
所以该几何体的体积为，解得，
所以石凳的棱长为.
故选：B
6. 数列1，3，2，…中，，则（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用推导出，即数列具有周期，利用数列的周期性可求得和的值.
【详解】因为，所以，
所以，所以数列的周期为6，
因为，，
所以，，
所以.
故选：C
7. 已知函数，及其导函数，的定义域均为，为奇函数，关于直线对称，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由为奇函数得，由关于直线对称得 为偶函数，对于选项A，由为偶函数满足即可判断；对于选项B，由得即可判断；对于选项C，由偶函数的对称性得到切线的对称性，从而得到导数的关系即可判断；对于选项D，由得到的对称性，从而得到导数的关系即可判断.
【详解】解法一：由为奇函数得，
令，则，所以，
即，所以；
因为关于直线对称，所以关于轴对称，
即为偶函数，所以.
对于选项A，因为为偶函数，所以，
所以，故选项A错误.
对于选项B，由得，
所以，故选项B错误.
对于选项C，因为的图像关于轴对称，所以轴左右两边对称点的切线关于轴对称，所以切线的斜率互为相反数，
即，所以，
所以，故选项C错误.
对于选项D，因为，所以关于点中心对称，
因为，所以和关于点对称，
所以在和处切线的斜率相等，即，
所以，故选项D正确.
故选：D.
8. 已知双曲线（）的左焦点为F，过F的直线交E的左支于点P，交E的渐近线于点M，N，且P，M恰为线段FN的三等分点，则双曲线E的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得为线段的中点，为线段的中点，设，从而可得出的坐标，再根据点在渐近线上，求出，再根据点在双曲线，得出的齐次式即可得解.
【详解】由题意，点在渐近线上，点在渐近线上，
设，
因为P，M恰为线段FN的三等分点，
所以为线段的中点，为线段的中点，
则，则，即，
又点在渐近线上，
所以，所以，
故，
因为点在双曲线，
所以，所以，
所以.
故选：D.

【点睛】关键点点睛：设，由为线段的中点，为线段的中点，得出的坐标，再根据点在渐近线上，求出，是解决本题的关键.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”．一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史．在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征．为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差．一组数据：（）记其均值为m，中位数为k，方差为，则（ ）
A.
B.
C. 新数据：的均值为m＋2
D. 新数据：的方差为
【答案】CD
【解析】
【分析】利用中位数的定义可判断A选项；举反例可判断B选项；利用均值和方差公式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，因，
样本数据最中间的项为和，
由中位数的定义可知，，A错；
对于B，不妨令，
则，B错误；
对于C，数据的均值为：
，C正确；
对于D，数据的均值为：
，
其方差为，D对.
故选：CD
10. 已知点O为△ABC内的一点，D，E分别是BC，AC的中点，则（ ）
A. 若O为AD中点，则
B. 若O为AD中点，则
C. 若O为△ABC的重心，则
D. 若O为△ABC的外心，且BC＝4，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由为中点，结合平面向量的加法法则即可判断A，B；由重心的性质即可判断C；由三角形外心性质结合数量积公式判断D．
【详解】对于A，因为为中点，所以，故A正确；
对于B，由为中点，则，故B正确；

对于C，由O为△ABC的重心，则根据三角形重心的性质得，所以，故C错误；

对于D，若点O为△ABC的外心，BC＝4，则根据三角形外心的性质得，
故，故D正确．

故选：ABD．
11. 已知点P是圆上一点，，，则以下说法正确的是（ ）
A. 若直线AB与圆C相切，则
B. 若以A，B为直径的圆与圆C相切，则
C. 若，则
D. 当时，的最小值为34
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据直线与圆相切，可得圆心到直线的距离即为半径，进而即可判断A；根据圆与圆的位置关系，分圆与外切和内切两种情况讨论即可判断B；设P点的坐标为，从而得到，即圆C与有交点，进而即可判断C；设P点的坐标为(为参数)，从而得到其中，进而即可判断D．
【详解】对于A，由，，则直线AB的方程为，
所以圆的圆心到直线AB的距离为，
又直线AB与圆C相切，所以，故A正确；
对于B，由，，则以A，B为直径的圆方程为：，
所以圆的圆心到圆的圆心的距离为5，
当圆与外切时，有，得，
当圆与内切时，有，得，故B不正确；

对于C，设P点的坐标为，
则，，
所以，即，
所以圆C与有交点，所以结合选项B可得，故C正确；

对于D，设P点的坐标为(为参数)，
则，，
所以，其中，
所以当时，取得最小值，且最小值为34，故D正确．
故选：ACD．
12. 设函数其中，．若，，且相邻两个极值点之间的距离大于，，设，则（ ）
A. B.
C. 在上单调递减 D. 在上存在唯一极值点
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意求得，由，求得，得到或，当时，求得，得到，进而得到，所以不符合题意，，求得，可判定A不正确；由时，求得，进而可判定B正确；求得，结合正弦型函数的性质，可判定C正确、D错误.
【详解】由函数，因为且，
可得，可得，所以
因为相邻两个极值点之间的距离大于，可得，解得，
所以，可得，可得或，
当时，，可得，
则，可得，即
因为，所以，所以，
可得，则，
因为，所以不符合题意，（舍去），所以，所以A不正确；
当时，可得，解得，
因为，所以，所以B正确；
由，可得，
所以，
其中，因为，可得，
又由，可得，
根据正弦函数的性质，可得在为单调递减函数，
所以在上为单调递减函数，所以C正确；
由，可得，
因为，可得且，
所以当时，即时，函数取得极大值；
当时，即时，函数取得极小值，
所以在上存在一个极大值点和一个极小值点，所以D不正确.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某高中学校共有学生3600人，为了解某次数学文化知识竞赛的得分情况，采用分层抽样的方法从这3600名学生中抽取一个容量为48的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数组成一个以4为公差的等差数列，则该学校高三年级的学生人数为______人．
【答案】1500
【解析】
【分析】由等差数列与分层抽样的概念求解即可.
【详解】设从高二抽取的人数为，则高一抽取的人数为，高三抽取的人数为.
所以，解得，所以高三年级抽取了20人，由分层抽样的概念可知高三年级的学生人数为：.
故答案为：1500.
14. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】分别令，和求出即可求解.
【详解】令得，所以，
令得，所以，而，
所以.
故答案为：.
15. 已知抛物线的焦点为，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题意设出直线的方程，再联立直线方程与抛物线方程，然后利用韦达定理结合抛物线定义求出以及点到轴的距离，从而表示出，进而求出结果.
【详解】由得，由题意知直线的斜率不为0，
所以设直线的方程为，，
联立消去得，
则由韦达定理得，所以，
所以，所以，

又点到轴的距离，
所以，
所以当时，取得最小值.
故答案为：.
16. 已知四面体ABCD满足，，，且该四面体的体积为，则异面直线AD与BC所成的角的大小为______．
【答案】或
【解析】
【分析】将四面体放入长方体中，根据体积公式计算得到，建立空间直角坐标系，得到各点坐标，根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】如图所示：将四面体放入长方体中，

，解得，
故，
以为轴建立空间直角坐标系，
，，，或，
或，，
异面直线AD与BC所成的角的大小为，，
，；
或，；
综上所述：异面直线AD与BC所成的角的大小为或.
故答案为：或
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列的前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可证得数列是首项为3，公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式求出，再由n≥2时，，两式相减即可求出数列的通项公式，再检验也符合；
（2）由（1）求出，再由错位相减法求出数列的前n项和．
【小问1详解】
由于，，，
所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，所以，，
当n≥2时，，
所以，也符合上式，所以
【小问2详解】
由（1）可得：，
，
，

两式相减得，

所以．
18. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为，点D在线段BC上，且，求AD的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理的边化角及两角和的正弦公式代入化简已知式即可得出答案；
（2）由三角形的面积公式可求出，再由，两边同时平方结合基本不等式即可得出AD的最小值.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得，
所以，
所以，又，
所以，因为，所以；
【小问2详解】
由（1），所以，
所以．
点D在线段BC上，且，
所以，则

，所以．
当且仅当即，时等号成立．
所以AD的最小值为．
19. 如图，线段是圆柱的母线，是圆柱下底面⊙O的内接正三角形，．

（1）劣弧上是否存在点D，使得平面？若存在，求出劣弧的长度；若不存在，请说明理由．
（2）求平面和平面所成角的正弦值．
【答案】（1）存在，劣弧长度为
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面平行的性质定理即可证明平面；求出⊙O的半径，再由弧长公式即可得出答案；
（2）如图取BC的中点为M，连接MA，以MB为x轴，MA为y轴，过M作OO1平行线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.
【小问1详解】
如图过点O作AB平行线OD交劣弧于点D，
连接，，因为，平面，平面，

则平面，同理可证平面，
，且平面，平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面
故存在点D满足题意．
因为为底面⊙O的内接正三角形，所以，即，
又因为，所以⊙O的半径为，
所以劣弧长度为；
【小问2详解】
如图取BC的中点为M，连接MA，以MB为x轴，MA为y轴，过M作OO1平行线为z轴，建立空间直角坐标系，

又因为，设AB中点为N．
故，，，，，，
易知平面，所以平面的法向量．
设平面的法向量为，
又因为，，故即
令得
所以平面和平面夹角的余弦值为．
故平面和平面夹角的正弦值为．
20. 从某企业生产的产品中随机抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如下样本数据频率分布直方图．

（1）估计该企业这种产品质量指标值的平均数和方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算，若，令，则，且．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；
（ⅱ）若质量指标值在区间内的为合格品，其余为不合格品，为了保证出厂产品质量，需要对产品进行检查，但直接检查带有破坏性，现在尝试一种新的检查方法，经试验知一件合格品经检查而获准出厂的概率是0.97，一件不合格品经检查而获准出厂的概率是0.04，求采用新的检查方法后，获准出厂的产品是合格品的概率为多少（精确到）？
参考数据：，标准正态分布表
α
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.5000
0.5040
0.5080
0.5120
0.5160
0.5199
0.5239
0.5279
0.5319
0.5359
0.1
0.5398
0.5438
0.5478
0.5517
0.5557
0.5596
0.5636
0.5675
0.5714
0.5753
0.2
0.5793
0.5832
0.5871
0.5910
0.5948
0.5987
0.6026
0.6064
0.6103
0.6141
0.3
0.6179
0.6217
0.6255
0.6293
0.6331
0.6368
0.6406
0.6443
0.6480
0.6517
0.4
0.6554
0.6591
0.6628
0.6664
0.6700
0.6736
0.6772
0.6808
0.6844
0.6879
0.5
0.6915
0.6950
0.6985
0.7019
0.7054
0.7088
0.7123
0.7157
0.7190
0.7224
0.6
0.7257
0.7291
0.7324
0.7357
0.7389
0.7422
0.7454
0.7486
0.7517
0.7549
0.7
0.7580
0.7611
0.7642
0.7673
0.7703
0.7734
0.7764
0.7794
0.7823
0.7852
0.8
0.7881
0.7910
0.7939
0.7967
0.7995
0.8023
0.8051
0.8078
0.8106
0.8133
0.9
0.8159
0.8186
0.8212
0.8238
0.8264
0.8289
0.8315
0.8340
0.8365
0.8389

【答案】（1），
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数和方差的公式即可求解；
（2）根据标准正态分布的对称性和条件概率即可求解.
【小问1详解】
平均数
，

．
【小问2详解】
（ⅰ），
（ⅱ）设A表示产品为合格品，B表示产品获准出厂，则：
，，，，
故获准出厂的产品是合格品的概率为：
.
21. 已知椭圆长轴长为4，C的短轴的两个顶点与左焦点构成等边三角形．
（1）求C的标准方程；
（2）直线l与椭圆相交于A、B两点，且，点P满足，O为坐标原点，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意先得a＝2，再由C的短轴两个顶点与左焦点构成等边三角形计算得b＝1即可；
（2）确定P的轨迹为以AB为直径的圆，设圆心为M，由三角形三边关系将问题转化为，再分类讨论l斜率存在的情况，斜率不存在时显然|OP|＝1，当斜率存在时，设l的方程并与椭圆方程联立结合韦达定理求OM最值即可.
【小问1详解】
由题意知，2a＝4，所以a＝2，设C的短轴两个顶点为DE，左焦点为F1，
因为C的短轴两个顶点与左焦点构成等边三角形，

如图所示，所以，
所以b＝1，所以C的标准方程为；
【小问2详解】
由题意可得P的轨迹为以AB为直径的圆，设圆心为M，半径，而由三角形三边关系可得，故M、P、O三点共线时取得OM最大，此时M在OP之间.
①当l的斜率不存在时，AB恰为短轴，此时|OP|＝1；
②当l的斜率存在时，

如图所示，设l：y＝kx＋m．联立
得到，
，得，
得，，
，得，则，
所以，
令，t≥1，，
所以，当且仅当时等号成立，
而，当时，取得等号，
所以|OP|的最大值为．
22. 已知函数的图像在点处的切线与直线垂直．
（1）满足的关系式；
（2）若在上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）原问题等价于在上恒成立，令，利用导函数讨论单调性即可求解；
（3）利用（2）中结论，当时，，令，，则，结合对数的运算性质即可求解.
【小问1详解】
由题意可得，
因为在点处的切线与直线垂直，
所以，即，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
若在上恒成立，则在上恒成立，
设，，
则，，
①当时，，若，则，此时在上单调递减，
所以，即在不恒成立．
②当，，当时，，在上单调递增，
又，此时，综上所述，所求的取值范围是.
【小问3详解】
由（2），当时，在上恒成立，
取，得即，当且仅当时等号成立，
令，
则，
因为，
而
，
所以，
又
．
所以，即，证毕．
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不等式变形为，然后由导数求得的最小值，解不等式即可得参数范围，第（3）问注意利用之前构造好的不等式，当时，，令，即可求解.