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    山东省淄博市2023届高三数学下学期一模试题(Word版附解析)

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    这是一份山东省淄博市2023届高三数学下学期一模试题(Word版附解析),共25页。试卷主要包含了 已知,,,016等内容,欢迎下载使用。

    淄博市2022-2023学年度高三模拟考试

    数学

    注意事项:

    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

    2.回答选择题时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡.上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.

    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有-项是符合题目要求的.

    1. 若集合,则   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】求出集合A,B中元素的范围,然后求即可.

    【详解】,

    ,

    ,

    .

    故选:C.

    2. 设复数,则   

    A 0 B. 1 C. 2 D. 3

    【答案】D

    【解析】

    【分析】求出复数的代数形式,进而可求模.

    【详解】

    .

    故选:D.

    3. 函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为,得到函数的图象,只需将的图象(   

    A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位

    C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

    【答案】C

    【解析】

    【分析】先根据条件求出周期,即可得到,再利用平移的规则即可得到答案、.

    【详解】函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为

    只需将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象.

    故选:C.

    4. 如图,某几何体的形状类似胶囊,两头都是半球,中间是圆柱,其中圆柱的底面半径与半球的半径都为2,若该几何体的表面积为,则其体积为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】由图可知:该几何体是有一个圆柱和两个半球拼接而成,根据表面积公式求出圆柱的高,利用体积计算公式即可求解.

    【详解】由题意可知:设该几何体中间部分圆柱的高为,圆柱的半径为

    则该几何体的表面积为,因为,所以

    所以该几何体的体积

    故选:A.

    5. 某公园有如图所示8个座位,现有2个男孩2个女孩要坐下休息,要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列,则不同的坐法总数为(   

     

    A. 168 B. 336 C. 338 D. 84

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据题意,先排男生再排女生,由分步计数原理计算可得答案.

    【详解】第一步:排男生,第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选,第二个男生在第二行有三个位置可选,由于两名男生可以互换,故男生的排法有种,

    第二步:排女生,若男生选,则女生有7种选择, 由于女生可以互换,故女生的排法有种,

    根据分步计数原理,共有种,

    故选:B

    6. 已知中,,过点垂直于点,则(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】根据求得,再用余弦定理求得,利用等面积法求得,勾股定理求得,从而,最后分解为已知向量即可.

    详解】

    又因为,所以.

    中,根据余弦定理可得:

    ,即

    根据三角形面积公式,解得

    .

    故选:A

    7. 直线经过椭圆的左焦点,交椭圆于两点,交轴于点,若,则该椭圆的离心率为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】由直线与坐标轴的交点,得到,则,由,得点坐标,点A又在椭圆上,由定义求得,可求椭圆的离心率.

    【详解】对直线,令,解得,令,解得

    ,设,则

    ,则 ,解得

    A又在椭圆上,左焦点,右焦点

    ,椭圆的离心率.

    故选:C

    8. 已知.其中为自然对数的底数,则(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据已知条件构造函数,再利用导数法研究函数的单调性,结合函数单调性的性质即可求解.

    【详解】,令

    ,则

    时,,所以上单调递增,

    所以,又

    所以,在成立,

    所以,即

    所以,即

    ,所以

    因为,所以,即

    所以上单调递减,

    所以,即

    所以

    因为,所以,即

    所以上单调递减,

    所以,即

    所以,在成立,

    ,则上式变为,所以,即

    综上,.

    故选:B.

    【点睛】解决此题的关键是构造函数,然后利用导函数研究函数的单调性,结合函数单调性的性质即可.

    二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0

    9. 某学校为普及安全知识,对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析,整理得到如图所示的频率分布直方图,则根据该直方图,下列结论正确的是(   

    A. 图中的值为0.016

    B. 估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于6090之间

    C. 该校高一学生竞赛得分不小90的人数估计为195

    D. 该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80

    【答案】BCD

    【解析】

    【分析】根据频率分布直方图性质可得,判断A错误;计算出得分介于6090之间的频率,判断B正确;利用1500乘以得分不小于90频率,判断C正确;计算得分介于5080之间的频率判断D正确.

    【详解】由频率分布直方图性质可得:

    ,解得,故A错误;

    得分介于6090之间的频率为,故B正确;

    得分不小于90的人数估计为,故C正确;

    得分介于5080之间的频率为,故D正确.

    故选:BCD.

    10. 已知函数,则(   

    A. 时,有最小值1

    B. 时,图象关于点中心对称

    C. 时,对任意恒成立

    D. 至少有一个零点的充要条件是

    【答案】AC

    【解析】

    【分析】利用基本不等式判断选项;利用函数的对称性即可判断选项;利用导数判断函数的单调性即可判断选项;举例说明即可判断选项.

    【详解】对于,当时,

    时,则当且仅当,即时去等号,

    所以函数有最小值1,故选项正确;

    对于,当时,则

    因为,所以此时函数图象不关于点中心对称,故选项错误;

    对于,当时,则,令

    ,当时,

    时,,所以函上单调递减,在上单调递增,

    所以,所以

    则当时,对任意恒成立,故选项正确;

    对于,因为时,函数

    函数在上有一个零点,所以选项错误,

    故选:.

    11. 已知曲线的方程为)分别为轴的左、右交点,上任意一点(不与重合),则(   

    A. ,则为双曲线,且渐近线方程为

    B. 点坐标为为焦点在轴上的椭圆

    C. 若点的坐标为,线段轴垂直,则

    D. 若直线的斜率分别为,则

    【答案】BD

    【解析】

    【分析】根据方程的特征和椭圆与双曲线的性质逐项进行分析即可判断.

    【详解】对于,若,则为双曲线,其双曲线的渐近线方程为:,故选项错误;

    对于,因为点在曲线上,所以,所以,则曲线为椭圆,又因为,所以为焦点在轴上的椭圆,故选项正确;

    对于,因为点的坐标为,所以过点轴垂直的直线方程为,代入曲线方程可得:,若,则有

    ,则有,故选项错误;

    对于,由题意可知:,设点

    ,所以

    又因为点在曲线上,所以

    所以,故选项正确,

    故选:.

    12. 如图,在正方体中,是正方形内部(含边界)的一个动点,则(   

    A. 存在唯一点,使得

    B. 存在唯一点,使得直线与平面所成的角取到最小值

    C. ,则三棱锥外接球的表面积为

    D. 若异面直线所成的角为,则动点的轨迹是抛物线的一部分

    【答案】BCD

    【解析】

    【分析】由线面垂直得线线垂直来确定点位置,判断选项A;几何法找线面角,当角最小时确定点位置,判断选项B中点时,求三棱锥外接球的半径,计算外接球的表面积,判断选项C;利用向量法解决异面直线所成角的问题,求出动点的轨迹,判断选项D.

    【详解】对于A选项:正方形中,有

    正方体中有平面平面

    平面平面

    只要平面,就有在线段上,有无数个点,A选项错误;

    对于B选项:平面,直线与平面所成的角为取到最小值时,最大,

    此时点与点重合,B选项正确;

    对于C选项:若,则中点,为等腰直角三角形,外接圆半径为,三棱锥外接球的球心到平面的距离为,则外接球的半径为,所以三棱锥外接球的表面积为C选项正确;

    对于D选项:以D为原点,的方向为轴,轴,轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,

    ,设,则有

    ,化简得是正方形内部(含边界)的一个动点,

    所以的轨迹是抛物线的一部分,D选项正确.

    故选:BCD

    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20

    13. 在二项式的展开式中,常数项是______.

    【答案】

    【解析】

    【分析】由题意首先结合通项公式写出通项,然后结合展开式的性质整理计算即可求得最终结果.

    【详解】展开式的通项公式为:

    可得:

    则展开式的常数项为:.

    故答案为:

    14. ,则______.

    【答案】

    【解析】

    【分析】先通过以及确定的范围,进而可得,再利用两角差的余弦公式展开计算即可.

    【详解】,

    ,又

    ,则,与矛盾,

    .

    故答案为:.

    15. 在平面直角坐标系中,已知点,直线与圆交于两点,若为正三角形,则实数______.

    【答案】

    【解析】

    【分析】结合作图,可求得直线的斜率,以及原点到直线的距离,利用点到直线的距离公式,求得答案.

    【详解】由题意可知在圆上,如图:

    MN中点为H,连接PH,因为为正三角形,则PH过点O,

    则直线MN的斜率为:

    即为

    因为为正三角形,则O点为的中心,由中心及重心性质知,

    ,故 ,解得

    结合在圆上,是圆的内接正三角形,可知 ,即.

    故答案为:

    16. 已知函数,若存在实数,满足,则的最大值是______

    【答案】

    【解析】

    【分析】作出的函数图象,得出,将化简为,构造函数,由得出单调递增,求出的最大值,即可求得答案.

    【详解】解:作出的函数图象如图所示:

    存在实数,满足

    由图可知,

    ,其中

    ,显然单调递增,

    单调递增,

    的最大值为

    的最大值为

    故答案为:

    四、解答题:本题共6小题,共70.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17. 已知数列中,.

    1判断数列是否为等差数列,并说明理由;

    2求数列的前项和

    【答案】1是等差数列,理由见解析   

    2

    【解析】

    【分析】(1)根据数列的递推公式即可求解;

    (2)结合(1)的结论得出,然后利用错位相减法即可求解.

    【小问1详解】

    因为

    所以数列是以为首项,以为公差的等差数列;

    【小问2详解】

    由(1)知:

    数列的通项公式为:

    得:

    .

    18. 中,角的对边分别是,满足

    1求角

    2若角的平分线交于点,且,求的最小值.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】(1)结合已知条件,利用余弦定理即可求解;

    (2)利用正弦定理得到,然后利用基本不等式即可求解.

    【小问1详解】

    可得:

    由余弦定理知,

    因此.

    【小问2详解】

    中,由,得

    中,由,可得

    所以

    中,由,得

    解得

    所以

    因为

    所以

    当且仅当时取等号,

    因此的最小值为.

    19. 某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出(万元)与年度销售量(万台)的数据,如表所示:

    年份

    2016

    2017

    2018

    2019

    2020

    2021

    2022

    广告费支出

    1

    2

    4

    6

    11

    13

    19

    销售量

    1.9

    3.2

    40

    4.4

    5.2

    5.3

    5.4

    其中

    1若用线性回归模型拟合的关系,求出关于的线性回归方程;

    2若用模型拟合得到的回归方程为,经计算线性回归模型及该模型的分别为0.750.88,请根据的数值选择更好的回归模型拟合的关系,进而计算出年度广告费为何值时,利润的预报值最大?

    参考公式:

    【答案】1   

    2选用回归方程更好,时,利润的预报值最大

    【解析】

    【分析】(1)根据数据,利用公式即可求出线性回归方程;

    (2)越大拟合效果越好,选用回归方程更好,从而计算出结果.

    【小问1详解】

    由题意可得:

    所以

    关于的线性回归方程:.

    【小问2详解】

    因为越大拟合效果越好,

    选用回归方程更好,

    即当时,时,利润的预报值.

    20. 已知多面体中,,且

    1证明:

    2,求直线与平面所成角的正弦值.

    【答案】1证明见解析;   

    2

    【解析】

    【分析】1)通过证明平面,从而证明

    2)由条件证得,以所在直线为轴,以所在直线为轴,以所在直线为轴,建立空间直角坐标系求解.

    【小问1详解】

    连接,

    中,

    可得,即

    同时,可得

    同理可得

    因为,且平面平面

    所以平面

    又因为平面,所以.

    【小问2详解】

    中,易得,且

    所以,同时

    所在直线为轴,以所在直线为轴,以所在直线为轴,如图所示,

    建立空间直角坐标系.

    其中

    设向量为平面的法向量,

    满足

    不妨取

    直线与平面所成角的正弦值为:

    .

    21. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为3为抛物线上异于原点的两点.延长分别交抛物线于点,直线相交于点.

    1,求四边形面积最小值;

    2证明:在定直线上.

    【答案】132    2证明见解析

    【解析】

    【分析】1)根据抛物线的焦半径公式求得抛物线方程,设,直线的方程,联立方程,利用韦达定理求得,再根据弦长公式求得,再结合基本不等式即可得解;

    2)设,根据三点共线和三点共线,求得,再结合(1)即可得出结论.

    【小问1详解】

    由抛物线定义可知,,解得

    即抛物线方程为

    由题意,设,直线的方程

    ,消去恒成立,

    由韦达定理可知:

    因为,所以直线的方程为

    当且仅当,即时等号成立,

    所以四边形面积的最小值为32

    【小问2详解】

    ,因为都在上,

    所以,

    因为三点共线,所以有

    ,整理得:

    同理,因为三点共线,可得

    解得:

    由(1)可知,,代入上式可得:

    即点在定直线.

    【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式及抛物线与直线位置关系的应用,考查了抛物线中四边形的面积的最值问题,及抛物线中的定直线问题,考查了逻辑推理和数据分析能力,有一定的难度.

    22. 已知函数有相同的最小值.

    1的值;

    2,方程有两个不相等的实根,求证:

    【答案】1   

    2证明见解析

    【解析】

    【分析】(1)由二次函数的性质可得,利用导数可得,再根据两函数的最小值相同,求解即可;

    (2) ,利用导数确定上单调递增,由零点存在定理可得,使,由题意可设,利用导数可得是减函数,即可得 ,再由上的单调性即可得证.

    【小问1详解】

    解:

    所以

    函数的定义域为

    ,解得解得

    所以上单调递减,在单调递增.

    所以

    因为函数有相同的最小值,

    所以

    【小问2详解】

    证明:

    ,则

    所以上单调递增,

    因为

    所以,使

    于是上单调递减,在上单调递增.

    ,当趋于0时,趋于0

    则当时,

    方程有两个不相等的实根根

    不妨设.

    并代入上式,得

    所以是减函数,

    又由题意,得

    ,且上单调递增,

    所以

    .

    【点睛】方法点睛:有关函数的单调性的问题,借助于导数进行确定;关于不等式恒成立问题,转化为函数的最值问题进行解答.


     

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