山东省淄博市2023届高三数学下学期一模试题(Word版附解析)
展开淄博市2022-2023学年度高三模拟考试
数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡.上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有-项是符合题目要求的.
1. 若集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合A,B中元素的范围,然后求即可.
【详解】,
,
,
.
故选:C.
2. 设复数,则( )
A 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】求出复数的代数形式,进而可求模.
【详解】,
.
故选:D.
3. 函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为,得到函数的图象,只需将的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】C
【解析】
【分析】先根据条件求出周期,即可得到,再利用平移的规则即可得到答案、.
【详解】函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为,
则,
,
,
只需将的图象向左平移个单位即可得到函数的图象.
故选:C.
4. 如图,某几何体的形状类似胶囊,两头都是半球,中间是圆柱,其中圆柱的底面半径与半球的半径都为2,若该几何体的表面积为,则其体积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图可知:该几何体是有一个圆柱和两个半球拼接而成,根据表面积公式求出圆柱的高,利用体积计算公式即可求解.
【详解】由题意可知:设该几何体中间部分圆柱的高为,圆柱的半径为,
则该几何体的表面积为,因为,所以,
所以该几何体的体积,
故选:A.
5. 某公园有如图所示至共8个座位,现有2个男孩2个女孩要坐下休息,要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列,则不同的坐法总数为( )
A. 168 B. 336 C. 338 D. 84
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意,先排男生再排女生,由分步计数原理计算可得答案.
【详解】第一步:排男生,第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选,第二个男生在第二行有三个位置可选,由于两名男生可以互换,故男生的排法有种,
第二步:排女生,若男生选,则女生有共7种选择, 由于女生可以互换,故女生的排法有种,
根据分步计数原理,共有种,
故选:B
6. 已知中,,,,过点作垂直于点,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据求得,再用余弦定理求得,利用等面积法求得,勾股定理求得,从而,最后分解为已知向量即可.
详解】
即,
又因为,所以.
在中,根据余弦定理可得:
,即,
根据三角形面积公式,解得,
,,
.
故选:A
7. 直线经过椭圆的左焦点,交椭圆于,两点,交轴于点,若,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线与坐标轴的交点,得到,,则,由,得点坐标,点A又在椭圆上,由定义求得,可求椭圆的离心率.
【详解】对直线,令,解得,令,解得,
故,, 则 ,设,则 ,
而,则 ,解得 , 则,
点A又在椭圆上,左焦点,右焦点,
由,
则,椭圆的离心率.
故选:C
8. 已知,,.其中为自然对数的底数,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件构造函数,,,再利用导数法研究函数的单调性,结合函数单调性的性质即可求解.
【详解】由,令,
令,则,
当时,,所以在上单调递增,
又,
所以,又,
所以,在成立,
所以,即,
所以,即,
令,所以,
因为,所以,即,
所以在上单调递减,
所以,即
令,所以,
因为,所以,即,
所以在上单调递减,
所以,即,
所以,在成立,
令,则上式变为,所以,即,
综上,.
故选:B.
【点睛】解决此题的关键是构造函数,,,然后利用导函数研究函数的单调性,结合函数单调性的性质即可.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分
9. 某学校为普及安全知识,对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析,整理得到如图所示的频率分布直方图,则根据该直方图,下列结论正确的是( )
A. 图中的值为0.016
B. 估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间
C. 该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人
D. 该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据频率分布直方图性质可得,判断A错误;计算出得分介于60至90之间的频率,判断B正确;利用1500乘以得分不小于90频率,判断C正确;计算得分介于50至80之间的频率判断D正确.
【详解】由频率分布直方图性质可得:
,解得,故A错误;
得分介于60至90之间的频率为,故B正确;
得分不小于90的人数估计为,故C正确;
得分介于50至80之间的频率为,故D正确.
故选:BCD.
10. 已知函数,则( )
A. 当时,在有最小值1
B. 当时,图象关于点中心对称
C. 当时,对任意恒成立
D. 至少有一个零点的充要条件是
【答案】AC
【解析】
【分析】利用基本不等式判断选项;利用函数的对称性即可判断选项;利用导数判断函数的单调性即可判断选项;举例说明即可判断选项.
【详解】对于,当时,,
当时,则当且仅当,即时去等号,
所以函数在有最小值1,故选项正确;
对于,当时,则,
因为,所以此时函数图象不关于点中心对称,故选项错误;
对于,当时,则,令,
则,当时,;
当时,,所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,所以,
则当时,对任意恒成立,故选项正确;
对于,因为时,函数,,
函数在上有一个零点,所以选项错误,
故选:.
11. 已知曲线的方程为(且),,分别为与轴的左、右交点,为上任意一点(不与,重合),则( )
A. 若,则为双曲线,且渐近线方程为
B. 若点坐标为,则为焦点在轴上的椭圆
C. 若点的坐标为,线段与轴垂直,则
D. 若直线,的斜率分别为,,则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据方程的特征和椭圆与双曲线的性质逐项进行分析即可判断.
【详解】对于,若,则为双曲线,其双曲线的渐近线方程为:,故选项错误;
对于,因为点在曲线上,所以,所以,则曲线为椭圆,又因为,所以为焦点在轴上的椭圆,故选项正确;
对于,因为点的坐标为,所以过点与轴垂直的直线方程为,代入曲线方程可得:,若,则有,
若,则有,故选项错误;
对于,由题意可知:,,设点,
则,,所以,
又因为点在曲线上,所以,
所以,故选项正确,
故选:.
12. 如图,在正方体中,,是正方形内部(含边界)的一个动点,则( )
A. 存在唯一点,使得
B. 存在唯一点,使得直线与平面所成的角取到最小值
C. 若,则三棱锥外接球的表面积为
D. 若异面直线与所成的角为,则动点的轨迹是抛物线的一部分
【答案】BCD
【解析】
【分析】由线面垂直得线线垂直来确定点位置,判断选项A;几何法找线面角,当角最小时确定点位置,判断选项B;为中点时,求三棱锥外接球的半径,计算外接球的表面积,判断选项C;利用向量法解决异面直线所成角的问题,求出动点的轨迹,判断选项D.
【详解】对于A选项:正方形中,有,
正方体中有平面,平面,,
又,平面,平面,
只要平面,就有,在线段上,有无数个点,A选项错误;
对于B选项:平面,直线与平面所成的角为,,取到最小值时,最大,
此时点与点重合,B选项正确;
对于C选项:若,则为中点,为等腰直角三角形,外接圆半径为,三棱锥外接球的球心到平面的距离为,则外接球的半径为,所以三棱锥外接球的表面积为,C选项正确;
对于D选项:以D为原点,的方向为轴,轴,轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,设,则有,,
有,化简得,是正方形内部(含边界)的一个动点,
所以的轨迹是抛物线的一部分,D选项正确.
故选:BCD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
13. 在二项式的展开式中,常数项是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意首先结合通项公式写出通项,然后结合展开式的性质整理计算即可求得最终结果.
【详解】展开式的通项公式为:,
令可得:,
则展开式的常数项为:.
故答案为:
14. 若,,则______.
【答案】
【解析】
【分析】先通过以及确定的范围,进而可得,再利用两角差的余弦公式展开计算即可.
【详解】,
,又,
若,则,与矛盾,
,
,
.
故答案为:.
15. 在平面直角坐标系中,已知点,直线与圆交于,两点,若为正三角形,则实数______.
【答案】
【解析】
【分析】结合作图,可求得直线的斜率,以及原点到直线的距离,利用点到直线的距离公式,求得答案.
【详解】由题意可知在圆上,如图:
设MN中点为H,连接PH,因为为正三角形,则PH过点O,且 ,
则直线MN的斜率为:,
故即为,
因为为正三角形,则O点为的中心,由中心及重心性质知,
,故 ,解得 ,
结合在圆上,是圆的内接正三角形,可知 ,即.
故答案为:,
16. 已知函数,若存在实数,满足,则的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】作出的函数图象,得出,,将化简为,构造函数,,由得出单调递增,求出的最大值,即可求得答案.
【详解】解:作出的函数图象如图所示:
∵存在实数,满足,
,
,
由图可知,,
,
设,其中,
,显然在单调递增,
,
,,
在单调递增,
在的最大值为,
的最大值为,
故答案为:.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列中,,.
(1)判断数列是否为等差数列,并说明理由;
(2)求数列的前项和
【答案】(1)是等差数列,理由见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)根据数列的递推公式即可求解;
(2)结合(1)的结论得出,然后利用错位相减法即可求解.
【小问1详解】
因为,
所以数列是以为首项,以为公差的等差数列;
【小问2详解】
由(1)知:
数列的通项公式为:,
则,
①,
②,
①②得:
,
则.
18. 在中,角,,的对边分别是,,,满足
(1)求角;
(2)若角的平分线交于点,且,求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)结合已知条件,利用余弦定理即可求解;
(2)利用正弦定理得到,,然后利用基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由可得:,
由余弦定理知,,
又因此.
【小问2详解】
在中,由,得,
在中,由,可得,
所以;
在中,由,得,
解得,,
所以,
因为,,
所以,
当且仅当时取等号,
因此的最小值为.
19. 某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出(万元)与年度销售量(万台)的数据,如表所示:
年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 |
广告费支出 | 1 | 2 | 4 | 6 | 11 | 13 | 19 |
销售量 | 1.9 | 3.2 | 40 | 4.4 | 5.2 | 5.3 | 5.4 |
其中,
(1)若用线性回归模型拟合与的关系,求出关于的线性回归方程;
(2)若用模型拟合得到的回归方程为,经计算线性回归模型及该模型的分别为0.75和0.88,请根据的数值选择更好的回归模型拟合与的关系,进而计算出年度广告费为何值时,利润的预报值最大?
参考公式:,;
【答案】(1)
(2)选用回归方程更好,时,利润的预报值最大
【解析】
【分析】(1)根据数据,利用公式即可求出线性回归方程;
(2)越大拟合效果越好,选用回归方程更好,从而计算出结果.
【小问1详解】
由题意可得:
所以,
,
关于的线性回归方程:.
【小问2详解】
因为,越大拟合效果越好,
选用回归方程更好,
,
即当时,时,利润的预报值.
20. 已知多面体中,,且,,
(1)证明:;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;
(2)
【解析】
【分析】(1)通过证明,得平面,从而证明;
(2)由条件证得,以所在直线为轴,以所在直线为轴,以所在直线为轴,建立空间直角坐标系求解.
【小问1详解】
连接,,
在中,,,,
,
可得,即,
同时,可得,
同理可得,
因为,,且平面,平面,,
所以平面;
又因为平面,所以.
【小问2详解】
在中,易得,且,
所以,同时,,
以所在直线为轴,以所在直线为轴,以所在直线为轴,如图所示,
建立空间直角坐标系.
其中,,,,
,,
设向量为平面的法向量,
满足,
不妨取,,
直线与平面所成角的正弦值为:
.
21. 已知抛物线:上一点到其焦点的距离为3,,为抛物线上异于原点的两点.延长,分别交抛物线于点,,直线,相交于点.
(1)若,求四边形面积最小值;
(2)证明:点在定直线上.
【答案】(1)32 (2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据抛物线的焦半径公式求得抛物线方程,设,,直线的方程,联立方程,利用韦达定理求得,,再根据弦长公式求得,再结合基本不等式即可得解;
(2)设,,,根据,,三点共线和,,三点共线,求得,再结合(1)即可得出结论.
【小问1详解】
由抛物线定义可知,,解得,
即抛物线方程为,
由题意,设,,直线的方程,
由,消去得,恒成立,
由韦达定理可知:,,
故,
因为,所以直线的方程为,
于,
则
当且仅当,即时等号成立,
所以四边形面积的最小值为32;
【小问2详解】
设,,,因为,,,都在上,
所以,,
因为,,三点共线,所以有,
即,整理得:,
同理,因为,,三点共线,可得,
即,
解得:,
由(1)可知,,代入上式可得:,
得,
即点在定直线上.
【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式及抛物线与直线位置关系的应用,考查了抛物线中四边形的面积的最值问题,及抛物线中的定直线问题,考查了逻辑推理和数据分析能力,有一定的难度.
22. 已知函数和有相同的最小值.
(1)求的值;
(2)设,方程有两个不相等的实根,,求证:
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)由二次函数的性质可得,利用导数可得,再根据两函数的最小值相同,求解即可;
(2) 令,利用导数确定即在上单调递增,由零点存在定理可得,使,由题意可设,,利用导数可得是减函数,即可得 ,再由在上的单调性即可得证.
【小问1详解】
解:,
所以;
函数的定义域为,,
令,解得,解得,
所以在上单调递减,在上单调递增.
所以
因为函数和有相同的最小值,
所以
即;
【小问2详解】
证明:,
,
令,则,
所以即在上单调递增,
因为,
所以,使,
于是在上单调递减,在上单调递增.
又,当趋于0时,趋于0,
则当时,
方程有两个不相等的实根根,,
不妨设.
设,
则,
,
由即,
得,
并代入上式,得
所以是减函数,
,
即,
又由题意,得,
而,且在上单调递增,
所以,
即,
又,
故.
【点睛】方法点睛:有关函数的单调性的问题,借助于导数进行确定;关于不等式恒成立问题,转化为函数的最值问题进行解答.
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