四川省阆中中学2023-2024学年高一数学上学期入学考试试题（Word版附解析）

四川省阆中中学校高2023级2023年秋入学考试

数学试题

（时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．

1. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据整数指数幂的运算法则以及根式的化简，即可判断出答案.

【详解】对于A，，正确；

对于B，，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，，D错误，

故选：A

2. 在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用换元法，结合去分母化简整理可得答案.

【详解】设，则即为，

于是可得到关于y的整式方程为，

故选：B

3. 使分式的值为零的的一个值是（    ）

A. 0 B. 1 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】将各选项中的数代入分式中验证，结合分式是否有意义以及函数值情况，即可得答案.

【详解】当时，无意义，

当时，；

当时，，分母为0，此时分式无意义；

当时，；

故选：D

4. 如图，将一个含有角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，若，则的度数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用直角三角形性质以及平行线性质，即可求得答案.

【详解】如图示，由题意可知，而，

故，又，所以，

故，则，

故，

故选：C

5. 已知，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先得到，再由不等式基本性质得到，从而比较出大小关系.

【详解】因为，所以，由基本不等式性质可得，

故，B正确，ACD错误.

故选：B

6. 如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，已知墙长80米，则菜园面积的最大值为（    ）平方米.

A. 1800 B. 1750 C. 1700 D. 1600

【答案】A

【解析】

【分析】设BC长为x米，利用面积公式求出菜园面积，将二次函数的解析式化成顶点式，结合图像开口方向以及x的取值范围即可确定面积的最大值．

【详解】 

设BC长为x米，∴，

∴由矩形的面积公式得：，

∴y与x的函数关系式为；

，

∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，

∴当时，y有最大值，最大值为平方米．

故选：A.

7. 一个凸多边形的最小内角为，其他内角依次增加，则的值等于（    ）

A. 6或12 B. 6 C. 8 D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】根据内角和公式，设该多边形为n边形，内角和公式为，因为最小角为，又依次增加的度数为，则它的最大内角为，根据等差数列求和公式列出方程，求解即可．

【详解】设该多边形的边数为，凸边形内角的范围为，内角和公式为，

因为最小角为，其他内角依次增加，

则它的最大内角为，

根据题意可得,

得，即，

解得或，

当时,，不合题意，舍去，

故，即这个多边形为六边形．

故选：B．

8. 用半径为10cm，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的体积为（    ）

A.  B. 128 C.  D. 96

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意确定圆锥的母线长，根据扇形的弧长求出圆锥的底面半径和高，根据圆锥体积公式即可求得答案.

【详解】设圆锥的底面半径为R，由题意可知圆锥母线长为，

由题意可得，

故圆锥的高为，

故圆锥的体积为，

故选：C

9. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据相似三角形的判定结合正方形的性质证得△AEF∽△ACB，求得，根据相似三角形的性质求，证得△ADE∽△CME，根据相似三角形的性质得到证得△CDM≌△BGM，求出BG，根据勾股定理即可求出MG．

【详解】∵四边形ABCD是正方形，，

∴，，DC//AB，AD//BC，

∴，

，

∴∽，，，

∵，

∽，

在△CDM和△BGM中，∠DCM＝∠GBM＝90°，CM＝BM，∠CMD＝∠BMG，

∴△CDM≌△BGM，∴CD＝BG＝3，

故选：D．

10. 如图，曲线是双曲线绕原点逆时针旋转得到的图形，是曲线上任意一点，点在直线上，且，则的面积等于（    ）

A.  B. 6 C. 3 D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，等腰三角形的底边在y轴上，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题．

【详解】如图，将直线绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线直线l与y轴重合，

双曲线的解析式，

过点P作PB⊥y轴于点B，

∵PA＝PO，∴BOA中点．

，

由反比例函数比例系数k性质，，

∴△POA的面积是6.

故选：B．

11. 在中，，分别过点作平分线的垂线，垂足分别为点，的中点是，连接，则下列结论中错误的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意作出图形，可知点A，C，D，B四点共圆，结合AD平分∠CAB，可判断A；

由点M是中点，可得DM⊥BC，又CE⊥AD，BD⊥AD，可得△CEM≌△BFM，可得EM＝FM＝DM，可判断D；由∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，得，可判断B；假设CD＝2ME，可得∠DCM＝30°，因为由已知条件无法确定∠DCM的大小，可判断C．

【详解】根据题意可作出图形，如图，延长EM交BD于延长DM交AB于点N，

△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，

由此可得点A，C，D，B四点共圆，

∵AD平分∠CAB，∴，

∴CD＝BD，故选项A正确，

∵点M是BC的中点，∴DM⊥BC，

又∵∠ACB＝90°，∴，

∴点N是线段AB的中点，∴，∴∠DAB＝∠ADN，

∵CE⊥AD，BD⊥AD，∴，

∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，

∵点M是BC的中点，∴CM＝BM，

∴△CEM≌△BFM，∴EM＝FM，∠CEM＝∠BFM，∴点M是EF的中点，

∵∠EDF＝∠CED＝90°，∴ME＝MF＝MD，故选项D正确，

∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，∴，故选项B正确，

假设CD＝2ME，∴CD＝2MD，∴在Rt△CDM中，∠DCM＝30°，

∵由已知条件无法确定∠DCM的大小，故假设不一定成立，故选项C错误．

故选：C．

12. 已知且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将变形为，所以是方程的两个不相等的实数根，再利用韦达定理求解即可．

【详解】由可知，，

又∵，，

将变形为，

根据和特征，

是方程的两个不相等的实数根，

由韦达定理可得，，

，，

，即

故选：A．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）请将答案填在答题卡对应的横线上．

13. 函数的定义域为____________．

【答案】且，

【解析】

【分析】根据函数解析式列出相应不等式，即可求得答案.

【详解】要使函数有意义，

需满足，解得且，

即函数的定义域为且，

故答案为：且

14. 已知与互为相反数，且那么___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据与互为相反数，则化简计算即可.

【详解】因为与互为相反数，且则

.

故答案为：.

15. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，___________．

【答案】1

【解析】

【分析】根据，，，，代入运算可得，而，可得答案.

【详解】，，，，

，

.

故答案为：1.

16. 分解因式：_______.

【答案】

【解析】

【分析】将原多项式展开，按含a，含b分组，同时将余下的分解因式，再提取公因式即可.

【详解】原式

.

故答案为：.

17. 若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是_____________.

【答案】或

【解析】

【分析】根据题意，分情况讨论不等式的解集，进而分析可得关于m的不等式，解可得答案．

【详解】根据题意，，且，

当时，不等式解集为，

当，即时，不等式的解集为，

此时若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，

则有，解可得；

当，即时，不等式的解集为，

此时若关于x的不等的解集中恰有3个整数，

则有，解可得：；

综合可得：或．

故答案为：或．

18. 如图，等边中，，点分别是上的动点，且，连接相交于点，当点从点运动到点时，则点的运动路径的长度为____________.

【答案】

【解析】

【分析】根据已知条件证明再得∠AFB＝120°，可得点F的运动轨迹，然后根据弧长公式即可得点F的运动路径的长度．

【详解】∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，

∴在△ABD和△BCE中，

，

∴，

∴∠BAD＝∠CBE，

∵∠AFE＝∠BAD＋∠FBA＝∠CBE＋∠FBA＝∠ABC＝60°，

∴∠AFB＝120°，

∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的劣弧AB，如图，

其中OC⊥AB，垂足为H，∠AOB＝120°，

，

所以弧AB的长．

则点F的运动路径的长度为

故答案为：

三、解答题（本大题共7个小题，共72分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

19. 若和都是的同类项，求的值.

【答案】36

【解析】

【分析】根据同类项的概念，可得m，n的方程组求出m，n的值，然后将所求的式子化简并代入m，n的值，可得答案.

【详解】解：根据题意得解之得，

当，时，

原式.

20. 如图，在矩形中，点、分别在上，且，只需添加一个条件，即可证明四边形是菱形.

（1）这个条件可以是           （写出一个即可）；

（2）根据（1）中你所填的条件证明四边形是菱形.

【答案】（1）（答案不唯一）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由题意结合菱形性质可以写出答案；

（2）先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是菱形.

【小问1详解】

或或或，

或或，

或；

【小问2详解】

证明：在矩形中，,又，

故，则四边形为平行四边形，

又因为，

故平行四边形是菱形.

21. 如图，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到A点时，测得A到点的距离为点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得点的俯角为．求无人机从A点到点的上升高度（精确到）．参考数据：，．

【答案】109（米）

【解析】

【分析】解，求出，再解，求出，根据，即可求得答案.

【详解】依题意，，，，

在中，，

∴，

 ，

在中，，

∴

（米）,

答：无人机从A点到点的上升高度约为米.

22. 端午节是中国传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于的整数.为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：

八年级10名学生活动成绩统计表

已知八年级名学生活动成绩的中位数为分．请根据以上信息，完成下列问题：

（1）样本中，七年级活动成绩为分的学生数是___，七年级活动成绩的众数为___分；

（2）_____，_______；

（3）若认定活动成绩不低于分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．

【答案】（1）   

（2）   

（3）优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由见解析

【解析】

【分析】（1）分别求得成绩为8分，9分，10分的人数，再结合总人数为10人，列式计算可求得成绩为7分的学生数，然后根据众数定义可求得众数；

（2）根据中位数的定义将八年级的活动成绩从小到大排列，中位数是第5个和第6个数的平均数，再根据表格中数据可求得答案；

（3）结合（1）（2）所求，分别求得两个年级优秀率及平均成绩后进行比较即可.

【小问1详解】

根据扇形统计图，七年级活动成绩为分的学生数的占比为

∴样本中，七年级活动成绩为分的学生数是，

根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为分.

【小问2详解】

∵八年级名学生活动成绩的中位数为分，

第名学生为分，第名学生为分，

∴，

.

【小问3详解】

优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下，

七年级优秀率为，平均成绩为：，

八年级优秀率为，平均成绩为：，

∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高，

∴优秀率高的年级不是平均成绩也高.

23. 如图，在中，弦的长为8，点C在的延长线上，且．

（1）求的半径；

（2）求的正切值．

【答案】（1）5    （2）

【解析】

【分析】（1）延长，交于点，由条件求得，即可得解；

（2）过点作于点，根据已知可得，进面求得，，即可得的正切值．

【小问1详解】

如图，延长，交于点，连接，

由圆周角定理得：，

弦的长为8，且，

，解得，

的半径为．   

  【小问2详解】

如图，过点作于点，

的半径为5，，

，，

，，即，解得，                      

，，

则的正切值为．

24. 甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）货车的速度是______千米/小时；轿车的速度是______千米/小时，的值为        ．

（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

（3）求货车出发多长时间两车相距90千米．

【答案】（1）； ；3；   

（2）   

（3）小时或小时

【解析】

【分析】（1）根据题意，结合图象即可求得答案；

（2）利用待定系数法即可求得函数关系式，并结合（1）确定x的范围；

（3）设货车出发m小时后两车相距千米，考虑轿车出故障前和出故障后两车相距90千米两种情况，列出方程，求得答案.

【小问1详解】

因为货车比轿车早出发1小时，由函数图象可知轿车出发时货车已行驶50千米，

所以货车的速度是千米/小时；

则货车出发1小时后轿车出发，货车继续行驶时间为（小时），

轿车从出发到出现故障用时（小时），即（小时），

轿车的速度是：千米/小时，

故答案为：；；3；

【小问2详解】

由题意可知：，，，

设直线的解析式为，将代入得，

，

当时，，

设直线的解析式为，

把，代入得：

，解得，

，

；

【小问3详解】

设货车出发m小时后两车相距千米，根据题意得：

或，

解得或．

答：货车出发小时或小时后两车相距千米．

25. 在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B．

（1）求点A，B的坐标；

（2）求b，c的值；

（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，连接，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．

【答案】（1），   

（2），   

（3）或

【解析】

【分析】（1）根据题意，分别将代入直线即可求得；

（2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为即可求得；

（3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点B，点C向下平移的距离相同，列式求得然后得到抛物线N解析式为：将代入可得，即可得到答案．

【小问1详解】

∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B，

当时，代入得：，故，

当时，代入得：，故，

【小问2详解】

设，则可设抛物线的解析式为：，

∵抛物线M经过点B，

将代入得：，

∵，∴，即，

∴将代入，

整理得：，

故，；

【小问3详解】

如图：∵轴，点P在x轴上，

∴设，，

∵点C，B分别平移至点P，D，

∴点，点向下平移的距离相同，

∴，解得：，

由（2）知，∴，

∴抛物线N的函数解析式为：，

将代入可得：，

∴抛物线N的函数解析式为：或．