广西南宁市第三十七中学2023-2024学年八年级上学期第一次大作业数学试卷（含答案）

这是一份广西南宁市第三十七中学2023-2024学年八年级上学期第一次大作业数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广西南宁三十七中2023-2024学年八年级上学期第一次大作业数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）下列现象中，属于平移的是（　　）
A．滚动的足球 B．转动的电风扇叶片
C．正在上升的电梯 D．正在行驶的汽车后轮
2．（3分）下列各项中，两个图形属于全等图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）不等式组的解集为﹣1＜k≤1，在下列数轴上表示正确的（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点在x轴上的是（　　）
A．（1、2） B．（3、0） C．（0，﹣1） D．（﹣5、6）
6．（3分）如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，他这样做的道理是（　　）

A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7．（3分）已知实数a的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（　　）
A．﹣2 B． C．4 D．﹣4
8．（3分）设x＞y，则下列式子不正确的是（　　）
A．x+4＞y+4 B．x﹣5＜y﹣5 C．6x＞6y D．﹣3x＜﹣3y
9．（3分）如图，能判定AB∥CD的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠2＝∠3 D．∠2＝∠4
10．（3分）已知，如图，OC是∠AOB内部的一条射线，PD⊥OA，PE⊥OB，②PD＝PE，③OD＝OE，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（3分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两（　　）
A． B．
C． D．
12．（3分）如图，已知A1（2，4），A2（4，4），A3（6，0），A4（8，﹣4），A5（10，﹣4），A6（12，0），……，按这样的规律2023的坐标为（　　）

A．（4046，0） B．（4046，4） C．（4046，﹣4） D．（4048，4）
二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上）
13．（2分）如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是 　 　．

14．（2分）已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是 　 　．
15．（2分）比较大小：　 　4．
16．（2分）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是　 　．
17．（2分）如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，且AC＝4m，P点从B向A运动，Q点从B向D运动，每分钟走2m，运动 　 　分钟后，△CAP与△PQB全等．

18．（2分）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定规律；丙说“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以7，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（﹣1）3+++|﹣3|．
20．（6分）解不等式组：
21．（10分）如图，已知三角形ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．将三角形ABC向右平移4个单位长度，其中点A′，B′，B，C的对应点．
（1）画出三角形A′B′C′，并直接写出点A′，B′；
（2）若三角形ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P′，直接写出点P′的坐标；
（3）求三角形ABC的面积．

22．（10分）某校八年级学生进行了一次视力调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下．请根据图表信息回答下列问题：
视力
频数（人）
频率
4.0≤x＜4.3
20
0.1
4.3≤x＜4.6
40
0.2
4.6≤x＜4.9
70
0.35
4.9≤x＜5.2
a
0.3
5.2≤x＜5.5
10
b
（每组数据含最小值，不含最大值）
（1）在频数分布表中，a的值为 　 　，b的值为 　 　．
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）眼科医生建议，视力低于4.6需要佩戴眼镜，该中学3000人

23．（10分）如图，已知，EC＝AC，∠A＝∠E．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．

24．（10分）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于180°进行说理．”
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角．
对∠A+∠B+∠C＝180°进行说理
小明给出如下说理过程，请补全证明过程
证明：过点A作AD∥BC
∵AD∥BC
∴∠1＝∠C
　 　＝　 　（ 　 　）
∵∠1+∠2+∠BAC＝180°（ 　 　）
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°
听完小明的说理过程后，小亮提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，对“如图，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°”进行说理．请你帮助小亮完成作图并用文字语言叙述辅助线作法

25．（10分）某旅游景点的一个商场为了抓住国庆节长假这一旅游旺季的商机，决定购进甲，乙两种纪念品．若购进甲种纪念品1件，需要160元；购进甲种纪念品2件，需要280元．
（1）购进甲乙两种纪念品每件各需要多少元？
（2）该商场决定购进甲乙两种纪念品共100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些纪念品的资金不少于6000元，则该商场共有几种进货方案？
（3）若销售每件甲种纪念品可获利30元，每件乙种纪念品可获利12元，在第（2），哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
26．（10分）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，且∠BEC＝∠CFA＝α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上．
①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，并说明理由．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）下列现象中，属于平移的是（　　）
A．滚动的足球 B．转动的电风扇叶片
C．正在上升的电梯 D．正在行驶的汽车后轮
【分析】利用平移的定义进行判断即可．
【解答】解：A．滚动的足球是旋转，
故不符合题意；
B．转动的电风扇叶片是旋转，
故不符合题意；
C．正在上升的电梯是平移，
故符合题意；
D．正在行驶的汽车后轮是旋转，
故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平移的定义，掌握图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等是解题的关键．
2．（3分）下列各项中，两个图形属于全等图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【解答】解：A、两个图形不能完全重合，不符合题意；
B、两个图形不能完全重合，不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
3．（3分）画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高线的定义：过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的距离叫做三角形的高对各选项图形判断即可．
【解答】解：由三角形的高线的定义，C选项图形表示△ABC中AC边上的高．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记定义并准确识图是解题的关键．
4．（3分）不等式组的解集为﹣1＜k≤1，在下列数轴上表示正确的（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：不等式组的解集为﹣1＜k≤1在数轴表示﹣5和1以及两者之间的部分：

故选：C．
【点评】本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点在x轴上的是（　　）
A．（1、2） B．（3、0） C．（0，﹣1） D．（﹣5、6）
【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0，结合各选项找到符合条件的点即可．
【解答】解：A．点（1，故本选项不合题意；
B．点（3，故本选项符合题意；
C．点（2，故本选项不合题意；
D．点（﹣5，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征，用到的知识点为：x轴上的点的纵坐标为0．
6．（3分）如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，他这样做的道理是（　　）

A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【分析】根据垂线段最短即可求解．
【解答】解：将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走AB、AD，他这样做的道理是垂线段最短．
故选：D．
【点评】本题考查了垂线段最短，关键是熟悉垂线段最短的知识点．
7．（3分）已知实数a的一个平方根是2，则它的另一个平方根是（　　）
A．﹣2 B． C．4 D．﹣4
【分析】一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，据此即可得出答案．
【解答】解：∵实数a的一个平方根是2，
∴它的另一个平方根是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查平方根的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
8．（3分）设x＞y，则下列式子不正确的是（　　）
A．x+4＞y+4 B．x﹣5＜y﹣5 C．6x＞6y D．﹣3x＜﹣3y
【分析】利用不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以一个负数，不等号的方向改变，分别判断即可．
【解答】解：A、不等式两边都加4，故此选项正确；
B、不等式两边都减5，故此选项错误；
C、不等式两边都乘以2，故此选项正确；
D、不等式两边都除以﹣3，故此选项正确；
故选：B．
【点评】此题主要考查不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9．（3分）如图，能判定AB∥CD的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠2＝∠3 D．∠2＝∠4
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
故A符合题意；
由∠5＝∠3，不能判定AB∥CD，
故B不符合题意；
由∠2＝∠3，不能判定AB∥CD，
故C不符合题意；
由∠2＝∠4，不能判定AB∥CD，
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
10．（3分）已知，如图，OC是∠AOB内部的一条射线，PD⊥OA，PE⊥OB，②PD＝PE，③OD＝OE，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．
【解答】解：∵∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，①符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的角平分线，②符合题意；
在Rt△POD和Rt△POE中，
，
∴Rt△POD≌Rt△POE，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③符合题意；
同理，△POD≌△POE，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11．（3分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案．
【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．
12．（3分）如图，已知A1（2，4），A2（4，4），A3（6，0），A4（8，﹣4），A5（10，﹣4），A6（12，0），……，按这样的规律2023的坐标为（　　）

A．（4046，0） B．（4046，4） C．（4046，﹣4） D．（4048，4）
【分析】通过分析可得，An的横坐标的规律是2n，An的纵坐标6个一循环，4→4→0→﹣4→﹣4→0，所以，分别求出An的横坐标和纵坐标即可得到结果．
【解答】解：An的横坐标为2n，
An的纵坐标每6个一循环，
A2023的横坐标为3×2023＝4046，
A2023的纵坐标为2023÷6＝337……1，
故A2023的纵坐标为4，
故A2023的坐标为（4046，4），
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标规律，通过给定的规律求出点的横坐标和纵坐标，从而得到点的坐标．
二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上）
13．（2分）如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是 　三角形具有稳定性　．

【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．
14．（2分）已知三角形的三边长分别是8、10、x，则x的取值范围是 　2＜x＜18　．
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：10﹣8＜x＜10+8，
即5＜x＜18，
故答案为：2＜x＜18．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
15．（2分）比较大小：　＞　4．
【分析】先估算出的范围，再比较大小即可．
【解答】解：∵，
∴4＜5，
即＞5，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了算术平方根和实数的大小比较，能估算出的范围是解此题的关键．
16．（2分）一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是　10　．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式和外角和定理，列出方程求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
（n﹣2）•180°＝4×360°，
解得n＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和，关键是熟练掌握多边形的内角和公式与外角和定理．
17．（2分）如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，且AC＝4m，P点从B向A运动，Q点从B向D运动，每分钟走2m，运动 　4　分钟后，△CAP与△PQB全等．

【分析】设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，分两种情况：①若BP＝AC，则x＝4，此时AP＝BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，则12﹣x＝x，得出x＝6，BQ＝12（m）≠AC，即可得出结果．
【解答】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP＝xm，BQ＝2xm，
分两种情况：
①若BP＝AC，则x＝4，
AP＝12﹣5＝8，BQ＝8，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP＝AP，则12﹣x＝x，
解得：x＝6，BQ＝12（m）≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；
故答案为：4．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．
18．（2分）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定规律；丙说“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以7，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论　　．
【分析】所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：，
由方程组的解是，
解得：，
故答案为：
【点评】此题考查了二元一次方程的解，利用了类比的思想，弄清已知方程组解的特征是解本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（﹣1）3+++|﹣3|．
【分析】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+2+6+3
＝9．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20．（6分）解不等式组：
【分析】先分别求出两个不等式的解集，进一步求出公共解集．
【解答】解：由①可得：x≤1，
由②可得：x＜4，
∴不等式组的解集为x≤3．
【点评】本题主要考查了学生解不等式组的知识，同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找．
21．（10分）如图，已知三角形ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．将三角形ABC向右平移4个单位长度，其中点A′，B′，B，C的对应点．
（1）画出三角形A′B′C′，并直接写出点A′，B′；
（2）若三角形ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P′，直接写出点P′的坐标；
（3）求三角形ABC的面积．

【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）利用平移变换的性质判断即可；
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，三角形A′B′C′即为所求，1），﹣4），﹣3）；

（2）若三角形ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P′，b﹣3）；
（3）△ABC的面积＝5×6﹣×3×5﹣×6×5＝9.4．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分割法求三角形面积．
22．（10分）某校八年级学生进行了一次视力调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下．请根据图表信息回答下列问题：
视力
频数（人）
频率
4.0≤x＜4.3
20
0.1
4.3≤x＜4.6
40
0.2
4.6≤x＜4.9
70
0.35
4.9≤x＜5.2
a
0.3
5.2≤x＜5.5
10
b
（每组数据含最小值，不含最大值）
（1）在频数分布表中，a的值为 　60　，b的值为 　0.05　．
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）眼科医生建议，视力低于4.6需要佩戴眼镜，该中学3000人

【分析】（1）根据在4.0≤x＜4.3的频数为20人，频率为0.1，由可求出调查总人数，进而求出a，b的值；
（2）求出a的值，即可补全频数分布直方图；
（3）求出样本中“视力低于4.6”所占的百分比即可．
【解答】解：（1）20÷0.1＝200（人），
a＝200×5.3＝60（人）
b＝10÷200＝0.05，
故答案为：60，6.05；
（2）补全频数分布直方图如图所示：
（3）3000×（0.1+6.2）＝900（人）
答：该中学3000人，戴眼镜的学生大概有900人．

【点评】本题考查频数分布直方图，掌握是正确计算的前提．
23．（10分）如图，已知，EC＝AC，∠A＝∠E．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．

【分析】（1）根据ASA证明△BCA≌△DCE，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA，
即∠BCA＝∠DCE，
在△BCA和△DCE中，
，
∴△BCA≌△DCE（ASA），
∴BC＝DC；
（2）∵△BCA≌△DCE，
∴∠B＝∠D＝15°，
∵∠A＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝140°．
【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（10分）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于180°进行说理．”
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角．
对∠A+∠B+∠C＝180°进行说理
小明给出如下说理过程，请补全证明过程
证明：过点A作AD∥BC
∵AD∥BC
∴∠1＝∠C
　∠2　＝　∠B　（ 　两直线平行，内错角相等　）
∵∠1+∠2+∠BAC＝180°（ 　平角定义　）
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°
听完小明的说理过程后，小亮提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，对“如图，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°”进行说理．请你帮助小亮完成作图并用文字语言叙述辅助线作法

【分析】利用平行线的性质及平角定义可得解；作AE∥BC，交CD于点E，根据平行线的性质可得∠B+∠BAE＝180°，∠C＝∠AED，再根据三角形内角和是180度，可求得∠D+∠C+∠DAE的度数，进而可求四边形内角和为360°．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠C，∠2＝∠B（两直线平行，
∵∠2+∠2+∠BAC＝180°（平角定义），
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
故答案为：∠2，∠B，内错角相等；
证明：如图，作AE∥BC，
∵AE∥BC，
∴∠B+∠BAE＝180°，∠C＝∠AED，
∵∠D+∠DAE+∠AED＝180°，
∴∠D+∠C+∠DAE+∠BAE+∠B＝180°×5＝360°，
即∠D+∠C+∠A+∠B＝360°．
故辅助线作法为：作AE∥BC，交CD于点E．

【点评】本题考查了平行线的性质的应用，三角形内角和定理，结合转化思想运用平行线的性质解决问题是本题的关键．
25．（10分）某旅游景点的一个商场为了抓住国庆节长假这一旅游旺季的商机，决定购进甲，乙两种纪念品．若购进甲种纪念品1件，需要160元；购进甲种纪念品2件，需要280元．
（1）购进甲乙两种纪念品每件各需要多少元？
（2）该商场决定购进甲乙两种纪念品共100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些纪念品的资金不少于6000元，则该商场共有几种进货方案？
（3）若销售每件甲种纪念品可获利30元，每件乙种纪念品可获利12元，在第（2），哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设购进甲、乙两种纪念品每件各需要x元和y元，根据购进甲种纪念品1件，乙种纪念品2件，需要160元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元列出方程，求出x，y的值即可；
（2）设购进甲种纪念品m件，则乙种纪念品（100﹣m）件，根据购进甲乙两种纪念品100件和购买这些纪念品的资金不少于6000元，同时甲种纪念品又不能超过60件列出不等式组，求出m的取值范围，再根据m只能取整数，得出进货方案；
（3）根据实际情况计算出各种方案的利润，比较即可．
【解答】解：（1）设购进甲乙两种纪念品每件各需要x元和y元，
依题意得：，
解得
答：购进甲乙两种纪念品每件各需80元和40元．

（2）设购进甲种纪念品m件，则乙种纪念品（100﹣m）件，
依题意得：，
解得50≤m≤60，
∵m只能取正整数，
∴m＝50，51，53，55，57，59，
所以共有11种进货方案；

（3）因为甲种纪念品获利最高，
所以甲种纪念品的数量越多总利润越高，
因此选择购进甲种纪念品60件，乙种纪念品40件利润最高，
总利润＝60×30+40×12＝2280（元）．
答：购进甲种纪念品60件，购进乙种纪念品40件利润最大．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用，读懂题意，找到相应的关系，列出式子是解题的关键，注意第二问应求得整数解．
26．（10分）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，且∠BEC＝∠CFA＝α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上．
①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，并说明理由．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想

【分析】（1）①由∠BCA＝90°，∠BEC＝∠CFA＝α＝90°，可得∠CBE＝∠ACF，从而可证△BCE≌△CAF，故BE＝CF．
②若BE＝CF，则可使得△BCE≌△CAF．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，△BCE≌△CAF便可得证．
（2）题干已知条件可证△BCE≌△CAF，故BE＝CF，EC＝FA，从而可证明EF＝BE+AF．
【解答】（1）①证明：∵∠BEC＝∠CFA＝α＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝180°﹣∠BEC＝90°．
又∵∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF．
在△BCE和△CAF中，

∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF．
②解：α+∠BCA＝180°，理由如下：
∵∠BEC＝∠CFA＝α，
∴∠BEF＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α．
又∵∠BEF＝∠EBC+∠BCE，
∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣α．
又∵α+∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝180°﹣α．
∴∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝180°﹣α．
∴∠EBC＝∠FCA．
在△BCE和△CAF中，

∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF．
解：（2）EF＝BE+AF，理由如下：
∵∠BCA＝α，
∴∠BCE+∠ACF＝180°﹣∠BCA＝180°﹣α．
又∵∠BEC＝α，
∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α．
∴∠EBC＝∠FCA．
在△BEC和△CFA中，

∴△BEC≌△CFA（AAS）．
∴BE＝CF，EC＝FA．
∴EF＝EC+CF＝FA+BE，即EF＝BE+AF．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．