浙江省台州市温岭中学2023-2024学年高一数学上学期学科素养开学测试试题（Word版附解析）

2023级新高一学生学科素养测试卷（数学）

试卷说明:

1．试卷分值：100分；建议时长：90分钟；

2.在答题卡上准确填写班级、姓名和学号;

3.答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效;

4.选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹钢笔或签字笔作答.

一、单选题（本题共6小题，每题5分，共30分）

1 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．

方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．

【详解】方法一：因为，而，

所以．

故选：C．

方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．

故选：C．

2. 已知命题p：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（    ）.

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由命题为真命题，则，解不等式得出实数的取值范围即可．

【详解】命题为假命题，

所以为真命题，

则，解得

故选：D

3. 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】当时，不符合题意；当时，根据二次函数的图象列式可得结果.

【详解】当时，的定义域为，不符合题意；

当时，依题意得在R上恒成立，则，

解得.

故选：D

4. 下列选项中表示同一函数的是（　　）

A. 与 B. 与

C. 与 D. 与

【答案】C

【解析】

【分析】根据定义域，值域以及函数表达式是否相同，即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A，因为定义域为，而的定义域为，

所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；

对于B，因为定义域为，而的定义域为，

所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；

对于C，易知函数和的定义域为，值域为，且所以是同一函数．

对于D，易知函数和的定义域为，

而的值域为，的值域为，两函数值域不同，

故不能表示同一函数.

故选：C．

5. 已知不等式的解集为，不等式的解集为，其中、是非零常数，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】对、的符号以及、是否相等分情况讨论，得出的充要条件，即可判断出“”是“”的充要条件关系.

【详解】（1）若，.

①若，不等式即为，则，不等式即为，得，，；

②若，不妨设，不等式即为，则，不等式即为，得，，则；

（2）同理可知，当，时，，不一定为；

（3）若，.

①若，不等式即为，则，不等式即为，则，此时，；

②若，不妨设，不等式即为，则，不等式即为，则，此时，；

（4）同理，当，时，.

综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

故选A.

【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时也考查补集思想的应用，在解题时需要对参数的符号进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.

6. 我们把定义域为且同时满足以下两个条件函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有成立，下列判断正确的是（    ）

A. 若为“函数”，则不一定成立

B. 若为“函数”，则在上一定是增函数

C. 函数在上是“函数”

D. 函数在上是“函数”

【答案】D

【解析】

【分析】

对任意的，，总有，令，则，判断A；利用特例法判断B；如果、，设、，则，，可判断C；利用新定义的性质判断D.

【详解】对任意的，，总有，，

又，，则有成立，

，，，故错误；

，是函数，但不是增函数，故错误；

显然满足条件（1），如果、，则，，；如果、，设、，则，，，不满足条件（2），不是函数，故错误；

显然，满足条件（1），，满足条件（2），是函数，故正确．

故选：．

【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

二、多选题（本题共2小题，每题5分，共10分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的不得分）

7. 已知，，，则下列命题为真命题的是（　　）

A. 若，则 B. 若且，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.

【详解】选项A，若成立则，所以，故选项A正确；

选项B，由得，又因为，

所以，所以，故选项B正确；

选项C，因为，所以，所以，

因为，所以两边同乘得，故选项C正确；

选项D，因为，，，

所以，即，故选项D不正确；

故选：ABC．

8. 已知函数f(x)的定义域为A，若对任意，都存在正数M使得总成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】可求每个选项函数的值域，然后求出的范围即可得出该函数是否为有界函数．

【详解】对于A：的定义域为,，令，则，

，，

不存在正数，使得总成立，不有界函数；

对于B：的定义域为，

，所以，

存在，使得，是有界函数；

对于C：，

，

存在，使得，是有界函数；

对于D：，

由于时，单调递增，此时，

故不存在正数，使得总成立，不是有界函数；

故选：BC．

三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）

9. 方程组的解集是___________.

【答案】

【解析】

【分析】求解方程组即可.

【详解】，则，两式相减有，解得，故，方程组的解集为.

故答案为：

10. 若，则实数_______.

【答案】4或

【解析】

【分析】分三种情况讨论即得.

【详解】∵，

∴，即，此时符合题意；

，即，此时，不满足元素的互异性，故舍去；

，即，经检验符合题意；

综上，或.

故答案为：4或.

11. 疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为___________.

【答案】29

【解析】

【分析】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合A，B，C，设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为，作出维恩图求解即可.

【详解】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合A，B，C，

设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为，

根据题意可作维恩图如图：

依题意必有均为自然数，

所以，，

故这三天参加的志愿者总人数为：

当时，总人数最少，最少人数为.

故答案为：29.

12. 已知正数x，y满足，若恒成立，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】首先对关系式进行恒等变换, 进一步整理得 , 最后利用基本不等式的应用求出结果.

【详解】已知正数 满足 ,

所以 ,所以:

则:

，当且仅当时，取等号；

要使 恒成立, 只需满足 即可,

故 .

故答案为: .

四、解答题（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13. 已知一元二次方程的两个实数根为.

求值：（1）； 

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】利用韦达定理可得，再对所求式子进行变行，即；；两根和与积代入式子，即可得到答案；

【详解】解：因为一元二次方程的两个实数根为，所以由根与系数关系可知.

（1）；

（2）.

14. 已知集合.

（1）若，求；

（2）若，求a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据不等式的解法，分别求得集合和，结合并集的概念及运算，即可求解；

（2）由，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式，即可求解.

【小问1详解】

解：若时，可得，

由不等式，可得，解得，所以，

所以.

【小问2详解】

解：因为，可得，即，

①当时，可得，解得，此时成立，符合题意；

②当时，需满足，解得，

综上可得，实数的取值范围是.

15. 已知函数，，满足条件，.

（1）求的解析式；

（2）用单调性的定义证明在上的单调性，并求在上的最值.

【答案】（1）   

（2）单调递减，证明见解析，，

【解析】

【分析】（1）根据，代入得到方程组，解得即可；

（2）利用定义法证明，再根据单调性求出函数的最值.

【小问1详解】

因为且，，

所以，解得，所以.

【小问2详解】

在上单调递减，证明如下：

由，

设任意的且，

则

，

因为且，所以，，，

所以，则在上单调递减，

所以，.

16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，二次函数的图像经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.

（1）求二次函数的表达式；

（2）当时，二次函数的最大值为，求m的值.

（3）如图2，点D为直线AC上方二次函数图像上一动点，连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE面积为，△BCE的面积为，求的最大值.

【答案】（1）   

（2）或   

（3）

【解析】

【分析】（1）分别令得到，，则得到方程组，解出即可；

（2）当，得，解出值；时，得，解出值；若，得，解出值；

（3）令得，过作轴交于,过作轴交于，利用得，设，求出坐标，则，则得到最值.

【小问1详解】

直线与轴交于点，与轴交于点，

时，，时，，，，

因为抛物线经过，两点，

，，

抛物线的函数表达式为；

【小问2详解】

在中，对称轴为，当时，

二次函数的最大值为，分3种情况：

①若m+1≤，即m≤时，当时，函数有最大值，
∴，
解得，，，（均不合题意，舍去）

②若，即时，当时，函数有最大值，

即；解得：
③若，当时，函数有最大值为，
∴，
解得，，（舍去），

综上所述，m的值为或

【小问3详解】

如图,令，

，

，，

过作轴交于,过作轴交于，

，，，

设，

，，，

，

时，的最大值为.