山西省晋中市博雅培文实验学校2023-2024学年高二上学期8月开学考数学试题（含答案）

晋中市博雅培文实验学校高二年级8月检测试题

数学

（时间：120分钟满分：150分）

注意事项：1）学生必须用黑色中性笔在答题卡上答题。

2）答卷前请将密封线内的项目填写清楚。

3）答题时字迹要清楚、工整，不宜过大，以防答题卡区域不够使用。

一、选择题。单选题（共8小题，每题5分共40分）

1．若复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）

A．第一象限 B．第二象限 C．三象限 D．第四象限

2．已知集合，，若，则实数a的取值集合为（）

A． B． C． D．

3．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取10位某市居民进行街头调查，得到他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，则这组数据的80%分位数是（）

A．7.5 B．8 C．8.5 D．9

4．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（）

A．1 B． C． D．

5．如图，过正方形ABCD的顶点A，作平面ABCD．若，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是（）

A． B． C． D．

6．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为，那么等于（）

A． B． C． D．4

7．2019年10月1日，在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，则这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（）

A． B． C． D．

8．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱．青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边d，由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（）

（1）（2）（3）

①由图（1）和图（2）面积相等可得；

②由可得；

③由可得；

④由可得．

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③

二、多选题（每题5分共20分，少选得2分有错选得0分）

9．已知，i为虚数单位，且，复数，则以下结论正确的是（）

A．z的虚部为 B．z的模为2 C．z的共轭复数为2i D．z对应的点在第四象限

10．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，D为PB的中点，则下列结论正确的有（）

A．平面PAB B． C．平面PBC D．平面ADC

11．已知向量，，则下列命题正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．设，则当取得最大值时，

D．的最大值为

12．某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：您的编号是否为奇数？问题2：您是否吸烟？被调查者随机从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球100个，红球100个）中摸出一个小球：若摸出白球则回答问题1，若摸出红球则回答问题2，共有270人回答“是”，则下述正确的是（）

A．估计被调查者中约有520人吸烟 B．估计约有20人对问题2的回答为“是”

C．估计该地区约有4%的中学生吸烟 D．估计该地区约有2%的中学生吸烟

三、填空题（共4题；每题5分共20分）

13．中国乒乓球队中的甲．乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．

14．已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为________．

15．将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为，A，B，C三层的样本的平均数分别为15，30，20，则样本的平均数为________．

16．如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，P是上的一个动点，则的最小值是________．

四、解答题（解答过程要完整）

17．已知复数．

（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；

（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．

18．设两个向量，满足，，，的夹角为．若向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

19．在四棱锥中，平面底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，，，．

（1）证明：平面EAC；

（2）若四棱锥的体积为，求．

20．为检查学生学习传染病防控知识的成效，某校高一年级部对本年级1200名新生进行了传染病防控知识测试，并从中随机抽取了300份答卷，按得分区间、、、、、分别统计，绘制成频率分布直方图如下．

（1）求图中a的值；

（2）若从高一年级1200名学生中随机抽取1人，估计其得分不低于75分的概率；

（3）估计高一年级传染病防控知识测试得分的平均数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

21．在四棱锥中，底面ABCD，，，，．

（1）证明：；

（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．

22．某市政府随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350度之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．

（1）求直方图中x的值，并估计居民月用电量的众数；

（2）为了既满足居民的基本用电需求，又能提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，请确定第一档用电标准的度数；

（3）用分层抽样的方法在和两组中抽取5户居民作为节能代表，从节能代表中随机选取2户进行采访，求这2户来自不同组的概率．

参考答案

一、选择题

1．答案：D

解析：由题意得，，，则复数在复平面内对应的点为，在第四象限．故选：D．

2．答案：D

解析：∵集合，，又∵，∴或，解得或或．当时，，，∴，符合题意；当时，，，∴，不符合题意；当时，，，不满足集合中元素的互异性．综上可知，．则实数a的取值集合为．故选D．

3．答案：C

解析：数据3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，共10个，且，所以80%分位数是8.5．故选C．

4．答案：D

解析：，，，∴．

5．答案：B

解析：解法1：如图1，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建系，则平面ABP的法向量，平面CDP的法向量，所以，的夹角为．

解法2：如图2，将四棱锥补成正方体，则平面ABP与平面CDP所成的二面角就是平面ABQP与平面CDPQ所成的二面角，其大小为．

图1图2

6．答案：C

解析：．故选C．

7．答案：C

解析：记“这三名同学中至少有一名同学被选上”为事件A，

则事件为“这三名同学都没被选上”，则，所以．选C．

8．答案：A

解析：由面积相等得，所以，故①正确．在题图（3）中，由三角形面积得，由题意可知．又因为，所以，所以，故②正确．由题意得．因为，所以，所以，故③正确．由得，即，故④正确．选A．

二、多项选择题

9．答案：BC

解：∵，∴，解得：，∴．

对于A，z的虚部为，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，z的共轭复数为2i，C正确；

对于D，z对应，不在第四象限，D错误．

故选：BC．

10．答案：ABC

解析：因为平面ABC，所以，又，，平面PAB，所以平面PAB，故A正确；

由平面PAB，得，又，D是PB的中点，所以，又，平面PBC，所以平面PBC，所以，故B，C正确；

由平面PAB，得，因此PB与CD不垂直，从而PB不与平面ADC垂直，D错误．故选A，B，C．

11．答案：ACD

解析：A项，若，则，即，故A项正确；

B项，若，则，所以，故B项错误；

C项，，其中，，故当时，取得最大值，此时

，故C正确；

D项，，所以

，

即的最大值为，故D项正确．

12．答案：BC

解析：略

三、填空题

13．答案：

解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为．

14．答案：

解析：设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，

则，解得．设所求的小正方体的棱长为a，则，

所以，所以小正方体体积的最大值为．

15．答案：20.5

解析：由题意可知样本的平均数为

，

故答案为：20.5

16．答案：

解析：连接，沿将旋转到与在同一个平面内，如图，连接，则的长度就是所求的最小值．通过计算可得，又，所以，由余弦定理可求得．

四、解答题

17．答案：（1）

（2）实数m的取值范围为

解析：（1）因为复数z为纯虚数，所以，

解之得，．

（2）因为复数z在复平面内对应的点在第二象限，所以，

0解之得，得．

所以实数m的取值范围为．

18．答案：实数t的取值范围为

解析：设向量与的夹角为．

∵向量与的夹角为钝角，

∴，

∴

，

解得．

当时，也有．

设，，

由，不共线，得，解得．

综上所述，实数t的取值范围为．

19．答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）连接BD交AC于点F，连接FE，

因为底面ABCD是菱形，所以F是BD的中点，

又E是PD的中点，所以，

因为平面EAC，平面EAC，

所以平面EAC；

（2）取AD的中点O，连接PO，则，

因为平面平面ABCD，且平面平面，所以平面ABCD，

设，则，得，

连接CO，因为底面ABCD是菱形，，所以，且，

因为，，所以，

又，所以由余弦定理可得．

20．答案：（1）；

（2）0.5；

（3）74．

解析：（1）由图可得，解得；

（2）估计得分不低于75分的概率为；

（3）估计得分的平均数．

21．（1）答案：证明见解析

解析：证明：∵，，，

∴四边形ABCD是等腰梯形．

如图，过点C作于点E，过点D作于点F，

则，．

又，∴．

又，∴．

又，，∴，∴．

∵平面ABCD，平面ABCD，∴．

又，

∴平面PAD．

∵平面PAD，∴．

（2）答案：

解析：以D为原点，DA，DB，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，．

设平面PAB的法向量为，

则，即．

取，得，，则．

设直线PD与平面PAB所成的角为，

则．

∴PD与平面PAB所成的角的正弦值为．

22．答案：（1）0.0044，175

（2）234

（3）

解析：（1），

解得，居民月用电量的众数为；

（2）在内的居民数为，

第一档用电标准的度数在内，

设第一档用电标准的度数为m，则，

解得；

（3）在内的居民数为：，

在内的居民数为，

从两组中抽取5户民作为节能代表，则从抽取户，记为A，B，

从抽取户，为a，b，c，

从中随机选取2户的基本事件有：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc共10种，

其中这2户来自不同组的有：Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc共6种，

所以这2户来自不同组的概率为．