四川省眉山市仁寿一中南校区2023-2024学年高一数学新生上学期入学考试试题（Word版附解析）

仁寿一中南校区2023级高一新生入学考试

数 学

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．

1. 下列各组对象不能构成集合的是（    ）

A. 上课迟到的学生 B. 2023年高考数学难题

C. 所有有理数 D. 小于的正整数

【答案】B

【解析】

【分析】由集合定义分别判断是否满足集合中元素的性质即可得出结论.

【详解】根据集合中元素的确定性可知，

“2023年高考数学难题”中的“难题”没有评判标准，不具备确定性，因此不能构成集合.

故选：B

2. 设全集，集合满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由条件求出集合，进而求解.

【详解】因为，，

所以.

故选：C.

3. 设是方程的两根，那么的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得出，再代入所求式即可得出答案.

【详解】因为是方程的两根，

由根与系数的关系可得：，

所以.

故选：C.

4. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合交集，补集运算解决即可.

【详解】由题知，集合，，

所以，

所以，

故选：D

5. 已知命题，，下列形式正确的是（    ）

A. ，使得 B. ，使得

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】全称命题的否定是特称命题，否定量词，否定结论.

【详解】否定量词，否定结论，即，使得.

故选：B.

【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.

6. 设命题p：，命题q：一元二次方程有实数解．则是q的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先求命题q为真时的范围，结合条件的定义进行求解.

【详解】因为命题，命题一元二次方程有实数解．

等价于，即；

因此可知，则：是的充分不必要条件.

故选：A.

7. 设集合，集合，若，，则不能是（　　）

A.  B.

C  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据子集的概念，代入选项一一验证即可.

【详解】当时，

，符合题意；

当时，

，符合题意；

当时，

，符合题意；

当时，

，不符合题意．

故选：B

8. 设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】取特例，根据由集合的运算关系可判断ABC，根据集合的交、并运算，子集的概念可判断D.

【详解】对于A， ，当时，结论不成立，则A错误；

对于B, ，当时，结论不成立，则B错误；

对于C，，当时，结论不成立，则C错误；

对于D，因为，，所以，又，所以，则，则D正确.

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 在下列命题中，真命题有（　　）

A.

B. 是有理数

C. ，使

D. ，

【答案】BC

【解析】

【分析】利用存在量词命题、全称量词命题的真假判定方法逐一判断作答.

【详解】对于A，，，A是假命题；

对于B，因为有理数的四则运算（除数不为0）结果仍为有理数，

因此一定是有理数，B是真命题；

对于C，时，成立，C是真命题；

对于D，当时，，D是假命题．

故选：BC

10. 已知集合，，若，则实数的值可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】

由可得出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围，进而可得出实数的可能取值.

【详解】，且，所以，，解得.

因此，ABC选项合乎题意.

故选：ABC.

11. 若，则下列不等式成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】由题设条件可得，，结合各选项应用不等式的性质、作差法判断各项的正误.

【详解】由知：，则，，

∴，，，且，

∴A、C正确；B、D错误.

故选：AC

12. 给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（    ）

A. 集合为闭集合；

B. 集合为闭集合；

C. 集合为闭集合；

D. 若集合为闭集合，则为闭集合．

【答案】AC

【解析】

【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断,且是否满足即可得到结论.

【详解】对于A：按照闭集合的定义，故A正确;

对于B：当时,.故不是闭集合.故B错误;

对于C：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故是闭集合.故C正确;

对于D：假设,.不妨取,但是, ,则不是闭集合.故D错误.

故选：AC

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．

13. 已知集合，，若，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据集合的运算得子集关系，根据集合关系即可求出参数范围.

【详解】因为，所以，又，，

所以，即的取值范围是.

故答案为：

14. 下面六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的是_________．

【答案】①③⑤

【解析】

【分析】由元素和集合的关系，集合间的基本关系，判断关系式是否正确.

【详解】空集是任何集合的子集，故①正确；

由元素与集合的关系可知，，故②错误，⑤正确；

由集合与集合的关系可知，，故③正确，④⑥错误；

故答案为：①③⑤

15. 某校高一某班共有40人，摸底测验数学成绩23人得优，语文成绩20人得优，两门都不得优者有6人，则两门都得优者有__________人.

【答案】9

【解析】

【详解】设两门都得优的人数是，则依题意得
整理，得：-x+55=45，
解得 ，即两门都得优的人数是9人．
故答案为9．

【点睛】本题考查了一韦恩图的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解

16. 二次函数只有一个零点，则不等式的解集为________.

【答案】或

【解析】

【分析】先根据函数只有一个零点求得，再解一元二次不等式即可.

【详解】因为二次函数只有一个零点，所以，

解得或（舍去），所以不等式即，

解得或，所以不等式的解集为或.

故答案为：或

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知U=R，A={x|-2<x<3}，B={x|-3<x≤3}，求∁RA，∁R(A∩B)，(∁RA)∩B.

【答案】或，或，或.

【解析】

【分析】画出数轴图，结合数轴即可求解.

【详解】结合数轴，由图可知或，

又∵，

∴或，

∴或.

【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.

18. 已知集合，非空集合.

（1）当时，求；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）将代入，直接按补集和并集的运算法则计算即可；

（2）根据交集的运算法则确定集合A、B端点值的条件，列不等式求解即可.

【小问1详解】

，

则或，

当时，，

则或.

【小问2详解】

，

因为，

所以，解得，

即的取值范围为.

19. 已知.

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或或

【解析】

【分析】（1）由交集结果知，结合集合的描述易知方程的两根为或，应用韦达定理求参数；

（2）由并集结果知，讨论、，结合判别式、根与系数关系求参数，注意验证所得参数.

【小问1详解】

由方程，解得或，所以，

由，而，故，

即方程的两根为或，

利用韦达定理得：，即；

【小问2详解】

由已知得，又，

时，则，即，解得或；

时，若B中仅有一个元素，则，即，解得，

当时，，满足条件；当时，，不满足条件；

若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，解得，满足条件.

综上，实数a的取值范围是或或.

20. 已知集合A是方程的解集．

（1）若A是空集，求a的取值范围；

（2）若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值；

（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）1    （3）

【解析】

【分析】（1）需对参数进行分类讨论，分和两种情况求解；

（2）结合（1）可直接求解；

（3）将（1）（2）结论综合，即对应取值范围.

【小问1详解】

若，则或，当时，方程，

其解为，所以A是单元素集．

当时，方程为，无实数解，所以A为空集．

所以，若A是空集，

则或

即，所以a的取值范围为；

【小问2详解】

由（1）可知，若A是单元素集，则或即；

【小问3详解】

由（1）（2）知，若A中至多只有一个元素，即A为空集或单元素集，则a的取值范围为.

21. 已知集合

（1）若命题是真命题，求m的取值范围；

（2）若命题是真命题，求m的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由命题是真命题得，再根据集合关系求解即可；

（2）由命题是真命题得，故，进而得，再根据集合关系求解即可.

【小问1详解】

因为命题是真命题，所以，

当时，，解得；

当时，，解得.

综上，m的取值范围为.

【小问2详解】

因为是真命题，所以，

所以，即，所以，

所以只需满足即可，即.

故m的取值范围为.

22. 已知.

（1）设，若关于的不等式的解集为，且的充分不必要条件是，求的取值范围；

（2）方程有两个实数根，

①若均大于，试求的取值范围；

②若，求实数值．

【答案】（1）   

（2）①；②.

【解析】

【分析】（1）由充分不必要条件是，则是的真子集，则，解不等式即可得出答案.

（2）①若均大于，由根与系数的关系可得，解不等式即可得出答案.②由若可得，将，代入化简即可得出答案.

【小问1详解】

由，得，

即，即，

又，∴，即，

∵的充分不必要条件是，

∴是的真子集，

则，解得，则，

即实数的取值范围是.

【小问2详解】

方程为，

①若均大于，则满足，

解得，故，即的取值范围为.

②若，则，

则，即，即，

解得或，由，得或.