四川省仁寿第一中学南校区2023-2024学年高二数学上学期入学考试试题（Word版附解析）

仁寿一中南校区2022级入学考试  数学

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分）

1. 已知集合，则（    ）

A {3} B. {0} C.  D. {0，3}

【答案】C

【解析】

【分析】按照交集的运算法则直接计算即可.

【详解】因为集合，

所以.

故选：C.

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】将全称命题否定为特称命题即可

【详解】命题“，”的否定是，，

故选：D

3. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

由推不出，反之，由可以推出，即可得答案.

【详解】由推不出，反之，由可以推出

所以“”是“”的必要不充分条件

故选：B

【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.

4. 若向量，则在上的投影向量的坐标为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据投影向量的坐标公式求解即可

【详解】设向量夹角为，则在上的投影向量为

故选：A

5. 数据5，6，7，7，8，8，9，10的第75百分位数是（    ）

A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解.

【详解】数据从小到大排列：5，6，7，7，8，8，9，10，共个数，

，

该组数据的第百分位数是第项和第项的平均数，

即.

故选：C.

6. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

7. 设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据对数函数、指数函数的性质判断即可；

【详解】解：因为，，即，

又，所以；

故选：B

8. 将函数的图像向右平移个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】把函数整理成正弦型函数，利用平移以后关于轴对称即可得到的式子，根据范围即可确定的具体值.

【详解】，将图像向右平移个单位长度后，变为，

此时图像关于轴对称，所以当时，，，

则.

又，则的最小值是.

故选：D.

第II卷（非选择题）

二、多选题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

9. （多选）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断正确的是（    ）

A. 事件“都是红色卡片”是随机事件

B. 事件“都是蓝色卡片”是不可能事件

C. 事件“至少有一张红色卡片”是必然事件

D. 事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是必然事件

【答案】ABC

【解析】

【分析】由随机事件、不可能事件、必然事件的概念对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；

对于B，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；

对于C，因为只有2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，所以事件“至少有一张红色卡片”是必然事件，故C正确；

对于D，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D不正确.

故选：ABC.

10. 设复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（    ）

A. z的虚部为 B. z在复平面内对应的点位于第四象限

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】先求解z的值，再根据复数的相关定义逐个计算判断即可

【详解】由可得

对A，z的虚部为，故A错误；

对B，z在复平面内对应的点位于第四象限，故B正确；

对C，，故C正确；

对D，，故D错误；

故选：BC

11. 下列命题正确的是（    ）

A. 若向量、满足，则或

B. 若向量，的夹角为钝角，则

C. 已知，，则向量在向量方向上的投影向量的长度为4

D. 设，是同一平面内两个不共线的向量，若，，则，可作为该平面的一个基底

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，可举出反例；B选项，利用向量数量积公式即可判断；C选项，根据投影向量长度公式进行求解；D选项，先求出以，不共线，从而得到D正确.

【详解】A选项，当非零向量满足时，，故A错误；

B选项，当向量，的夹角为钝角时，，

故，故B正确；

C选项，向量在向量方向上的投影向量的长度为，C正确；

D选项，，是同一平面内两个不共线的向量，设，则，

故，无解，

所以，不共线，故，可作为该平面的一个基底，D正确.

故选：BCD

12. 设函数，下列判断正确的是（    ）

A. 函数的最小正周期是

B. 函数是奇函数

C. 函数在上的值域为

D. 若将函数的图象向右平移个单位长度所得的图象关于y轴对称，则的最小值是

【答案】BD

【解析】

【分析】化简整理得，利用正弦函数的周期可判断A；利用函数的奇偶性可判断B；利用正弦型函数的值域可判断C；利用函数的图象变换原则及奇偶性可判断D.

【详解】

对于A，，函数的最小正周期为，故A错误；

对于B，为奇函数，故B正确；

对于C，，，，，即在上的值域为，故C错误；

对于D，函数的图象向右平移个单位长度，得到，其为偶函数，所以所得，求得，则的最小值是，故D正确；

故选：BD

三、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13. 从标有1，2，3，4，5的5张纸片中任取2张，则这个随机试验的样本空间中的样本点的个数为_____.

【答案】10

【解析】

【分析】通过列举法，确定样本空间中样本点的个数.

【详解】从标有1，2，3，4，5的5张纸片中任取2张，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种；

故答案为：10

14. 已知为奇函数，当时，则______．

【答案】－12

【解析】

【分析】利用奇函数的性质即可得到答案.

【详解】因为为奇函数，所以，

故．

故答案为：－12.

15. 已知数据，，…，的方差为5，则数据，，…，的方差为___________.

【答案】45

【解析】

【分析】根据线性变换前后方差的关系求得正确结论.

【详解】原数据的方差为，则线性变换后的数据的方差为.

故答案为：

16. 已知函数是定义在上的单调递增函数，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】分段函数在上单调递增，则在两个分段区间上都单调递增，且在上的最大值要不大于上的任意函数值，据此解答即可.

【详解】因为在上单调递增，

所以当时，在上单调递增，

又因为开口向下，对称轴为，

所以，故，且在上的最大值为，

当时，在上单调递增，

所以由幂函数的性质可知，且，

故，得，

由于以上条件要同时成立，故，即.

故答案为：.

五、解答题（本题共6道小题，第1题10分，第2题12分，第3题12分，第4题12分，5题12分，第6题12分）

17. （1）已知，求的最小值；

（2）求函数的定义域.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）利用基本不等式计算可得；

（2）根据偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可.

【详解】（1）因为，所以，则

，

当且仅当，即时，等号成立．所以（）最小值为．

（2）对于函数，则，即，

解得或，所以函数的定义域为.

18. 已知函数的部分图象，如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出，由最小正周期求出，并确定.

（2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.

【小问1详解】

解：根据函数的部分图象

可得，，所以.

再根据五点法作图可得，

所以，.

【小问2详解】

将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.

由，可得

又函数在上单调递增，在单调递减

，，

函数在的值域.

19. 首次实施新高考的八省（市）于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划．在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段，，，，分组，绘制了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求出图中的值并估计本次考试及格率（“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例）；

（Ⅱ）估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；

（Ⅲ）估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）120；（Ⅲ）众数为100，平均为.

【解析】

【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质列出方程，求得，进而得到及格率；

（Ⅱ）分别求得在110以下和130以下的学生所在比例，结合百分数的计算方法，即可求解；

（Ⅲ）结合频率分布直方图的众数和平均数的计算方法，即可求解.

【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质，可得，

解得．

所以及格率为.

（Ⅱ）得分在110以下学生所在比例为，

得分在130以下的学生所占比例为，

所以第80百分位数位于内，

由，估计第80百分位数为120．

（Ⅲ）由图可得，众数估计值为100．

平均数估计值为．

20. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角B的大小；

（2）从条件①；条件②这两个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积.

【答案】（1）   

（2）条件①：；条件②：

【解析】

【分析】（1）首先利用正弦定理边化角求出，再结合角的范围，即可求得.

（2）选条件①：首先利用余弦定理求出，再结合三角形面积公式即可求得.

选条件②:首先利用正弦定理求出，再结合三角函数恒等变换求出，再利用三角形面积公式即可求得.

【小问1详解】

解：（1）因为，由正弦定理．

因为，所以．

又因为，所以．

【小问2详解】

选条件①：；

因，由（1）得，

所以根据余弦定理得，可得，解得．

所以的面积，

选条件②：；

由（1）知且，

根据正弦定理得，所以，

因为，

所以，

所以的面积．

21. 如图，在四棱锥中，，平面PAB，且，F为PC中点．

（1）求证：平面PAB；

（2）求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）取边的中点，连接，，由三角形的中位线定理和平行四边形的判定，可得四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质和线面平行的判定定理，即可得证；

（2）过点作于点，即可得到平面，再根据，可得到平面的距离即为，求出、，再根据锐角三角函数计算可得；

【小问1详解】

证明：如图，取边的中点，连接，，

则三角形中位线可知，且，

由题可知，且，所以且，

所以四边形为平行四边形，所以，

又因为平面，平面，

故平面；

【小问2详解】

解：过点作于点，

因为平面，平面，

所以，因为，所以平面，

又，所以到平面的距离即为，

又，，

所以直线与平面所成角为，所以；

22. 已知定义在的函数是奇函数.

（1）求实数的值；

（2）试判断的单调性，并用定义证明；

（3）若关于的不等式在有解，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）在上单调递增   

（3）

【解析】

【分析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以；

（2）根据函数的单调性定义证明即可；

（3）根据函数单调性，直接比较内函数的大小，再分离参数得出，将原问题转换为解出不等式即可.

【小问1详解】

因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得，经检验满足题意；

【小问2详解】

，令，且

则

因为，所以，即

所以

所以函数上单调递增；

【小问3详解】

因为为奇函数，所以

因为为增函数，所以

分离参数可得：

原问题转化为在有解，即

因为在区间单调递增，单调递减，

当时，；当时，

所以当时，取得最小值，所以，