江西省宜春市宜丰县宜丰中学2023-2024学年高三上学期9月月考数学试题

2023-2024（上）江西省宜丰中学创新部高三9月月考数学试卷

一、单选题（40分）

1．“”是“1，，9成等比数列”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知等比数列的各项均为正数，目，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

3．在等差数列中，，其前n项和为，若，则（    ）

A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040

4．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第12月营收贯数为（    ）

A．64 B．66 C．68 D．70

5．记为数列的前项和．若，则（    ）

A．有最大项，有最大项 B．有最大项，有最小项

C．有最小项，有最大项 D．有最小项，有最小项

6．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）．

A．120 B．85 C． D．

7．已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2023项和（    ）

A． B． C． D．

8．已知首项为，公差为的等差数列的前n项和为，若存在，使得：，，则下列说法不正确的是（     ）

A． B． C． D．

二、多选题(20分）

9．已知等差数列的前n项和为，公差．若，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（    ）

A．数列是等比数列

B．若，，则

C．若数列的前n项和，则

D．若，则数列是递增数列

11．下列命题中，正确的有（    ）

A．数列中，“”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件

B．数列的通项为，若为单调递增数列，则

C．等比数列中，，是方程的两根，则

D．等差数列，的前n项和为分别为，，若，则

12．设函数，数列满足，则（    ）

A．当时， 

B．若为常数数列，则

C．若为递减数列，则 

D．当时，

三、填空题（20分）

13．数列的前项和，数列的通项公式为               .

14．已知两个等比数列，的前项积分别为，，若，则       .

15．若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为              （写出一个即可）．

16．已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为      .

四、解答题（70分）

17．在等比数列{}中，．

(1)求{}的通项公式；

(2)求数列{}的前n项和Sn．

18．已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

19．数列是递增的等差数列，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

20．已知是数列的前项和，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，求数列的前项和.

21．已知数列，其中，数列的前项和，数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在自然数，使得对于任意，，有恒成立？若存在，求出的最小值；

22．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．

(1)求的通项公式；

(2)证明：当时，．

2023-2024（上）创新部高三9月考数学试卷参考答案：

1．B【详解】若1，，9成等比数列，则有，解得；而是的充分不必要条件，等价于“”是“1，，9成等比数列”的充分不必要条件.故选：B.

2．C【详解】由题意等比数列的各项均为正数，目，则，故，所以

，故选：C

3．C【详解】设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列．因为，所以的公差为，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以故选：C

4．D【详解】依题意，该人每个月的收入依次排成一列构成等差数列，其前n项和为，有，设的公差为d，因此，解得，所以该人第12月营收贯数.故选：D

5．A【详解】解：根据题意，数列，，对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，即当时，取得最大值，对于，时，最大；且当时，，当时，，当时，，故当或8时，最大，故有最大项，有最大项；故选：．

6．C【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；

由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故选：C．

方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，

从而，成等比数列，所以有，，解得：或，

当时，，即为，易知，，即；

当时，，与矛盾，舍去．故选：C．

7．D【详解】依题意，，当时，

，而满足上式，因此，

所以.故选：D

8．C【详解】,则，∴,与已知矛盾，又∵,∴当时，与已知矛盾，∴时，,得=,∴,

∴,<0,∴a1<0,又∵∴d>0,∴a1d<0,∴ABD都正确，故选:C.

9．BD【详解】解：因为，所以且，即，，因为即、不同时为零，所以，因为，即，所以，，故D正确；不一定为零，故C错误；故选：BD

10．AD【详解】由数列是等比数列，设公比为，则是常数，故A正确；

由，，则，即，所以，故B错误；若数列的前n项和，则，，，

成等比数列，，即，解得，故C错误；若，则，数列是递增数列；若，则，数列是递增数列，故D正确.故选：AD

11．AD【详解】A：因为当时，显然数列不可能是等比数列，但是是公比为2的等比数列一定有成立，因此选项A正确；B：因为为单调递增数列，

所以有，因为函数是减函数，所以，因此选项B不正确；C：因为在等比数列中，设公比为 ，，是方程的两根，所以有，于是有，而，

所以，因此选项C不正确；D：因为等差数列，的前n项和为分别为，，所以由，因此选项D正确，故选：AD

12．AD【详解】的图象如下图：对A，当时，，，，同理，，，故A正确；对B，若为常数数列，则，当时，有无解，当时，，解得或，故B不正确；对C，若为递减数列，则，，当时，则，

当，则，或，故C不正确；对D，当时，，又由可得：，，，

故，，故D正确．

13．【详解】当时，；当时，，符合上式；所以数列的通项公式为.故答案为：.

14．【详解】根据题意，等比数列，的前项积分别为，，则，，故．故答案为：.

15．【详解】试题分析：设三个互不相等的实数为a-d，a，a+d，（d≠0），交换这三个数的位置后：①若a是等比中项，则a2=（a-d）（a+d），解得d=0，不符合；②若a-d是等比中项，则（a-d）2=a（a+d），解得d=3a，此时三个数为a，-2a，4a，公比为-2或三个数为4a，-2a，a，公比为-．③若a+d是等比中项，则同理得到公比为-2，或公比为-，所以此等比数列的公比是-2或-

16．【详解】由，可得.两式相减，可得，所以数列为等差数列.因为，，所以，所以，，则.令，则.当时，，数列单调递减，而，，，所以数列中的最大项为1，故，即实数的取值范围为.故答案为: .

17．（1）由题设，，则的公比，所以.

（2）由（1）知：，

所以.

18．（1）因为，所以，又因为，，成等比数列，所以，

即，所以，联立解得，所以.

（2）由（1）可得，

所以.

19．（1）设递增的等差数列的公差，因为，，所以，

解得，或（舍去），所以.

（2）设，则.由，即，解得.

当，时，.当，时，

.故.

20．（1）当时，，∴，当时，，∴，

∴是以、公比为2的等比数列，∴.

（2）由（1）知，，当时，.

当时，，① ∴，②

①-②得，，

∴，当时，也适合，∴.

21．（1）因为．当时，；所以．

所以．即．又，所以 ．当时，上式成立．因为，

所以是首项为，公比为的等比数列，故； ----- 6分

（2）由⑴知，．则，

假设存在自然数，使得对于任意，有恒成立，

即恒成立，由，解得，所以存在自然数，使得对于任意，

有此时，的最小值为16．

22．（1）设等差数列的公差为，而，则，于是，解得，，所以数列的通项公式是.

（2）方法1：由（1）知，，，

当为偶数时，，，

当时，，因此，当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.

方法2：由（1）知，，，

当为偶数时，，

当时，，因此，当为奇数时，若，则，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，.