福建省莆田哲理中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年上学期高三数学第一次月考测试卷

命题人：陈金亮    试卷满分：150分  命制时间：2023.9.11

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知全集，集合，或，则（    ）

A．     B．    C．     D．

2．已知，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（    ）

A．           B．           C．           D．

3．若，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

4．下列求导运算正确的是

A． B．

C． D．

5．已知实数，，，则、、的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

6．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

7．函数的零点所在的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）

9．下面命题正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”

C．函数的最小值为2

D．不等式在上有解，则实数的取值范围是

10．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（    ）

A．的一个周期为4 B．是函数的一条对称轴

C．时， D．

11．星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，等星的星等值为.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，关于星等下列结论正确的是（    ）

A．星等值越小，星星就越亮

B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍

C．若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于

D．若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于

12．已知函数则下列选项正确的是（    ）

A．函数在区间上单调递增     

  B．函数的值域为

C．方程有两个不等的实数根

D．不等式解集为

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．不等式的解集为          .

14．                 ．

15．已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是      .

16．已知函数，，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为         .

四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题12分，共70分。）

17．在中，内角所对的边分别为，设，

(1)求角；

(2)若，且，求面积的最大值.

18．已知数列是各项均为正数的等比数列，且，数列中．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列的前项和为，数列满足，求数列的前项和．

19．已知函数，.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)试讨论函数的单调性.

20．四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面．

(1)证明：；

(2)若，且三棱锥的体积为，点满足，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

21．已知定义在上的奇函数，且.

(1)求函数的解析式;

(2)判断的单调性（并用单调性定义证明）;

(3)解不等式.

22．已知函数（且）.

(1)求函数的定义域；

(2)若，求函数的值域；

(3)是否存在实数a，b，使得函数在区间上的值域为，若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由.

 2023-2024学年上学期高三数学第一次月考测试卷参考答案：

1．B

【详解】由或得，

又，

所以.

故选：B.

2．B

【详解】由命题“，”是真命题，可转换为不等式在恒成立，

因为，所以，

结合选项，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是.

故选: B.

3．B

【详解】由，可得，

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故选：B.

4．B

【详解】解：，，，

于是可得A、 C、 D错误.

故选：B．

5．D

【详解】因为，，函数在上是增函数，

所以，

因为，，

所以，

综上所述，，

故选：D.

6．A

【详解】由得，即函数的定义域为，

又，即为奇函数，排除B，C；

因为，D不符合条件，A满足.

故选：A

7．B

【详解】在上单调递增，且，.

则由零点存在定理得所求零点在区间.

故选：B.

8．A

【详解】，

由于，所以的定义域为，

，

所以是奇函数，

当时，为增函数，为增函数，

所以是增函数，由是奇函数可知，在上单调递增，

由得，

即，则，解得，

所以不等式的解集是.

故选：A

9．AB

【详解】A：可得，但反之不一定成立，对；

B：全称命题的否定为特称命题，原命题的否定为：存在，则，对；

C：当时，，即2不是最小值，错；

D：令，开口向上且，使在上能成立，

必有，可得，故对称轴，显然恒成立，

所以，错.

故选：AB

10．ABD

【详解】对于A，为奇函数，，且，函数关于点，

偶函数，，函数关于直线对称，

，

即，，

令，则，，

，故的一个周期为4，故A正确；

对于B，则直线是函数的一个对称轴，故B正确；

对于C、D，∵当时，，

，，

又，，解得，

，，

当时，，故C不正确；

，故D正确.

故选：ABD.

11．ABD

【详解】对选项A，若，则，

即，，， ，

所以星等值越小，星星就越亮， 故A正确；

对选项B，当，时，，则，B正确；

对选项C，若，则，即，C错误；

对选项D，若，则，即，D正确.

故选：ABD.

12．BC

【详解】  

画出的图象，如上图所示.

令，解得或，

所以的图象与轴交于.

对于A，由图象可知，函数在区间上不单调，A错；

对于B，由图象可知，函数的值域为，B对；

对于C，，，

由图象可知，方程，即有两个不等的实数根，C对；

对于D，由图象可知，当时，，

所以，由可得.

令，解得或；

令，解得或，

所以，由图象可知，不等式解集为，D错.

故选：BC

13．

【详解】根据不等式整理可得，

即，等价于，

解得；

所以不等式的解集为

故答案为：

14．

【详解】

故答案为：

15．

【详解】因为函数满足对上的任意实数，恒有成立，

所以函数在R上递减，

所以，即，解得，所以的取值范围是.

故答案为：.

16．

【详解】由得，

由题意得，函数与函数的图象恰有3个公共点，

作出函数的图象，如图，

再作出直线，它始终过原点，

当时，与至多有两个交点，不满足.

当时，设直线与相切，切点为,，

由知，切线斜率为，切线方程为，

把代入得，所以切线斜率为，

由图可得与图象有3个交点时实数的取值范围是.

故答案为: .

17．(1)    (2)

【详解】（1）解：因为，

由正弦定理，可得，

整理得，

可得，

即，

因为，则，所以，

可得，即，

又因为，可得，所以，所以.

（2）解法一：在中，由余弦定理得，即，①

因为，所以且，即，

在和中，由余弦定理可得，

即，即，②

联立①②消去，可得，

因为，当且仅时，等号成立，所以，即，

所以的面积.

故面积最大值为.

解法二：延长至，使，连，则且，

可得，

在中，由余弦定理得，

即，当且仅当时，等号成立，

所以，所以的面积.

故面积最大值为.

18．(1)   (2)

【详解】（1）正项等比数列的公比为，由，得，

而，解得，于是，

由，得，

所以数列的通项公式.

（2）由（1）知，，显然数列是等差数列，，

，

所以.

19．(1)   (2)答案见解析

【详解】（1）因为，

所以，则，切点为

又因为

所以，即

所以曲线在点处的切线方程是，

即.

（2）因为，，

所以，

当时，，则在上单调递减；

当时，令，得，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

综上，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增

20．(1)证明见解析   (2)

【详解】（1）由题设，为等边三角形，则，

又四边形为梯形，，则，

在中，，，所以，

即，则，

所以，即，

面面，面面，面，

则面，

又面，故．

（2）若为中点，，

则，面面，面面，面，

则面，

连接，则，且面，故，

综上，，，两两垂直，以为原点，，，为，，轴正方向的空间直角坐标系．

所以，，，，

由三棱锥的体积为，则，

即，故．

则，则，

所以，，，，

若是面的一个法向量，

则，取，则，则．

若是面的一个法向量，

则，取，则，，则，

所以，

则锐二面角的余弦值为．

21．(1)  (2)函数在上单调递增，证明见解析；  (3)

【详解】（1）定义在上的奇函数，则，即，解得，

又，即，解得，

，经检验符合题意；

（2）函数在上是增函数，证明如下：

任取、且，

则

，

因为，则，，

故，即，

因此函数在上是增函数.

（3），，

，解得，不等式的解集为．

22．(1)   (2)   (3)存在，，

【详解】（1）由，解得的定义域为.

（2）当时，，.

因为的定义域是，所以，

所以，，

所以，

所以，的值域是.

（3）因为函数在上的值域为，又，且，

由的定义域得，所以.

①当时，因为在上单调递减，所以函数在上单调递增，

所以，即，

因为，所以，所以无解.

（或者因为，所以，所以无解），

故此时不存在实数a，b满足题意.

②当时，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，

所以，即

解得或（舍），.

综上，存在实数，.