2017年陕西省中考数学试卷

2017年陕西省中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．计算：（﹣）2﹣1=（　　）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．0

2．如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则它的主视图是（　　）

     A． B． C． D．

3．若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为（　　）

A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8

4．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点B落在直线a上，若∠1=25°，则∠2的大小为（　　）

A．55° B．75° C．65° D．85°

5．化简：﹣，结果正确的是（　　）

A．1      B．            C．         D．x2+y2

6．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（　　）

A．3 B．6 C．3 D．

7．如图，已知直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（　　）

A．﹣2＜k＜2 B．﹣2＜k＜0 C．0＜k＜4 D．0＜k＜2

8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（　　）

A． B． C． D．

9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（　　）

A．5 B． C．5 D．5

10．已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（　　）

A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

11．在实数﹣5，﹣，0，π，中，最大的一个数是　   　．

12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．

A．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A=52°，则∠1+∠2的度数为　   　．

B.tan38°15′≈　   　．（结果精确到0.01）

13．已知A，B两点分别在反比例函数y=（m≠0）和y=（m≠）的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则m的值为　   　．

14．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为　   　．

三、解答题（本大题共11小题，共78分）

15．（5分）计算：（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．

16．（5分）解方程：﹣=1．

17．（5分）如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益，某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况，校政教处在七年级随机抽取了部分学生，并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间x（分钟）进行了调查．现把调查结果分成A、B、C、D四组，如表所示，同时，将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图和扇形统计图；

（2）所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在　   　区间内；

（3）已知该校七年级共有1200名学生，请你估计这个年级学生中约有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟．（早锻炼：指学生在早晨7：00～7：40之间的锻炼）

19．（7分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．

20．（7分）某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米，然后，小军在A处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长（结果精确到1米）．（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452．）

21．（7分）在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的3个温室大棚进行修整改造，然后，1个大棚种植香瓜，另外2个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说：“我的日子终于好了”．

最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包5个大棚，以后就用8个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下：

现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为x个，明年上半年8个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为y元．

根据以上提供的信息，请你解答下列问题：

（1）求出y与x之间的函数关系式；

（2）求出李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于10万元．

22．（7分）端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为A），豆沙粽子（记为B），肉粽子（记为C），这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．

根据以上情况，请你回答下列问题：

（1）假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？

（2）若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．

23．（8分）如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，

（1）求弦AC的长；（2）求证：BC∥PA．

24．（10分）在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．

（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；

（2）求A、B两点的坐标；

（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（12分）问题提出

（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为　   　；

问题探究

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E，又测得DE=8m．

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

2017年陕西省中考数学试卷答案

1． C2． B．3． A．4． C．5． B6． A．7． D．8． B．9． D．10． C．

11．π．12． 2.03．1．14． 18．

三、15．解： 原式=﹣+2﹣﹣2

=﹣2﹣

=﹣3

16．解： 去分母得，（x+3）2﹣2（x﹣3）=（x﹣3）（x+3），

去括号得，x2+6x+9﹣2x+6=x2﹣9，

移项，系数化为1，得x=﹣6，

经检验，x=﹣6是原方程的解．

17．解：如图，点P即为所求．

18． 解：（1）本次调查的总人数为10÷5%=200，

则20～30分钟的人数为200×65%=130（人），

D项目的百分比为1﹣（5%+10%+65%）=20%，

补全图形如下：

（2）由于共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，

则其中位数位于C区间内，

故答案为：C；

（3）1200×（65%+20%）=1020（人），

答：估计这个年级学生中约有1020人一天早锻炼的时间不少于20分钟．

19． 证明： ∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADF=CDE=90°，AD=CD．

∵AE=CF，

∴DE=DF，

在△ADF和△CDE中，

∴△ADF≌△CDE（SAS），

∴∠DAF=∠DCE，

在△AGE和△CGF中，，

∴△AGE≌△CGF（AAS），

∴AG=CG．

20． 解：如图，作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，

设AN=x米，则BD=CE=x米，

在Rt△MBD中，MD=x•tan23°，

在Rt△MCE中，ME=x•tan24°，

∵ME﹣MD=DE=BC，

∴x•tan24°﹣x•tan23°=1.7﹣1，

∴x=，解得x≈34（米）．

答：“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长约为34米．

21．解： （1）由题意得，

y=（2000×12﹣8000）x+（4500×3﹣5000）（8﹣x）

=7500x+68000，

（2）由题意得，7500x+6800≥100000，

∴x≥4，

∵x为整数，

∴李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植5个大棚．

22．解：（1）由题意可得，

小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是：=，

即小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是；

（2）由题意可得，出现的所有可能性是：

（A，A）、（A，B）、（A，C）、（A，C）、

（A，A）、（A，B）、（A，C）、（A，C）、

（B，A）、（B，B）、（B，C）、（B，C）、

（C，A）、（C，B）、（C，C）、（C，C），

∴小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率是：．

23． 解：（1）连接OA，

∵PA是⊙O的切线，

∴∠PAO=90°

∵∠P=30°，

∴∠AOD=60°，

∵AC⊥PB，PB过圆心O，

∴AD=DC

在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=

∴AC=2AD=5

（2）∵AC⊥PB，∠P=30°，

∴∠PAC=60°，

∵∠AOP=60°

∴∠BOA=120°，

∴∠BCA=60°，

∴∠PAC=∠BCA

∴BC∥PA

24．解：（1） ∵C1、C2关于y轴对称，

∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，

∴a=1，n=﹣3，

∴C1的对称轴为x=1，

∴C2的对称轴为x=﹣1，

∴m=2，

∴C1的函数表示式为y=x2﹣2x﹣3，C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3；

（2）在C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3中，令y=0可得x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1，

∴A（﹣3，0），B（1，0）；

（3）存在．

∵AB的中点为（﹣1，0），且点P在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，

∴AB只能为平行四边形的一边，

∴PQ∥AB且PQ=AB，

由（2）可知AB=1﹣（﹣3）=4，

∴PQ=4，

设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t+4，t2﹣2t﹣3）或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），

①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t+4）2+2（t+4）﹣3，解得t=﹣2，

∴t2﹣2t﹣3=4+4﹣3=5，

∴P（﹣2，5），Q（2，5）；

②当Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，解得t=2，

∴t2﹣2t﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，

∴P（﹣2，﹣3），Q（2，﹣3），

综上可知存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（﹣2，5），Q（2，5）或P（﹣2，﹣3），Q（2，﹣3）．

25．解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则AD=AC=×12=6，

∵O是内心，△ABC是等边三角形，

∴∠OAD=∠BAC=×60°=30°，

在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=，

∴OA=6÷=4，

故答案为：4；

（2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，

∵点O为矩形ABCD的对称中心，

∴CQ=AP=3，

过P作PM⊥BC于点，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，

由勾股定理得：PQ===12；

（3）如图3，作射线ED交AM于点C

∵AD=DB，ED⊥AB，是劣弧，

∴所在圆的圆心在射线DC上，

假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=AB=12，

在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，

解得：r=13，

∴OD=5，

过点M作MN⊥AB，垂足为N，

∵S△ABM=96，AB=24，

∴AB•MN=96，

×24×MN=96，

∴MN=8，NB=6，AN=18，

∵CD∥MN，

∴△ADC∽△ANM，

∴，

∴，

∴DC=，

∴OD＜CD，

∴点O在△AMB内部，

∴连接MO并延长交于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，

∵在上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，

∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，

即MF＞MG，过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，

∴OM===3，

∴MF=OM+r=3+13≈19.71（米），

答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．