广东省东莞市厚街中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题

这是一份广东省东莞市厚街中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
东莞市厚街中学2022—2023学年第二学期月考试题高一数学命题人：姚卫  审题人：徐新达考生注意：本卷共三大题，22小题，满分150分，时间120分钟．不准使用计算器．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1．化简向量等于（    ）A．    B．    C．    D．2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（    ）A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限3．如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，则两点间的距离为（    ）A．    B．    C．    D．4．在下列命题中，正确命题的个数是（    ）①两个复数不能比较大小；②若和都是虚数，且它们的虚部相等，则；③若是两个相等的实数，则必为纯虚数．A．0    B．1    C．2    D．35．若非零向量满足，则与的夹角为（    ）A．    B．    C．    D．6．如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）A．    B．    C．    D．7．已知（是虚数单位），，定义：，给出下列命题：①对任意，都有；②若是复数的共轭复数，则恒成立；③，则；④对任意，结论恒成立；则其中真命题是（    ）A．①②③④    B．②③④    C．②④    D．①③8．点为所在平面内的动点，满足，则点的轨迹通过的（    ）A．外心    B．重心    C．内心    D．垂心二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．已知向量，则（    ）A．              B．向量的夹角为C．              D．在方向上的投影向量是10．在中，，则角可以为（    ）A．    B．    C．    D．11．下列命题不正确的是（    ）A．单位向量都相等B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C．，则D．若与单位向量，则12．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中不正确的是（    ）A．对应的点位于第二象限           B．为纯虚数C．的模长等于                D．的共轭复数为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．13．已知向量，若，则____________．14．i是虚数单位，____________．（用的形式表示，）．15．已知是复数，均为实数（i为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上，则实数的值是____________．16．在四边形中，，且，则实数的值为____________；若是线段上的动点，是线段上的动点，且满足，则的最小值为____________．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．已知复数是纯虚数（i为虚数单位，为实数）．（1）求的值；（2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围．18．从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角．某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我国海军护航舰在处获悉后，立即测出该货船在方位角为，距离为20海里的处，并测得货船正沿方位角为的方向．以20海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以海里/小时的速度，以直线轨迹行驶前去营救，求护航舰的航向（方位角）和靠近货船所需的时间．19．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．（1）求的余弦值．（2）若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．20．已知为实数，复数．（1）当为何值时，复数的模最小？（2）当复数的模最小时，复数在复平面内对应的点位于函数的图象上，其中，求的最小值及取得最小值时的值．21．在中，内角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）是线段上的点，且，求的面积．22．如图所示，在中与相交于点，设．（1）试用向量表示；（2）过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值．东莞市厚街中学2022—2023学年第二学期月考试题高一数学答案一、单项选择题：1．D  2．A  3．C  4．A  5．B  6．B  7．C  8．D8．【详解】处理原式得到故所在的直线与三角形的高重合，故经过垂心，故选D．【点睛】考查了平面向量数量积，考查了垂心的性质，关键得到，即可，难度偏难．二、多项选择题：9．BD  10．AC   11．AB   12．D12．【详解】对于A：对应的点位于第二象限，故A正确；对于B：为纯虚数，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，所以的共轭复数为，故D错误．故选：D三、填空题：13．   14．   15．    16．【详解】在四边形中，，，又；如图以为原点建立平面直角坐标系，设，则，所以，所以，所以，所以当时，取得最小值．故答案为：；．17．【详解】（1）解：由题知，解得（2）解：由（1）知，，复数在复平面内对应的点在第一象限，，，18．【详解】解：设护航舰靠近货船所需时间为小时，营救地点为，可得．在中，由余弦定理可得，，化简可得，或（舍去）．护航舰需要1小时靠近货船．，在中，根据正弦定理得：，为三角形内角，可得护航舰航行的方位角为，所需时间为1小时．19．【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系．则．由于就是的夹角．的余弦值为．（2）设．．由题得．①当点在上时，设，；②当点在上时，设，，舍去．综上，存在．20．【详解】（1），当且仅当时，复数的模最小，为；（2）当复数的模最小时，．又点位于函数的图象上，所以．又，则，所以，当且仅当时等号成立．又，所以．所以，的最小值为，此时．21．【详解】（1）解：因为，所以，，由正弦定理可得，即，，则，所以，，因此，．（2）解：设，因为，则，因为，所以，，在中，由正弦定理可知，即，即，化简可得，即，所以，，所以，．22．【详解】（1）因为三点共线，所以存在实数使得，又因为三点共线，所以存在实数使得，根据向量相等可得，解得，所以．（2）设，由（1）可得①，②，又三点共线，所以③，由①②可得，代入③式可得，即不论点在线段上如何移动，为定值7．