江西省全南中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

2023-2024学年第一学期高中学段开学考试

二年级数学

一、单选题（每题5分，共40分）

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．（    ）

A． B． C． D．

3．已知扇形的半径为1，圆心角为，则这个扇形的弧长为（    ）

A． B． C． D．60

4．已知向量，，且，则（    ）

A．9 B．3 C．6 D．5

5．函数在上的零点个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

6．如图，正方体的棱长为1，设直线与分别交于点，且，则线段的长为（    ）

A． B． C． D．

7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动6圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间．根据如图所示的直角坐标系，将点到水面的距离（单位：，在水面下，为负数）表示为时间（单位：）的函数，当时，点到水面的距离为（    ）

A． B． C． D．

8．在四棱锥中，底面，底面为正方形，．点分别为平面，平面和平面内的动点，点为棱上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

二、多选题（每题5分，共20分）

9．下列说法错误的是（    ）

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台

C．底面是矩形的四棱柱是长方体

D．三棱台有8个顶点

10．下列命题中，正确的有（    ）

A．

B．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则或9

C．若平面向量，是一组基底，且存在使得，，则

D．若平面向量，是一组共线向量，则存在，使

11．已知角的终边经过点，则的值可能为（    ）

A． B． C． D．

12．在棱长为1的正方体中，为侧面内的一个动点（含边界），则下列说法正确的是（    ）

A．随着点移动，三棱锥的体积有最小值为

B．三棱锥体积的最大值为

C．直线与平面所成角的余弦值为

D．作体对角线的垂面，则平面截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大

三、填空题（共20分）

13．复数，则z的虚部为           .

14．已知，，若||＝12，||＝5，且90°，则的值为            ．

15．某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点A与，现测得，，米，在点A处测得塔顶的仰角为，则塔高为         米．

16．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是           ．

四、解答题（共70分）

17．计算：

(1)；

(2).

18．已知.

(1)把写成的形式，并指出它是第几象限角;

(2)求，使与的终边相同，且.

19．已知复数（为虚数单位，），且是纯虚数.

(1)求复数；

(2)在复平面内，复数对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.

20．如图所示，在平行四边形ABCD中，，，．

(1)试用向量来表示;

(2)AM交DN于O点，求的值．

21．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足．

(1)求角A；

(2)若，求周长的最大值；

(3)求的取值范围．

22．如图①梯形ABCD中，，，，且，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面平面BCDE，CE与BD相交于O，点P在AB上，且，R是CD的中点，过O，P，R三点的平面交AC于Q．

(1)证明：Q是AC的中点；

(2)证明：平面BEQ；

(3)M是AB上一点，已知二面角为45°，求的值．

答案

1．D

因为，，

所以，

故选：D

2．D

因为，所以，

故选：D.

3．B

易知，由扇形弧长公式可得.

故选：B

4．C

因为，，且，

所以，解得.

故选：C

5．B

当时，由.

若，可得、；

若，可得、.

综上所述，函数在上的零点个数为4.

故选：B.

6．B

因为直线与分别交于点，且，

则线段的长即为异面直线的距离，

连接，，由条件可知，

又因为平面，平面，

所以平面，

所以异面直线的距离，即为直线到平面的距离，

由平面可知，

直线到平面的距离等于到平面的距离，

设到平面的距离为，

由题意可知平面，所以到平面的距离为的长，

由得，，

由正方体的棱长为1，

可知，，

所以，，

所以，所以，

所以线段的长为.

故选：B.

7．A

设，则点到水面的距离，

由题可知，与的夹角为，

在时间转过的角度为，

由图可知，点的纵坐标，

因此则点到水面的距离，

当时，，所以点到水面的距离为．

故选：A

8．B

由题意得均最小时，平方和最小，

过点分别作平面，平面，平面的垂线，垂足分别为，

连接，因为面，平面，所以，

因为底面为正方形，所以，又因为，平面，

所以面，因为平面，则，又因为点在上，则点应在上，

同理可证分别位于上，

从而补出长方体，

则是以为共点的长方体的对角线，则，

则题目转化为求的最小值，显然当时，的最小值，

因为四边形为正方形，且，则，

因为面，面，所以，

所以，

则直角三角形斜边的高，此时，

则的最小值为，

故选：B.

9．ACD

对于A，如图几何体是三棱锥与三棱锥组合而成，各个面都是三角形，但不是三棱锥，A错误；

对于B，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台，B正确；

对于C，底面是矩形的四棱柱，当侧棱不垂直于底面时，该几何体不是长方体，C错误；

对于D，三棱台有6个顶点，D错误.

故选：ACD

10．BCD

对于A，，故A错误；

对于B，若平面向量，，两两的夹角相等，则夹角为或，

当夹角为时，

，

当夹角为时，

，故B正确；

对于C，若，是一组基底，且存在使得，，则，故C正确；

对于D，若平面向量，是一组共线向量，则存在，使，故D正确.

故选：BCD

11．CD

已知角的终边经过点

所以，

则当时，，此时；

当时，，此时；

所以的值可能为或.

故选：CD.

12．BC

对于A，为定值，故A错误；

对于B，在正方体中，当点P在上时，三棱锥即的体积取最大值，，故B正确；

对于C，根据题意作图如下，在正方体中，，

平面，平面，，

因为，平面，

所以平面，平面，即，

因为，平面，平面，所以，

且，平面，

所以平面，平面，即，

因为，所以平面，设，

连接，设，则为直线与平面所成角，

在中，，

因为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故C正确；

对于D，如下图，平面时，截面从A点到面过程中，

截面面积和周长都越来越大；从面到面过程中，

设，则，，

所以，，所以截面周长为，

所以面积先变大后变小而周长不变；从面到过程中，面积和周长越来越小，

故D错误.

故选：BC.

13．

，

故复数的虚部为.

故答案为：

14．13

90°,

，又||＝12，||＝5

则，

故答案为：

15．

根据题意可知，在中，，可得；

利用正弦定理可得，即；

又在点A处测得塔顶的仰角为，即，

所以，

即塔高为米.

故答案为：

16．

如图，取的中点，的中点M，连接AM，AN，MN，，，

由正方体，E，N分别为，的中点，

易知，且，

所以四边形为平行四边形，所以，

又因为平面BEF，平面BEF，所以平面BEF，

因为E，F分别为，的中点，由中位线性质可得，同理可知，所以，

又因为平面，平面，所以平面，又，平面AMN，所以平面平面，

因为P是底面上一点，且平面，所以点，

由分别为的中点，且，，则，，即，

由，则

在等腰中，底边上的高，

则AP的长度的取值范围为，

设与平面成角为，在正方体中，易知平面，且为垂足，

所以．

故答案为：.

17．(1)

(2)2

（1）

；

（2）.

18．(1)，第三象限角

(2)或.

（1）因为

于是，它是第三象限角.

（2）由（1）知，

因为，所以，即，

因为，所以或.

当时，；

当时，．

所以或.

19．(1)

(2)

（1）因为，且是纯虚数，

所以是纯虚数，

则，即，

所以.

（2），

由题意可得，解得，

所以实数的取值范围是

20．(1)，

(2)

（1）因为，所以，所以，

因为，所以，

所以；

（2）设，

则，

因为三点共线，所以存在实数使，

由于向量不共线，则，，解得，

所以.

21．(1)

(2)

(3)

（1），由正弦定理得，

，

因为，

所以，

即，

因为，所以，故，

所以，

因为，所以，

故，解得；

（2）由（1）知，

又，由余弦定理得，

即，

所以，

由基本不等式可知，

所以，解得，

当且仅当时，等号成立，

故的周长最大值为；

（3）由（1）知，

则

，

令，

因为，所以，，

则，

故当时，取得最小值，最小值为，

当时，取得最大值，最大值为，

故的取值范围是.

22．(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

（1）在图①中过C作，则，

图②中，连接BD，CE，

又∵，∴，∴，∴且．

∴，∴，

在中，，

∴，又平面ACD，平面ACD，

∴平面ACD，平面平面，

∴，∴，

又R是CD的中点，∴Q是AC的中点；

（2）如图，在直角梯形BCDE中，，∴

中，，，∴

∴，∴

又∵平面平面BCDE，平面平面BCDE，

∴平面BCDE，平面BCDE，∴，

又，平面ACE，

又平面ACE，∴，

在中，，，∴

∴，又由（1）Q是AC的中点，

∴，，∴平面ACD，

又平面ACD，∴

又∵，，∴平面ADE，

∴，又，∴平面BEQ；

（3）如图，过M作，过H作于点G，连结MG，

则∠MGH为二面角的平面角，∴，

设，∴

又，∴

在中，，

由得，即，∴

∴