浙教版初中数学八年级上册第一章《三角形的初步认识》单元测试卷（含答案解析）（困难）

浙教版初中数学八年级上册第一章《三角形的初步认识》单元测试卷（含答案解析）（困难）

考试范围：第一章  考试时间 ：120分钟  总分 ：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，，、、分别平分的外角、内角、外角以下结论：

；  ；    ；平分；．

其中正确的结论有(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：；；
；，其中正确的为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列语句是真命题的是(    )

A. 对顶角相等 B. 底边相等的两个等腰三角形全等
C. 已知，求的值 D. 若，则

4.  如图所示，，是的中线，给出下列结论：；；；其中正确的有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

5.  能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  下列命题是真命题的是(    )

A. 邻补角相等 B. 两直线平行，同旁内角互补
C. 内错角相等 D. 垂直于同一条直线的两直线平行

7.  如图，≌，给出下列结论：；；；其中正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点，，，在同一直线上，≌，若，，则的长度等于(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接下列结论：；；平分；平分其中正确的个数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  在中，，，是等边三角形，点在边上，点在外部，于点，过点作，交线段的延长线于点，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于、两点，过、两点的直线交于点，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，≌，点在上，连接，下列结论：
平分


其中，所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  如图，在中，为边上的中线，把沿翻折到，与交于点若与的面积相等，则 ______

14.  如图，≌，其中与是对应边，与是对应边，若，，则        ．

15.  如图，在等腰中，，为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则__________．

 

16.  如图，点为的角平分线上一点，过任作一直线分别与的两边交于、，为的中点，过作的垂线交于点，，则______ ．
 

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，已知三角形的三个内角平分线交于点，于，试比较和的大小．

18.  本小题分
如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点求的度数．

19.  本小题分

在一个三角形中，如果一个角是另一个角的倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”如，三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交射线于点．

的度数为____________，____________填“是”或“不是”智慧三角形；
若，求证：为“智慧三角形”；
当为“智慧三角形”时，求的度数．

20.  本小题分

如图，，相交于点，连结，，，分别平分，，与相交于点，与相交于点求证：．

21.  本小题分
如图所示，≌，．

  求的度数．

  判断与的位置关系，并说明理由．

22.  本小题分
如图，、相交于点，≌，且，，，，求的度数和的长度．

23.  本小题分
已知：如图，≌，，，求线段的长．

24.  本小题分
已知：，平分，．

如图，当时，求证：；
如图，当时，猜想中的结论是否发生改变并说明理由．

25.  本小题分
作图题：
如图，已知点，点，直线及上一点．
连接，并在直线上作出一点，使得点在点的左边，且满足；
请在直线上确定一点，使点到点与点到点的距离之和最短，并写出画图的依据．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查角平分线性质，根据等腰三角形性质以及内角和定理，平行线的判断方法一一判断，注意运用以及证明的结论．
【解答】
解：平分，
，
，，
，
，正确；
，
，
平分，，
，
，正确；
平分，平分，
，，
，，，
，正确；
平分，
，
，，
不等于，错误；
，，，，
，正确；
即正确的有个，
故选B．

2.【答案】 

【解析】解：平分，，
．
，
，即，错误；
平分，
，
，
，即，
，
，
，
，故正确；
平分，
，
，
，故正确；
平分，平分，
为外角的平分线，

，
，，，
，
，
，
，
，
，故正确．
故选：．
由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定；利用角平分线的定义可判定；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可得结论．
本题主要考查角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质等知识的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：、对顶角相等，是真命题，故本选项正确；
B、底边相等的两个等腰三角形全等，错误，因为两个底角不一定相等，故本选项错误；
C、已知，求的值，不是命题，故本选项错误；
D、若，则，错误，例如：，，则不成立，故本选项错误．
故选A．
根据对顶角相等，等腰三角形的判定，命题的定义，不等式的性质对各选项分析判断即可得解．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

4.【答案】 

【解析】分析
本题考查三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，如图，首先证明设为，设为；根据得到，进而得到，运用该结论即可解决问题．
详解
解：、是的中线，
，；
故正确
，，
若设，，则
即，故正确
；故正确
，
即不正确
正确的有个
故选C．

5.【答案】 

【解析】解：、如图，两个角都是，这两个角相等，但这两个角不是对顶角，可以说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项符合题意；
B、如图，两个角都是，这两个角相等，这两个角是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
C、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
D、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
故选：．
根据对顶角的概念、假命题的概念解答即可．
本题考查的是命题与定理以及假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

6.【答案】 

【解析】解：、邻补角应该是互补关系，而不是相等，故选项A是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，教材定理，故选项B是真命题，符合题意；
C、缺少条件“两直线平行”，故选项C是假命题，不符合题意；
D、缺少条件“在同一平面内”，故选项D是假命题，不符合题意．
故选：．
对于选项B、、利用平行线的判定和性质进行判断，对于选项A利用邻补角的概念进行判断．
本题考查了真假命题判断与定理，熟练掌握定理，并能准确判断真假命题是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：≌，
，，，
故正确；
，
，
，
故正确；
由图形可知，，故错误．
故选：．
根据全等三角形的性质可直接判断，结合等式的性质可判断，由图形可直接判断．
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．全等三角形的对应角相等，对应边相等．

8.【答案】 

【解析】解：由图形可知，，
≌，
，
，
，
故选：．
根据全等三角形的对应边相等解答即可求出，进而求出的长度．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．由“”证明≌得出，，，正确；由三角形的外角性质得：，得出，正确；作于，于，则，由“”证明≌，得出，由角平分线的判定方法得出平分，正确；假设平分，证得≌，得出，与矛盾，错误．
【解答】解：，
，
即，
在和中，
≌，
，，，正确；
由三角形的外角性质得：，
，正确；
作于，于，如图，

则，
在和中，
≌，
，
平分，正确；
，
当时，才平分，
假设，
，
，
平分，
，
在和中，
≌，
，
，
，与矛盾，错误；
正确的个数有个．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接、、，

，，
，，
为等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，
，
，
，
解得，，
即，
故选：．
取的中点，连接，，，分别证明≌和≌，然后根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质推出≌，根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线的作法．
根据直角三角形两锐角互余可得，由作图可得是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：，
，
由作图可得是的垂直平分线，
，
，
即，
，
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：≌，
，，
，
，
平分，
故正确，符合题意；
，
，
，
，
故正确，符合题意；
，
，，，，
，，，
，
，，
故正确，符合题意；
故选：．
根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质及角的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：为边上的中线，
，
与的面积相等，
把沿翻折到，
与的面积相等，
与的面积相等，
与的面积相等，
与的面积相等的面积，
与的面积相等，
，
与的面积相等，
，
，
≌，
，
把沿翻折到，
，
，
，
．
，
，
故答案为：．
根据题意证明≌，可得，再根据三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到≌．

14.【答案】 

【解析】解：≌，
，
，
，
，，
则，
，
．
故答案为：．
根据全等三角形对应角相等可得，再根据等式的性质两边同时减去可得结论．
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．

15.【答案】或． 

【解析】【分析】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．当点位于点左侧时，作于，证≌，求出，证≌，根据全等三角形性质得出，，设，，，求出的值，同理可得：当点位于点右侧时，求出的值即可．
【解答】
解：当点位于点左侧时，
作于，

，
，
，
，
，，
，
在和中
≌，
，
，
，
，
，
在和中
≌，
．
≌，≌，
，，
设，，，
，
，
同理可得：当点位于点右侧时，

≌，≌，
，，
设，，，，
，
则的值为或．
故答案为或．

16.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线性质和线段垂直平分线性质的知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等过作于，于，求出，根据角平分线性质求出，根据线段垂直平分线性质求出，证≌，求出，推出，即可得出答案．

【解答】

解：如图：过作于，于，则，

，

，

，，，

，

为中点，，

，

在和中，

，

≌，

，

．

故答案为．

17.【答案】解：因为、、为三角形的角平分线，
所以，
，
．
所以
．
所以．
又因为，，
，
，
所以．
所以和是相等的关系． 

【解析】根据角平分线的定义、三角形内角和定理可知又因为，，所以．
本题考查了角平分线的定义及三角形内角和定理：三角形三个内角的和为．

18.【答案】解：，
，
，
和分别平分和，
，，
，
． 

【解析】先根据三角形内角和定理计算出，则利用邻补角定义计算出，再根据角平分线定义得到，，所以，然后再利用三角形内角和计算的度数．
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是本题的关键是利用邻补角或三角形外角性质把和联系起来．

19.【答案】解：，是．
证明：，，
．
为“智慧三角形”．
为“智慧三角形”，
当点在线段上时，
，
，，．
Ⅰ当时，，
；
Ⅱ当时，，
此种情况不存在；
Ⅲ当时，，
．
．
Ⅳ当时，
．
．
．
Ⅴ当时，，
；
Ⅵ当时，，
．
此种情况不存在．
当点在线段的延长线上时，
，
．
．
Ⅰ当时，，
．
；
Ⅱ当时，，
．
．
．
综上所述，当为“智慧三角形”时，的度数为或或或或或． 

【解析】此题主要考察三角形内角和定理、三角形的外角性质，属于新定义问题，运用了分类讨论的思想。
运用三角形内角和定理即可解决
运用题干所给的新定义即可解决
此问主要考察分类讨论思想，根据新定义，讨论“三倍关系”具体在哪两个内角之间成立和点所处的位置。

20.【答案】证明：在和中，，
又在和中，，
，得
． 

【解析】略

21.【答案】解：≌，
，
又，
；
．
理由：≌，
，
，
，
． 

【解析】本题主要考查了全等三角形的性质以及垂线的定义解题时注意，全等三角形的对应角相等，对应边也相等．
先根据全等三角形的性质得出与的关系，再根据的度数求得的度数；
先根据全等三角形的性质得出与的关系，再根据为平角，求得的度数，即可得出结论．

22.【答案】解：≌，，，，
，，
，
，
即，的长度是． 

【解析】根据三角形全等的性质和三角形内角和可以解答本题．
本题考查全等三角形的性质和三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

23.【答案】解：≌，
，又，
，
，
． 

【解析】根据全等三角形的对应边相等得到，计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．

24.【答案】证明：，，
，
，平分，
，
，
，，
，
；

猜想：不会改变．
理由如下：过点作，，垂足分别为、，
根据的结论，，
平分，
，
，，
，
在与中，，
≌，
，
，
．
即中的结论没有发生改变． 

【解析】根据，，可以求出与都是直角，再根据，平分求出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半得到，，整理即可得解；
不会改变．过点作，，垂足分别为、，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据的结论有，然后再证明与全等，根据全等三角形对应边相等得到，从而得到，进而得解．
本题主要考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，中作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

25.【答案】解：作图如图所示：

作图如图所示：作图依据是：两点之间线段最短．
 

【解析】连接，以为圆心，为半径画弧交直线于，点即为所求；
连接交直线于点，点即为所求；
本题考查作图复杂作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．