浙教版初中数学八年级上册第二章《特殊三角形》单元测试卷（含答案解析）（困难）
展开浙教版初中数学八年级上册第二章《特殊三角形》单元测试卷（含答案解析）（困难）
考试范围：第二章 ;考试时间 ：120分钟 ; 总分 ：120分
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
2. 如图，正的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
3. 已知的三边长分别为、、，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画条．( )
A. B. C. D.
4. 已知的三边，，都是正整数，且满足，如果，那么这样的三角形共有．( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5. 如图，中，，点在边上，且，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，中，，，点在线段上，，，与相交于点，若，则( )
A. B. C. D.
7. 已知：如图，中，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：；；；其中正确的是( )
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点，连接，交的延长线于点有下列结论：；；；垂直平分线段其中，正确结论是( )
A. B. C. D.
9. 在中，高和所在的直线交于点，且，则等于( )
A. B. C. 或 D. 或
10. 如图，两条公路，恰好互相垂直，公路的中点与点被湖隔开若测得的长为，则，两点间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
11. 在中，，，，点，分别是边和上的动点，且始终保持，连结，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
12. 如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得≌的是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论：≌；；；，其中正确的结论有______填序号．
14. 如图，方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与全等的格点三角形最多有( )
A.个
B.个
C.个
D.个
15. 如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为______．
16. 如图，在中，，，，点在内，连接、、，则的最小值是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，的三个顶点的坐标分别为，，．
画出与关于轴对称的，并写出点的坐标；
在轴上找出点，使最小，并直接写出点的坐标．保留必要作图痕迹
18. 本小题分
如图，是的高，是的角平分线，且，
求：的度数；
的度数．
19. 本小题分
如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，且．
求证：；
若，求的度数．
20. 本小题分
如图，在中，，，都是的高，且交于点，为的中点，若，求的长．
21. 本小题分
已知命题：“是等边内的一点，若到三边的距离相等，则”
写出它的逆命题．判断其逆命题成立吗？若成立，请给出证明．
进一步证明：点到等边各边的距离之和为定值．
22. 本小题分
如图，点是等边内一点，是外的一点，，，≌，，连接．
求证：是等边三角形；
当时，试判断的形状，并说明理由；
探究：当为多少度时，是等腰三角形．
23. 本小题分
如图，中，，垂足为，，，．
求证：；
点为上一点，连接，若为等腰三角形，求的长．
24. 本小题分
已知，在中，，，的对边分别是，，，满足，试求的面积．
25. 本小题分
如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于，于．
求证：；若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】分析
本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．
详解
解：如图，最多能画出个格点三角形与成轴对称．
故选C．
2.【答案】
【解析】解：如图，连接 ，
与 关于直线 对称，
，
， ，
，
在 和 中，
， ， ，
，
，
由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可知，当点 与点 重合，即点 ， ， 共线时， 取得最小值，最小值为 ，
即 的最小值为．
故选： ．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等腰三角形的定义，利用作为要或底，画出符合题意的图形即可．
【解答】
解：如图所示：
当，，，时，都能得到符合题意的等腰三角形，
这样的直线最多可画条，
故选B．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】解：设，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，解得：，
，
故选：．
根据等腰三角形两底角相等以及三角形的外角性质定理，即可进行解答．
本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：过 作 交 于 ，延长 与 的延长线交于 点，如图，
，
，
为等腰直角三角形
，
，
，
平分 ，
而 ，
，即 ，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
故选： ．
7.【答案】
【解析】解：
为 的角平分线， ，
在 和 中， ，
， 正确；
为 的角平分线， ， ，
，
， ，
， 正确；
， ， ， ，
，
为等腰三角形，
，
，
，
正确；
过 作 于 点，
是 的角平分线 上的点，且 ，
角平分线上的点到角的两边的距离相等，
在 和 中， ，
，
，
在 和 中， ，
，
，
正确．
故选： ．
8.【答案】
【解析】解：连接，，
，
，
是的一个外角，
，
由题意得：，，
是的垂直平分线，
，
，，
，
，
，，
是等边三角形，
，
所以，上列结论，其中正确的是，
故选：．
连接，，根据等角对等边可得，再利用三角形的外角性质可得，然后根据题意可得：，，从而可得是的垂直平分线，进而可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，，从而在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，进而利用三角形的面积公式，进行计算可得，最后再根据等边三角形的判定可得是等边三角形，从而可得，即可解答．
本题考查了含度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：分为两种情况：
如图，
、是的高，
，，
，，
，
在和中
，
≌，
，
，
，
如图，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
；
故选：．
根据题意画出两个图形，证≌，推出，推出，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，即可求出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，用了分类讨论思想．
10.【答案】
【解析】解：公路，互相垂直，
，
是直角三角形，
公路的中点与点被湖隔开，
若测得的长为，
，
即、两点间的距离为．
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．
本题主要考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】解：，，
当添加或时，可根据“”判定≌；
当添加时，可根据“”判定≌．
故选：．
根据直角三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可以简写成“斜边、直角边”或“”．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质证明≌，可得，可得正确，再根据角平分线的性质可求得，即，根据及角平分线的性质可求得错误，证明≌，≌，再根据等量代换即可得解．
【解答】
解：
解：为的角平分线，
，
在和中，
≌，
正确；
，，
，，
≌，
，
，
正确；
，，，，
，
为等腰三角形，
，
≌，
，
，
为的角平分线，，而不垂直于，
，
错误；
过作于点，
是上的点，，
在和中，
≌，
，
在和中，
≌，
，
，
正确．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了全等三角形的判定以及格点三角形的定义，利用数形结合与分类讨论是解决问题的关键．
【解答】
解：和全等，那么必然有一边等于，有一边等于，有一角等于据此找点即可找出个全等三角形，除去外有个与全等的三角形．
故选A．
15.【答案】
【解析】解：如图：延长，交点于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，；
，
，即；
，
，
当时，面积最大，
即最大面积．
故答案为．
延长，交点于，可证≌，得出，，则，当时，最大面积为，即最大面积为．
本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，，过点作交的延长线于．
，，，
，
，
，
在中，，，，
，
在中，，，，
，，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，，过点作交的延长线于则，则，求出即可得出结论．
本题考查轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转变换，把问题转化为两点之间线段最短，属于中考填空题中的压轴题．
17.【答案】解：如图，即为所求；
，
．
设直线的解析式为，
，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
．
【解析】作出各点关于轴的对称点，再顺次连接即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求点．
本题考查的是作图轴对称变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
18.【答案】解：，
，
，
，
解得；
是的高，
，
是的角平分线，
，
．
【解析】根据直角三角形两锐角互余列出方程，再整理成关于的方程，然后求解即可；
根据直角三角形两锐角互余求出，再求出，然后根据计算即可得解．
本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，利用直角三角形两锐角互余列方程更简便．
19.【答案】证明：连接，
是的垂直平分线，
，
，
，
为线段的中点，
；
解：，
，
是的外角，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
连接，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，根据等腰三角形的三线合一性质即可证得结论；
由可得，由外角的性质可得，由可得，进而求出，由三角形内角和定理即可求出的度数．
20.【答案】解：，都是的高，
，，
在中，，
，
在中，，
为的中点，
，
在中，，
．
【解析】由在中，，，都是的高，可求得，然后利用含角的直角三角形的性质，即可求得答案．
此题考查了含角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21.【答案】解：逆命题： 是等边三角形 内的一点，若 ，则 到三边的距离相等． 该逆命题成立．
证明如下：，
在 的垂直平分线上，
，
在 的垂直平分线上，
是 的垂直平分线，
平分，
同理， 平分， 平分，
是 三个角的角平分线的交点，
．
且 ，
由面积法可得 点到各边的距离之和任意边上的高线长，即为定值．
【解析】将原命题的题设与结论交换位置即可写出其逆命题；可证明其逆命题成立．先由，，根据线段垂直平分线的判定得出是的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质得出平分，同理，平分，平分，那么是三个角的角平分线的交点，根据角平分线的性质即可得出．
本题考查了命题与定理，角平分线、线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，难度适中．利用数形结合是解题的关键．
22.【答案】证明：≌，
．
，
是等边三角形．
解：是直角三角形．
理由如下：
是等边三角形，
，
≌，，
，
，
是直角三角形．
解：是等边三角形，
．
，，
，
，
．
当时，，
．
当时，，
．
当时，
，
．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
【解析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得证；
根据全等易得，结合中的结论可得为，那么可得所求三角形的形状；
根据题中所给的全等及的度数可得的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．
23.【答案】证明：是直角三角形，理由如下：
，，，
，
又，，，
，
，
，
，
，是直角三角形．
解：分三种情况：
当时，
，
，
；
当时，是的中点，
；
当时，；
综上所述：的长为或或．
【解析】在中利用勾股定理可求，同理在中利用勾股定理可求，而，易求，从而可知是直角三角形．
分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的长即可．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
24.【答案】解：，
，
，，，
，，，
，，
，
是直角三角形，
的面积为：．
【解析】首先配方，进而利用二次根式的性质以及偶次方的性质，进而得出关于，，的值，进而得出的形状，求出面积即可．
此题主要考查了配方法应用以及偶次方的性质和二次根式的性质和勾股定理等知识，正确配方是解题关键．
25.【答案】证明：连接、，
点在的垂直平分线上，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
；
解：在和中，
，
≌，
，
，，
，
即，
解得．
【解析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可．
