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吉林省四平市实验中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）
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这是一份吉林省四平市实验中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省四平实验中学高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数i3+i2对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，，且，则x＝（ ）
A．﹣6 B． C． D．6
3．某企业职工有高级职称的共有15人，现按职称用分层抽样的方法抽取30人，有高级职称的3人，则该企业职工人数为（ ）
A．150 B．130 C．120 D．100
4．在△ABC中，若，则角C等于（ ）
A．30° B．60° C．150° D．120°
5．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1＝BC，P为C1D1的中点，则二面角B﹣PC1﹣C的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（ ）
A． B． C．﹣4 D．4
8．已知四面体SABC的所有棱长均为10，点P在直线AS上，则P到BC的距离的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．在一次随机试验中，事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（ ）
A．A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B．（A1∪A2）∪A3是必然事件
C．P（A2∪A3）＝0.8
D．P（A1∪A2）≤0.5
（多选）10．已知m，n是2条不同的直线，α，β，γ是3个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若α∥β，β∥γ，则α∥γ B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α∥β，n⊂α，则n∥β
（多选）11．已知样本p1：ax1，ax2，⋅⋅⋅，axn的均值为4，标准差为2，样本p2：2x1﹣1，2x2﹣1，⋅⋅⋅，2xn﹣1的方差为4，则样本p1和样本p2的（ ）
A．平均数相等 B．方差相等 C．极差相等 D．中位数相等
（多选）12．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sinA+sinB）2＝（2sinB+sinC）sinC，且，则下列结论正确的是（ ）
A．c﹣a＝acosC B．a＞c C．c＞a D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设复数z满足zi+1＝z，则＝ ．
14．某工厂现对一批零件的性能进行抽检，第一次检测每个零件合格的概率是0.8，不合格的零件重新加工后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.9，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理．则每个零件报废的概率为 ．
15．某校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，如下表：
平均数
方差
人数
高一
2.7
1
800
高二
3.1
2
600
高三
3.3
3
600
则全体学生每天读书时间的方差为 ．
16．已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为9π和16π，且两截面间的距离为1，则该球的体积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知复数z＝（m2+m﹣2）+（2m2﹣m﹣3）i，m∈R，其中i为虚数单位．
（1）若复数z为纯虚数，求m的值；
（2）若，求m的值．
18．已知，．
（1）求；
（2）求证：．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝1，∠ABC＝90°，D，E分别是棱A1C1，AC的中点．
（1）判断多面体ABEDB1C1是否为棱柱并说明理由；
（2）求多面体ABEDB1C1的体积；
（3）求证：平面BC1E∥平面AB1D．
20．《青年大学习》是共青团中央组织的，以“学习新思想，争做新青年”为主题的党史团课学习行动，2023年已开展到第7期．某市团市委为了解全市青年每周利用“青年大学习”了解国家动态的情况，从全市随机抽取1000名青年进行调查，统计他们每周利用“青年大学习”进行学习的时长（单位：分钟），根据调查结果绘制的频率分布直方图如图所示：
（1）求被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的中位数；
（2）市宣传部门拟从被抽取青年中选出部分青年参加座谈会．办法是：采用分层抽样的方法从学习时长在[60，70）和[70，80）的青年中共抽取5人，且从参会的5人中又随机抽取2人发言，求学习时长在[60，70）中至少有1人被抽中发言的概率．
21．在如图所示的几何体中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AD，E，F分别为棱PA，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）若PA⊥PB，求证：平面PAD⊥平面PBC．
22．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝．
（1）求证：sinC＝sinA；
（2）若C＝2A，AB＝2CD，求梯形ABCD的面积．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数i3+i2对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】化简复数为i3+i2＝﹣1﹣i，结合复数的几何意义，即可求解．
解：根据复数i的定义与计算，可得i3+i2＝﹣i﹣1＝﹣1﹣i，
可得复数﹣1﹣i在复平面所对应的点坐标为（﹣1，﹣1），位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
2．已知向量，，且，则x＝（ ）
A．﹣6 B． C． D．6
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于x的方程，解可得答案．
解：因为，，
又由，则有﹣6﹣x＝0，解得x＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
3．某企业职工有高级职称的共有15人，现按职称用分层抽样的方法抽取30人，有高级职称的3人，则该企业职工人数为（ ）
A．150 B．130 C．120 D．100
【分析】利用分层抽样成比例即可得．
解：抽取比例为＝，
则该企业职工人数为30÷＝150．
故选：A．
【点评】本题考查分层抽样，属于基础题．
4．在△ABC中，若，则角C等于（ ）
A．30° B．60° C．150° D．120°
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
解：，
则，
由余弦定理可知，，即cosC＝，
∵C∈（0，π），
∴C＝30°．
故选：A．
【点评】本题主要考查余弦定理，属于基础题．
5．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1＝BC，P为C1D1的中点，则二面角B﹣PC1﹣C的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】由二面角的定义证明∠BC1C即为二面角B﹣PC1﹣C的平面角，求出此角即得．
解：如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，PC1⊥平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以PC1⊥BC1，
且PC1⊥CC1，所以∠BC1C即为二面角B﹣PC1﹣C的平面角，又BB1＝BC，易得∠BC1C＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了二面角的定义，属于基础题．
6．某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】基本事件总数n＝＝10，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出包含的基本事件个数m＝，由此能求出小王和小张都没有被挑出的概率．
解：某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，
基本事件总数n＝＝10，
若小王和小张在这5名同学之中，
则小王和小张都没有被挑出包含的基本事件个数m＝，
∴小王和小张都没有被挑出的概率为P＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．在△ABC中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（ ）
A． B． C．﹣4 D．4
【分析】由平面向量基本定理，结合平面向量的数量积的运算求解即可．
解：已知，
则，
又点D为边BC上靠近B的三等分点，
则＝＝＝＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量基本定理，重点考查了平面向量的数量积的运算，属基础题．
8．已知四面体SABC的所有棱长均为10，点P在直线AS上，则P到BC的距离的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
【分析】将四面体SABC放置在正方体中，利用两异面直线的公垂线求解即可．
解：将四面体SABC补成正方体SDBG﹣EAFC，连接DE交AS于点M，连接FG交BC于点N，连接MN，则M，N分别为DE，BC的中点，
∴BD∥CE且BD＝CE．
∴四边形BDEC为平行四边形，
则BC∥DE且BC＝DE，
又∵M，N分别为DE，BC的中点，
∴DM∥BN且DM＝BN，
故四边形BDMN为平行四边形，
故MN∥BD且MN＝BD＝SG＝5，
∵BD⊥平面SDAE，AS⊂平面SDAE，
∴BD⊥AS，即MN⊥AS，
同理可得MN⊥BC，
即线段MN为异面直线AS与BD的公垂线段，
点P在直线AS上，故P到BC的距离最小值为MN＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了异面直线的距离的求法，是中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．在一次随机试验中，事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（ ）
A．A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B．（A1∪A2）∪A3是必然事件
C．P（A2∪A3）＝0.8
D．P（A1∪A2）≤0.5
【分析】根据事件A1，A2，A3不一定两两互斥，结合概率运算公式和互斥、对立的概念，即可求解．
解：由事件A1，A2，A3不一定两两互斥，所以P（A1⋃A2）＝P（A1）+P（A2）﹣P（A1A2）≤0.5，
P（A2⋃A3）＝P（A2）+P（A3）﹣P（A2A3）≤0.8，且P[（A1⋃A2）⋃A3]≤1，
所以（A1⋃A2）⋃A3不一定是必然事件，无法判断A1∪A2与A3是不是互斥或对立事件，
所以A、B、C中说法错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查互斥事件和对立事件，属于基础题．
（多选）10．已知m，n是2条不同的直线，α，β，γ是3个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若α∥β，β∥γ，则α∥γ B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α∥β，n⊂α，则n∥β
【分析】根据空间中线线，线面，面面间的位置关系分析判断即可．
解：对于A，α∥β，β∥γ，则由平行的传递性可知α∥γ，故A正确；
对于B，若 α⊥γ，β⊥γ，则α与β的位置关系是平行或相交，故B错误；
对于C，若 m⊥α，n⊥α，则根据线面垂直的性质得n与m的位置关系是平行，故C正确；
对于D，α∥β，n⊂α，根据面面平行，可证得线面平行，即n∥β，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，属于基础题．
（多选）11．已知样本p1：ax1，ax2，⋅⋅⋅，axn的均值为4，标准差为2，样本p2：2x1﹣1，2x2﹣1，⋅⋅⋅，2xn﹣1的方差为4，则样本p1和样本p2的（ ）
A．平均数相等 B．方差相等 C．极差相等 D．中位数相等
【分析】设样本x1，x2，⋅⋅⋅，xn的均值为，方差为s2，极差为M，中位数为q，则由已知条件可得s2＝1，a＝±2，然后分a＝2和a＝﹣2两种情况讨论求解．
解：对于选项A，B，C，设样本x1，x2，⋅⋅⋅，xn的均值为，方差为s2，极差为M，中位数为q，
则，a2s2＝4，4s2＝4，
所以s2＝1，a＝±2，
当a＝2时，样本p1：2x1，2x2，⋅⋅⋅，2xn；样本p2：2x1﹣1，2x2﹣1，⋅⋅⋅，2xn﹣1，
可得样本p1的平均数为，样本p2的平均数为，
样本p1和样本p2的极差相等为2M，方差也相等为4，故B，C正确；
选项D，设样本p1的中位数为2q，则样本p2的中位数为2q﹣1，故D错误；
当a＝﹣2时，样本p1：﹣2x1，﹣2x2，⋅⋅⋅，﹣2xn；样本p2：2x1﹣1，2x2﹣1，⋅⋅⋅，2xn﹣1，
可得样本p1的平均数为，样本p2的平均数为，
样本p1和样本p2的极差相等为2M，方差也相等为4，故B，C正确；
选项D，设样本p1的中位数为﹣2q，则样本p2的中位数为2q﹣1，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了均值、方差、极差和中位数的定义，属于基础题．
（多选）12．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sinA+sinB）2＝（2sinB+sinC）sinC，且，则下列结论正确的是（ ）
A．c﹣a＝acosC B．a＞c C．c＞a D．
【分析】利用正弦边角关系可得a2+b2﹣c2＝2b（c﹣a），结合余弦定理及锐角三角形知c﹣a＝acos C、＞0，判断A、B、C正误；再由正弦边角关系，倍角公式判断D正误．
解：由正弦边角关系知：（a+b）2＝（2b+c）c，则a2+2ab+b2＝2bc+c2，
所以a2+b2﹣c2＝2b（c﹣a），而cosC＝＞0，则c﹣a＝acosC，A正确；
由上知：＞0，即c＞a，B错误，C正确；
由c﹣a＝acos C知：sinC﹣sinA＝sin A cosC，则sinA＝＝＝tan＞，
又0＜C＜，故0＜＜，则＜＜，即＜C＜，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查正余弦定理，三角函数性质，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设复数z满足zi+1＝z，则＝ ．
【分析】根据复数的四则运算可求得，进而可求共轭复数以及模长．
解：∵zi+1＝z，
则，
∴，故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
14．某工厂现对一批零件的性能进行抽检，第一次检测每个零件合格的概率是0.8，不合格的零件重新加工后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.9，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理．则每个零件报废的概率为 0.02 ．
【分析】根据一台设备的检测第一次不合格且第二次也不合格去计算概率可得每台设备报废的概率．
解：每台设备报废的概率为：0.2×（1﹣0.9）＝0.02．
故答案为：0.02．
【点评】本题考查相互独立事件及积事件的概率求法，考查数学运算能力及抽象能力，属于基础题．
15．某校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，如下表：
平均数
方差
人数
高一
2.7
1
800
高二
3.1
2
600
高三
3.3
3
600
则全体学生每天读书时间的方差为 1.966 ．
【分析】先求出平均数，再利用方差的计算公式求解．
解：由题意可得，总的平均数为＝3，
所以方差为s2＝×[1+（2.7﹣3）2]×[2+（3.1﹣3）2]＝1.966．
故答案为：1.966．
【点评】本题主要考查了方差的计算，属于基础题．
16．已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为9π和16π，且两截面间的距离为1，则该球的体积为 ．
【分析】求出球心到两截面圆的距离，再讨论“两截面在球心的同一侧”和“球心在两截面之间”两种情况，得出半径，进而得出球的体积．
解：设球的半径为R，依题意，截面圆的面积分别为9π和16π，则截面圆的半径分别为3，4，
可得球心到两截面圆的距离分别为，．
当两截面在球心的同一侧时，因为两截面间的距离为1，
所以，解得R＝5或R＝﹣5（舍）；
当球心在两截面之间时，可得，即，该方程无解．
综上，R＝5，故该球的体积为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查球的体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知复数z＝（m2+m﹣2）+（2m2﹣m﹣3）i，m∈R，其中i为虚数单位．
（1）若复数z为纯虚数，求m的值；
（2）若，求m的值．
【分析】（1）根据纯虚数的定义，列出方程组即可求解．
（2）根据共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．
解：（1）∵复数z为纯虚数，
∴，解得m＝1或m＝﹣2．
（2）设z＝x+yi（x，y∈R），则z•＝x2+y2，
将其代入，
可得x2+y2+3i（x+yi）＝16+12i，
化简得，x2+y2﹣3y+3xi＝16+12i，
则，解得x＝4，y＝0或y＝3，
∴z＝4或z＝4+3i，
∴或，
解得m＝2．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，纯虚数，共轭复数的定义，复数的性质，属于中档题．
18．已知，．
（1）求；
（2）求证：．
【分析】（1）由平方得，再利用计算即可；
（2）计算，即可证明．
解：（1）由，得，
所以，所以，所以．
（2）证明：因为，
所以．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝1，∠ABC＝90°，D，E分别是棱A1C1，AC的中点．
（1）判断多面体ABEDB1C1是否为棱柱并说明理由；
（2）求多面体ABEDB1C1的体积；
（3）求证：平面BC1E∥平面AB1D．
【分析】（1）根据棱柱的特征判断即可；
（2）利用三棱锥体积减两个三棱锥体积可得；
（3）根据面面平行判定定理，将问题转化为两个线面平行问题，再将线面平行转化为线线平行，结合条件即可证明．
解：（1）多面体ABEDB1C1不是棱柱．理由如下：
因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体ABEDB1C1只有1个面是平行四边形，故不是棱柱．
（2）易知三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，
三棱锥A﹣A1B1D的体积，
易知三棱锥C1﹣BCE的体积等于三棱锥A﹣A1B1D的体积，
故多面体ABEDB1C1的体积．
（3）证明：因为D，E分别是A1C1，AC的中点，所以，
所以四边形BB1DE为平行四边形
所以BE∥B1D．又BE⊄平面AB1D，B1D⊂平面AB1D，所以BE∥平面AB1D．
易知，得四边形ADC1E为平行四边形．
所以C1E∥AD，又C1E⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，所以C1E∥平面AB1D．
而BE∩C1E＝E，BE，C1E⊂平面BC1E，
所以平面BC1E∥平面AB1D．
【点评】本题主要考查棱柱的结构特征，考查面面平行的判定，属于中档题．
20．《青年大学习》是共青团中央组织的，以“学习新思想，争做新青年”为主题的党史团课学习行动，2023年已开展到第7期．某市团市委为了解全市青年每周利用“青年大学习”了解国家动态的情况，从全市随机抽取1000名青年进行调查，统计他们每周利用“青年大学习”进行学习的时长（单位：分钟），根据调查结果绘制的频率分布直方图如图所示：
（1）求被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的中位数；
（2）市宣传部门拟从被抽取青年中选出部分青年参加座谈会．办法是：采用分层抽样的方法从学习时长在[60，70）和[70，80）的青年中共抽取5人，且从参会的5人中又随机抽取2人发言，求学习时长在[60，70）中至少有1人被抽中发言的概率．
【分析】（1）中位数两侧对应频率为0.5，由此可得中位数；（2）按照分层抽样确定[60，70）和[70，80）中各抽取的人数，然后根据古典概型公式求概率即可．
解：（1）由频率分布直方图得（0.005+0.010+0.020+m+0.025+0.010）×10＝1，
解得m＝0.03，[40，70）的频率为：（0.005+0.010+0.020）×10＝0.35，
[70，80）的频率为：0.03×10＝0.3，
所以被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的中位数为；
（2）由频率分布直方图知，学习时长在[60，70）和[70，80）的频率之比为2：3，
5人中，学习时长在[60，70）的有2人，学习时长在[70，80）的有3人，
记学习时长在[60，70）的2人分别为a，b，学习时长在[70，80]的3人分别为A，B，C，
样本空间Ω＝{（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），
（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C）}，共含有10个样本点，
设事件E为“从这5人中抽取2人发言，且这2人中至少有一人学习时长在[60，70）中”，
则E＝{（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C）}，
共7个样本点，由古典概型的概率计算公式得．
【点评】本题考查频率分布直方图，属于基础题．
21．在如图所示的几何体中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AD，E，F分别为棱PA，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）若PA⊥PB，求证：平面PAD⊥平面PBC．
【分析】（1）连接AC，由EF∥AC，结合线面平行的判定可得EF∥平面ABCD；
（2）过P作PM⊥AB，垂足为M，由平面PAB⊥平面ABCD得PM⊥平面ABCD，进而得PM⊥AD，可证得AD⊥平面PAB，从而得AD⊥PB，可得PB⊥平面PAD，从而平面PAD⊥平面PBC．
【解答】证明：（1）如图，连接AC，
因为E，F分别为棱PA，PC的中点，
所以EF∥AC．
因为AC⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD．
（2）过P作PM⊥AB，垂足为M，
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊂平面PAB，
所以PM⊥平面ABCD，
又AD⊂平面ABCD，
所以PM⊥AD．
又PA⊥AD，PA∩PM＝P，PA，PM⊂平面PAB，
所以AD⊥平面PAB．
又PB⊂平面PAB，
所以AD⊥PB．
又PA⊥PB，PA，AD⊂平面PAD，
所以PB⊥平面PAD．
而PB⊂平面PBC，
所以平面PAD⊥平面PBC．
【点评】本题考查线面平行以及面面垂直的判定，考查逻辑推理能力，属于基础题．
22．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝．
（1）求证：sinC＝sinA；
（2）若C＝2A，AB＝2CD，求梯形ABCD的面积．
【分析】（1）在两个三角形中结合使用正弦定理证明即可；
（2）根据余弦定理分别求出边长，再求高，最后应用梯形面积公式求解即得．
【解答】（1）证明：连接BD．
因为AB∥CD，所以∠ABD＝∠BDC．
在△ABD中，由正弦定理得①，
在△BCD中，由正弦定理得②，
由，∠ABD＝∠BDC，结合①②可得．
（2）解：由（1）知，，
，又0＜A＜π，所以，则．
在△ABD中，由余弦定理得
＝AB2﹣3AB+3＝4CD2﹣6CD+3；
在△BCD中，由余弦定理得
＝CD2﹣CD+1，
所以4CD2﹣6CD+3＝CD2﹣CD+1，解得CD＝1或．
当时，连接AC，在△ACD中，由余弦定理，得
＝，
所以，而此时，故不满足题意，经检验CD＝1满足题意，
此时梯形ABCD的高，
当CD＝1时，梯形ABCD的面积；
所以梯形ABCD的面积为．
【点评】本题主要考查三角形中的计算，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
2022-2023学年吉林省四平实验中学高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数i3+i2对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，，且，则x＝（ ）
A．﹣6 B． C． D．6
3．某企业职工有高级职称的共有15人，现按职称用分层抽样的方法抽取30人，有高级职称的3人，则该企业职工人数为（ ）
A．150 B．130 C．120 D．100
4．在△ABC中，若，则角C等于（ ）
A．30° B．60° C．150° D．120°
5．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1＝BC，P为C1D1的中点，则二面角B﹣PC1﹣C的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（ ）
A． B． C．﹣4 D．4
8．已知四面体SABC的所有棱长均为10，点P在直线AS上，则P到BC的距离的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．在一次随机试验中，事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（ ）
A．A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B．（A1∪A2）∪A3是必然事件
C．P（A2∪A3）＝0.8
D．P（A1∪A2）≤0.5
（多选）10．已知m，n是2条不同的直线，α，β，γ是3个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若α∥β，β∥γ，则α∥γ B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α∥β，n⊂α，则n∥β
（多选）11．已知样本p1：ax1，ax2，⋅⋅⋅，axn的均值为4，标准差为2，样本p2：2x1﹣1，2x2﹣1，⋅⋅⋅，2xn﹣1的方差为4，则样本p1和样本p2的（ ）
A．平均数相等 B．方差相等 C．极差相等 D．中位数相等
（多选）12．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sinA+sinB）2＝（2sinB+sinC）sinC，且，则下列结论正确的是（ ）
A．c﹣a＝acosC B．a＞c C．c＞a D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设复数z满足zi+1＝z，则＝ ．
14．某工厂现对一批零件的性能进行抽检，第一次检测每个零件合格的概率是0.8，不合格的零件重新加工后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.9，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理．则每个零件报废的概率为 ．
15．某校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，如下表：
平均数
方差
人数
高一
2.7
1
800
高二
3.1
2
600
高三
3.3
3
600
则全体学生每天读书时间的方差为 ．
16．已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为9π和16π，且两截面间的距离为1，则该球的体积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知复数z＝（m2+m﹣2）+（2m2﹣m﹣3）i，m∈R，其中i为虚数单位．
（1）若复数z为纯虚数，求m的值；
（2）若，求m的值．
18．已知，．
（1）求；
（2）求证：．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝1，∠ABC＝90°，D，E分别是棱A1C1，AC的中点．
（1）判断多面体ABEDB1C1是否为棱柱并说明理由；
（2）求多面体ABEDB1C1的体积；
（3）求证：平面BC1E∥平面AB1D．
20．《青年大学习》是共青团中央组织的，以“学习新思想，争做新青年”为主题的党史团课学习行动，2023年已开展到第7期．某市团市委为了解全市青年每周利用“青年大学习”了解国家动态的情况，从全市随机抽取1000名青年进行调查，统计他们每周利用“青年大学习”进行学习的时长（单位：分钟），根据调查结果绘制的频率分布直方图如图所示：
（1）求被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的中位数；
（2）市宣传部门拟从被抽取青年中选出部分青年参加座谈会．办法是：采用分层抽样的方法从学习时长在[60，70）和[70，80）的青年中共抽取5人，且从参会的5人中又随机抽取2人发言，求学习时长在[60，70）中至少有1人被抽中发言的概率．
21．在如图所示的几何体中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AD，E，F分别为棱PA，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）若PA⊥PB，求证：平面PAD⊥平面PBC．
22．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝．
（1）求证：sinC＝sinA；
（2）若C＝2A，AB＝2CD，求梯形ABCD的面积．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数i3+i2对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】化简复数为i3+i2＝﹣1﹣i，结合复数的几何意义，即可求解．
解：根据复数i的定义与计算，可得i3+i2＝﹣i﹣1＝﹣1﹣i，
可得复数﹣1﹣i在复平面所对应的点坐标为（﹣1，﹣1），位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
2．已知向量，，且，则x＝（ ）
A．﹣6 B． C． D．6
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于x的方程，解可得答案．
解：因为，，
又由，则有﹣6﹣x＝0，解得x＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
3．某企业职工有高级职称的共有15人，现按职称用分层抽样的方法抽取30人，有高级职称的3人，则该企业职工人数为（ ）
A．150 B．130 C．120 D．100
【分析】利用分层抽样成比例即可得．
解：抽取比例为＝，
则该企业职工人数为30÷＝150．
故选：A．
【点评】本题考查分层抽样，属于基础题．
4．在△ABC中，若，则角C等于（ ）
A．30° B．60° C．150° D．120°
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
解：，
则，
由余弦定理可知，，即cosC＝，
∵C∈（0，π），
∴C＝30°．
故选：A．
【点评】本题主要考查余弦定理，属于基础题．
5．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1＝BC，P为C1D1的中点，则二面角B﹣PC1﹣C的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】由二面角的定义证明∠BC1C即为二面角B﹣PC1﹣C的平面角，求出此角即得．
解：如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，PC1⊥平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以PC1⊥BC1，
且PC1⊥CC1，所以∠BC1C即为二面角B﹣PC1﹣C的平面角，又BB1＝BC，易得∠BC1C＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了二面角的定义，属于基础题．
6．某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】基本事件总数n＝＝10，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出包含的基本事件个数m＝，由此能求出小王和小张都没有被挑出的概率．
解：某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，
基本事件总数n＝＝10，
若小王和小张在这5名同学之中，
则小王和小张都没有被挑出包含的基本事件个数m＝，
∴小王和小张都没有被挑出的概率为P＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．在△ABC中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（ ）
A． B． C．﹣4 D．4
【分析】由平面向量基本定理，结合平面向量的数量积的运算求解即可．
解：已知，
则，
又点D为边BC上靠近B的三等分点，
则＝＝＝＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量基本定理，重点考查了平面向量的数量积的运算，属基础题．
8．已知四面体SABC的所有棱长均为10，点P在直线AS上，则P到BC的距离的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
【分析】将四面体SABC放置在正方体中，利用两异面直线的公垂线求解即可．
解：将四面体SABC补成正方体SDBG﹣EAFC，连接DE交AS于点M，连接FG交BC于点N，连接MN，则M，N分别为DE，BC的中点，
∴BD∥CE且BD＝CE．
∴四边形BDEC为平行四边形，
则BC∥DE且BC＝DE，
又∵M，N分别为DE，BC的中点，
∴DM∥BN且DM＝BN，
故四边形BDMN为平行四边形，
故MN∥BD且MN＝BD＝SG＝5，
∵BD⊥平面SDAE，AS⊂平面SDAE，
∴BD⊥AS，即MN⊥AS，
同理可得MN⊥BC，
即线段MN为异面直线AS与BD的公垂线段，
点P在直线AS上，故P到BC的距离最小值为MN＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了异面直线的距离的求法，是中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．在一次随机试验中，事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（ ）
A．A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B．（A1∪A2）∪A3是必然事件
C．P（A2∪A3）＝0.8
D．P（A1∪A2）≤0.5
【分析】根据事件A1，A2，A3不一定两两互斥，结合概率运算公式和互斥、对立的概念，即可求解．
解：由事件A1，A2，A3不一定两两互斥，所以P（A1⋃A2）＝P（A1）+P（A2）﹣P（A1A2）≤0.5，
P（A2⋃A3）＝P（A2）+P（A3）﹣P（A2A3）≤0.8，且P[（A1⋃A2）⋃A3]≤1，
所以（A1⋃A2）⋃A3不一定是必然事件，无法判断A1∪A2与A3是不是互斥或对立事件，
所以A、B、C中说法错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查互斥事件和对立事件，属于基础题．
（多选）10．已知m，n是2条不同的直线，α，β，γ是3个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若α∥β，β∥γ，则α∥γ B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α∥β，n⊂α，则n∥β
【分析】根据空间中线线，线面，面面间的位置关系分析判断即可．
解：对于A，α∥β，β∥γ，则由平行的传递性可知α∥γ，故A正确；
对于B，若 α⊥γ，β⊥γ，则α与β的位置关系是平行或相交，故B错误；
对于C，若 m⊥α，n⊥α，则根据线面垂直的性质得n与m的位置关系是平行，故C正确；
对于D，α∥β，n⊂α，根据面面平行，可证得线面平行，即n∥β，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，属于基础题．
（多选）11．已知样本p1：ax1，ax2，⋅⋅⋅，axn的均值为4，标准差为2，样本p2：2x1﹣1，2x2﹣1，⋅⋅⋅，2xn﹣1的方差为4，则样本p1和样本p2的（ ）
A．平均数相等 B．方差相等 C．极差相等 D．中位数相等
【分析】设样本x1，x2，⋅⋅⋅，xn的均值为，方差为s2，极差为M，中位数为q，则由已知条件可得s2＝1，a＝±2，然后分a＝2和a＝﹣2两种情况讨论求解．
解：对于选项A，B，C，设样本x1，x2，⋅⋅⋅，xn的均值为，方差为s2，极差为M，中位数为q，
则，a2s2＝4，4s2＝4，
所以s2＝1，a＝±2，
当a＝2时，样本p1：2x1，2x2，⋅⋅⋅，2xn；样本p2：2x1﹣1，2x2﹣1，⋅⋅⋅，2xn﹣1，
可得样本p1的平均数为，样本p2的平均数为，
样本p1和样本p2的极差相等为2M，方差也相等为4，故B，C正确；
选项D，设样本p1的中位数为2q，则样本p2的中位数为2q﹣1，故D错误；
当a＝﹣2时，样本p1：﹣2x1，﹣2x2，⋅⋅⋅，﹣2xn；样本p2：2x1﹣1，2x2﹣1，⋅⋅⋅，2xn﹣1，
可得样本p1的平均数为，样本p2的平均数为，
样本p1和样本p2的极差相等为2M，方差也相等为4，故B，C正确；
选项D，设样本p1的中位数为﹣2q，则样本p2的中位数为2q﹣1，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了均值、方差、极差和中位数的定义，属于基础题．
（多选）12．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sinA+sinB）2＝（2sinB+sinC）sinC，且，则下列结论正确的是（ ）
A．c﹣a＝acosC B．a＞c C．c＞a D．
【分析】利用正弦边角关系可得a2+b2﹣c2＝2b（c﹣a），结合余弦定理及锐角三角形知c﹣a＝acos C、＞0，判断A、B、C正误；再由正弦边角关系，倍角公式判断D正误．
解：由正弦边角关系知：（a+b）2＝（2b+c）c，则a2+2ab+b2＝2bc+c2，
所以a2+b2﹣c2＝2b（c﹣a），而cosC＝＞0，则c﹣a＝acosC，A正确；
由上知：＞0，即c＞a，B错误，C正确；
由c﹣a＝acos C知：sinC﹣sinA＝sin A cosC，则sinA＝＝＝tan＞，
又0＜C＜，故0＜＜，则＜＜，即＜C＜，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查正余弦定理，三角函数性质，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设复数z满足zi+1＝z，则＝ ．
【分析】根据复数的四则运算可求得，进而可求共轭复数以及模长．
解：∵zi+1＝z，
则，
∴，故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
14．某工厂现对一批零件的性能进行抽检，第一次检测每个零件合格的概率是0.8，不合格的零件重新加工后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.9，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理．则每个零件报废的概率为 0.02 ．
【分析】根据一台设备的检测第一次不合格且第二次也不合格去计算概率可得每台设备报废的概率．
解：每台设备报废的概率为：0.2×（1﹣0.9）＝0.02．
故答案为：0.02．
【点评】本题考查相互独立事件及积事件的概率求法，考查数学运算能力及抽象能力，属于基础题．
15．某校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，如下表：
平均数
方差
人数
高一
2.7
1
800
高二
3.1
2
600
高三
3.3
3
600
则全体学生每天读书时间的方差为 1.966 ．
【分析】先求出平均数，再利用方差的计算公式求解．
解：由题意可得，总的平均数为＝3，
所以方差为s2＝×[1+（2.7﹣3）2]×[2+（3.1﹣3）2]＝1.966．
故答案为：1.966．
【点评】本题主要考查了方差的计算，属于基础题．
16．已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为9π和16π，且两截面间的距离为1，则该球的体积为 ．
【分析】求出球心到两截面圆的距离，再讨论“两截面在球心的同一侧”和“球心在两截面之间”两种情况，得出半径，进而得出球的体积．
解：设球的半径为R，依题意，截面圆的面积分别为9π和16π，则截面圆的半径分别为3，4，
可得球心到两截面圆的距离分别为，．
当两截面在球心的同一侧时，因为两截面间的距离为1，
所以，解得R＝5或R＝﹣5（舍）；
当球心在两截面之间时，可得，即，该方程无解．
综上，R＝5，故该球的体积为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查球的体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知复数z＝（m2+m﹣2）+（2m2﹣m﹣3）i，m∈R，其中i为虚数单位．
（1）若复数z为纯虚数，求m的值；
（2）若，求m的值．
【分析】（1）根据纯虚数的定义，列出方程组即可求解．
（2）根据共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．
解：（1）∵复数z为纯虚数，
∴，解得m＝1或m＝﹣2．
（2）设z＝x+yi（x，y∈R），则z•＝x2+y2，
将其代入，
可得x2+y2+3i（x+yi）＝16+12i，
化简得，x2+y2﹣3y+3xi＝16+12i，
则，解得x＝4，y＝0或y＝3，
∴z＝4或z＝4+3i，
∴或，
解得m＝2．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，纯虚数，共轭复数的定义，复数的性质，属于中档题．
18．已知，．
（1）求；
（2）求证：．
【分析】（1）由平方得，再利用计算即可；
（2）计算，即可证明．
解：（1）由，得，
所以，所以，所以．
（2）证明：因为，
所以．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝1，∠ABC＝90°，D，E分别是棱A1C1，AC的中点．
（1）判断多面体ABEDB1C1是否为棱柱并说明理由；
（2）求多面体ABEDB1C1的体积；
（3）求证：平面BC1E∥平面AB1D．
【分析】（1）根据棱柱的特征判断即可；
（2）利用三棱锥体积减两个三棱锥体积可得；
（3）根据面面平行判定定理，将问题转化为两个线面平行问题，再将线面平行转化为线线平行，结合条件即可证明．
解：（1）多面体ABEDB1C1不是棱柱．理由如下：
因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体ABEDB1C1只有1个面是平行四边形，故不是棱柱．
（2）易知三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，
三棱锥A﹣A1B1D的体积，
易知三棱锥C1﹣BCE的体积等于三棱锥A﹣A1B1D的体积，
故多面体ABEDB1C1的体积．
（3）证明：因为D，E分别是A1C1，AC的中点，所以，
所以四边形BB1DE为平行四边形
所以BE∥B1D．又BE⊄平面AB1D，B1D⊂平面AB1D，所以BE∥平面AB1D．
易知，得四边形ADC1E为平行四边形．
所以C1E∥AD，又C1E⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，所以C1E∥平面AB1D．
而BE∩C1E＝E，BE，C1E⊂平面BC1E，
所以平面BC1E∥平面AB1D．
【点评】本题主要考查棱柱的结构特征，考查面面平行的判定，属于中档题．
20．《青年大学习》是共青团中央组织的，以“学习新思想，争做新青年”为主题的党史团课学习行动，2023年已开展到第7期．某市团市委为了解全市青年每周利用“青年大学习”了解国家动态的情况，从全市随机抽取1000名青年进行调查，统计他们每周利用“青年大学习”进行学习的时长（单位：分钟），根据调查结果绘制的频率分布直方图如图所示：
（1）求被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的中位数；
（2）市宣传部门拟从被抽取青年中选出部分青年参加座谈会．办法是：采用分层抽样的方法从学习时长在[60，70）和[70，80）的青年中共抽取5人，且从参会的5人中又随机抽取2人发言，求学习时长在[60，70）中至少有1人被抽中发言的概率．
【分析】（1）中位数两侧对应频率为0.5，由此可得中位数；（2）按照分层抽样确定[60，70）和[70，80）中各抽取的人数，然后根据古典概型公式求概率即可．
解：（1）由频率分布直方图得（0.005+0.010+0.020+m+0.025+0.010）×10＝1，
解得m＝0.03，[40，70）的频率为：（0.005+0.010+0.020）×10＝0.35，
[70，80）的频率为：0.03×10＝0.3，
所以被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的中位数为；
（2）由频率分布直方图知，学习时长在[60，70）和[70，80）的频率之比为2：3，
5人中，学习时长在[60，70）的有2人，学习时长在[70，80）的有3人，
记学习时长在[60，70）的2人分别为a，b，学习时长在[70，80]的3人分别为A，B，C，
样本空间Ω＝{（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），
（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C）}，共含有10个样本点，
设事件E为“从这5人中抽取2人发言，且这2人中至少有一人学习时长在[60，70）中”，
则E＝{（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C）}，
共7个样本点，由古典概型的概率计算公式得．
【点评】本题考查频率分布直方图，属于基础题．
21．在如图所示的几何体中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AD，E，F分别为棱PA，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）若PA⊥PB，求证：平面PAD⊥平面PBC．
【分析】（1）连接AC，由EF∥AC，结合线面平行的判定可得EF∥平面ABCD；
（2）过P作PM⊥AB，垂足为M，由平面PAB⊥平面ABCD得PM⊥平面ABCD，进而得PM⊥AD，可证得AD⊥平面PAB，从而得AD⊥PB，可得PB⊥平面PAD，从而平面PAD⊥平面PBC．
【解答】证明：（1）如图，连接AC，
因为E，F分别为棱PA，PC的中点，
所以EF∥AC．
因为AC⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，
所以EF∥平面ABCD．
（2）过P作PM⊥AB，垂足为M，
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊂平面PAB，
所以PM⊥平面ABCD，
又AD⊂平面ABCD，
所以PM⊥AD．
又PA⊥AD，PA∩PM＝P，PA，PM⊂平面PAB，
所以AD⊥平面PAB．
又PB⊂平面PAB，
所以AD⊥PB．
又PA⊥PB，PA，AD⊂平面PAD，
所以PB⊥平面PAD．
而PB⊂平面PBC，
所以平面PAD⊥平面PBC．
【点评】本题考查线面平行以及面面垂直的判定，考查逻辑推理能力，属于基础题．
22．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝．
（1）求证：sinC＝sinA；
（2）若C＝2A，AB＝2CD，求梯形ABCD的面积．
【分析】（1）在两个三角形中结合使用正弦定理证明即可；
（2）根据余弦定理分别求出边长，再求高，最后应用梯形面积公式求解即得．
【解答】（1）证明：连接BD．
因为AB∥CD，所以∠ABD＝∠BDC．
在△ABD中，由正弦定理得①，
在△BCD中，由正弦定理得②，
由，∠ABD＝∠BDC，结合①②可得．
（2）解：由（1）知，，
，又0＜A＜π，所以，则．
在△ABD中，由余弦定理得
＝AB2﹣3AB+3＝4CD2﹣6CD+3；
在△BCD中，由余弦定理得
＝CD2﹣CD+1，
所以4CD2﹣6CD+3＝CD2﹣CD+1，解得CD＝1或．
当时，连接AC，在△ACD中，由余弦定理，得
＝，
所以，而此时，故不满足题意，经检验CD＝1满足题意，
此时梯形ABCD的高，
当CD＝1时，梯形ABCD的面积；
所以梯形ABCD的面积为．
【点评】本题主要考查三角形中的计算，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
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